浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，直线m，n被一组平行线a，b，c所截，若，则（ ）
A．B．C．D．1
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意抛掷一枚硬币，正面朝上
B．从2，4，6，8中任取一个是奇数
C．x是任意实数，一定是正数
D．投掷一枚骰子，朝上的点数是6
3．已知的半径为5，点到直线的距离为4，则直线与公共点的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
4．在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．如图，已知，点在圆上，弧的度数为，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，小李利用镜面反射原理测树高，小李在点，镜子为点，表示树，点，，在同一水平线上，小李身高米，米，米，则树高为( )
A．4米B．5米C．6米D．7米
8．如图，点O是正五边形的中心，于点H．则（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11B．t≥2C．2≤t＜11D．2≤t＜6
10．如图，在与中，，，连接，．若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题
11．用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
12．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
13．如图，在平面直角坐标系中，点与原点O的连线与x轴夹角为，则 ．
14．如图，已知，过圆外一点P作圆的切线，分别切于点A，B，点C在优弧上．若，则 °．
15．已知，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
16．如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ．
三、解答题
17．有4个完全一样的乒乓球上，分别写上，2，，4，放进一个不透明的口袋中．
(1)从中任意摸出一个球，求球面上的数是正数的概率．
(2)先从中任意摸出一个球，记下编号，不放回，再摸出一个球，记下编号．用列表或画树形图的方法求两次摸出的数字之和是正数的概率．
18．如图，在方格纸中有及其外接圆，点A，B，C都在格点上．用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）
(1)找出圆心O．
(2)过点B作圆的切线．
(3)作出的角平分线．
19．如图，在中，，点E在边上，，过E作，交边于点D，平分，交线段于点F．若，，求长．
20．冬季来临之前，学校劳动社团的同学打算为蔬菜基地设计一款蔬菜大棚，大棚使用钢结构的骨架，上面覆上一层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，该大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中．同学们在平面直角坐标系内进行设计，以O点为原点，所在直线为x轴，的中垂线为y轴，抛物线顶点E的坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，为了让大棚通风，同学们设计了两个正方形通风孔和，设计，求两个通风孔之间的间距的长．
21．如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接
(1)求证：；
(2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果，求证：点D为线段的黄金分割点．
22．综合与实践
在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：
(1)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的正方形零件的边长是多少？
(2)如图，已知三角形小木块，边，高，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？（用含，的代数式表示）
(3)如图3，已知四边形的小木块，测得，，，，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．求加工成的矩形零件面积的最大值是多少？
23．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
24．如图，已知的半径为1，，是直径，，点P在上，连接，，分别交，于点M，N．
(1)若平分，求证：．
(2)判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)求证：．
每次试验粒数
50
100
300
400
600
1000
发芽频数
47
96
284
380
571
948
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题关键是熟练掌握定理．根据，
，即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】A、任意抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
B、从2，4，6，8中任取一个是奇数是不可能事件，不符合题意；
C、因为，所以一定是正数，所以是必然事件，符合题意；
D、投掷一枚骰子，朝上的点数是6是随机事件，不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】解：∵的半径为5，点到直线的距离为4，
∴，
∴直线与圆相交，
∴直线与公共点的个数为个，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法是解题的关键．
4．A
【分析】先利用正切的定义得到，则设，，利用勾股定理表示出，然后利用正弦的定义求解．
【详解】解：如图：
，
，
设，则，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．
5．D
【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．
【详解】解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故选D．
【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．
6．D
【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，由圆的内接四边形性质可得，根据角的和差关系代入即可求解，掌握圆的内接四边形性质和圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵弧的度数为，
∴，
∵四边形为内接四边形，
∴，
∴，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；根据题意得出，代入数据，即可求解．
【详解】如图可知：，，
，，
，
，
∴，
米，米，米，
∴，
解得：，
答：树高为米．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，连接，根据题意可得，结合一个角的余弦值的定义可得，据此即可求解．
【详解】解：连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
∵于点H，
∴，，
∵，
∴，
故选：C．
9．C
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根看做函数与函数的交点问题，再由的范围确定y的取值范围，然后确定t的值即可．
【详解】解：∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
10．A
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．证明，得出，，证明，得出，设，，求出，得出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：A．
11．
【详解】分析：圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
详解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=，
解得r=cm．
故答案为：．
点睛：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
12．
【分析】本题考查了由频率估计概率，计算出每次试验的发芽率即可求解．
【详解】解：∵，
∴估计这批青稞发芽的概率是
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了求角的正切值，坐标与图形，如图所示，过点A作轴于B，则，根据正切的定义可得．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于B，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵分别切于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．先求出对称轴，再根据当时，y随x的增大而减小，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，且抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹．
【详解】解：∵的平分线相交于点，
∴可以假设，，
则有，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴；
取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动，
∵，，，
∴，
则扫过的面积扇形的面积的面积，
，
；
故答案为：，．
17．(1)从中任意摸出一个球，球面上的数是正数的概率为
(2)两次摸出的数字之和是正数的概率为
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的数字之和是正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：，2，，4这四个数中，是正数的有：2，4，
∴从中任意摸出一个球，球面上的数是正数的概率为．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的数字之和是正数的结果有：，，，，，，，，共8种，
∴两次摸出的数字之和是正数的概率为．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了切线的定义，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）取格点，，连接交于点O，点O即为所求；
（2）根据切线的定义，即可解答；
（3）取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求．
【详解】（1）解：取格点，，连接交于点O，点O即为所求，
∵四边形是矩形，
∴，
∴点O为圆心；
（2）解：如图所示，即为所求，
∵，
∴为圆的切线；
（3）解：取格点，连接并延长，交于点E，连接，即为所求；
∵点M为中点，
∴，
∴，
∴，
即平分．
19．
【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，先根据锐角三角函数求出的值，进而求出的值，再利用锐角三角函数求出的长，角平分线加平行线得到，再利用，进行计算即可．掌握锐角三角函数的定义，找准线段之间的数量关系，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)抛物线的解析式为
(2)两个通风孔之间的间距的长为
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）根据顶点，设抛物线的解析式为，根据矩形的性质得出点代入，求出，即可得出解析式；
（2）根据，，得出点和点R的纵坐标为，求出时x的值，即可得出，即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，
∵，
∴点，代入，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴点和点R的纵坐标为，
令，则，
解得，
∴，
∵，
∴．
∴两个通风孔之间的间距的长为．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、黄金分割点等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）证得即可求证；
（2）过点O作于N，于M，根据全等三角形对应边上的高相等可得，分别表示出S1，S2，S3，结合即可推出，故可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：如图，过点O作于N，于M，
由（1）知，，
∵，
∴
∴
∴，
∴的面积分别为：
∵，
∴
∴
即：
∴点D为线段的黄金分割点．
22．(1)加工成的正方形零件的边长是；
(2)加工成的矩形零件面积的最大值是；
(3)加工成的矩形零件面积的最大值为．
【分析】（）设正方形零件的边长，由四边形是正方形得，则，故，即可解得加工成的正方形零件的边长是；
（）设，由可得，故，从而，由二次函数性质可得答案；
（）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，由得是等边三角形，有，，设，则，故，由二次函数性质可得答案；
本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键．
【详解】（1）设正方形零件的边长，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是的高，
∴是的高，
∵，
∴，
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），
∴，
解得，
∴加工成的正方形零件的边长是；
（2）设，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∴加工成的矩形零件面积的最大值是；
（3）延长与交于点，过点作于点，交于点，交于点，如图，
∵，
∴是等边三角形；
∵，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，
∴加工成的矩形零件面积的最大值为．
23．（1）函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2（2）a２=b或b=-a2﹣a（3）x0的取值范围0【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；
（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=-a，x2=a+1，
y1的图象与x轴的交点是（-a，0）（a+1，0），
当y2=ax+b经过（-a，0）时，﹣a２+b=0，即a２=b；
当y2=ax+b经过（a+1，0）时，（a+1）a+b=0，即b=-a2﹣a；
（3）（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，且二次函数开口向上，由图像可知
由m＜n，得0【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的对称性及与x轴的交点问题.
24．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平分，是直径，得出，则，进而得出，根据三角形的内角和定理得出，即可求证；
（2）连接，易得是等边三角形，则，，通过证明，即可得出结论；
（3）先证明，得出，则，再证明，得出，则，结合，即可求证．
【详解】（1）证明：∵平分，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵的半径为1，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线．