2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．0.22×10﹣7B．2.2×10﹣8C．22×10﹣9D．22×10﹣10
3．（3分）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
4．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，10C．3，4，8D．4，5，6
5．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．3B．2.5C．9D．4
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a3
7．（3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
8．（3分）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．4+415B．8+417C．4+417D．8+415
9．（3分）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）我们把形如x+abx=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，x+3x=4为“十字分式方程”，其可转化为x+1×3x=1+3，则x1＝1，x2＝3．若k＞2时，关于x的“十字分式方程”x+1-1-k2x+1=2k的两个解分别为x1，x2，且x1＜x2，则x22x1+4的值为（ ）
A．12B．14C．﹣2D．2
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若x-5在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ ．
13．（4分）已知xy=32，则x+yx-y的值为 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC＝ °．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，AC＝2，则CD的长为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为 ．
17．（4分）一项工作由甲单独做，需a天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前1天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 ．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝3，点M，N分别在边BC，CD上，当∠AMN+∠ANM＝120°时，△AMN的周长最小，则它的周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）|-2023|+π0-(16)-1+16；
（2）3(3-2)-12÷3+2-3．
20．（10分）计算：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；
（2）x2x2+2x+1÷(x-1x+1)．
21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ．
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
22．（10分）张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车．
（1）新能源车每千米行驶费用为 元（用含a的代数式表示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用．
23．（10分）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD；
（2）请用无刻度的直尺作出CD边的中点F（不写作法，保留作图痕迹）．
24．（12分）认真观察下面这些算式：
①32﹣12＝8＝8×1，
②52﹣32＝16＝8×2，
③72﹣52＝24＝8×3，
④92﹣72＝32＝8×4，
…
完成下列问题：
（1）照上面的规律，算式⑤为 ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为2n+1，请用含n的式子表示这个规律，并证明；
（3）请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确．
25．（13分）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究．
如图，在等边三角形ABC中，过点B作射线BM∥AC，在射线CB上取一点P（不与点B，C重合），作∠APE＝60°，∠APE的边PE交射线BM于点E．
（1）【动手操作】
如图1，若点P在线段CB上，图中与∠EPB相等的角为 ；
（2）【问题探究】
在（1）的基础上，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
当点P在射线CB上移动时，用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
26．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点，连接AD，BD．
（1）作△ADE（点A，D，E按逆时针排列），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．
①如图1，若点D为△ABC内一点，连接CE．请找出图中的一对全等三角形，并给出证明；
②如图2，若∠BAC＝90°，点D为线段BC上一点，判断BD，DC，AD之间的数量关系并证明；
（2）若∠BAC＝90°，∠ADB＝90°，AD＝2，BD＝4，求CD的长．
2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．0.22×10﹣7B．2.2×10﹣8C．22×10﹣9D．22×10﹣10
【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：B．
3．（3分）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【解答】解：由平移的性质可知：CF＝BE＝2，
故选：A．
4．（3分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．6，8，10C．3，4，8D．4，5，6
【解答】解：A．12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B．62+82＝102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C．32+42≠82，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D．42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．3B．2.5C．9D．4
【解答】解：A、3是最简二次根式，符合题意；
B、2.5=2510=51010，不是最简二次根式，不符合题意；
C、9=3，不是最简二次根式，不符合题意；
D、4=2，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝aB．a2•a＝a3C．（a2）3＝a5D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；
B．a2•a＝a3，故此选项符合题意；
C．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
D．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意．
故选：B．
7．（3分）如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：A．
8．（3分）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．4+415B．8+417C．4+417D．8+415
【解答】解：如图，标上必要的字母，
∵AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，
∴AD＝AC＝2，CD＝2AC＝4，
在Rt△BCD中，
由勾股定理，得BD2＝BC2+CD2＝12+42＝17，
所以BD=17，
所以“数学风车”的外围周长是：（2+17）×4＝8+417．
故选：B．
9．（3分）在下面的正方形分割方案中，可以验证（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵由选项A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴选项A不符合题意；
∵由选项B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵由选项C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
∴选项C不符合题意；
∵由选项D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∴选项D符合题意；
故选：D．
10．（3分）我们把形如x+abx=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，x+3x=4为“十字分式方程”，其可转化为x+1×3x=1+3，则x1＝1，x2＝3．若k＞2时，关于x的“十字分式方程”x+1-1-k2x+1=2k的两个解分别为x1，x2，且x1＜x2，则x22x1+4的值为（ ）
A．12B．14C．﹣2D．2
【解答】解：原方程变为x+1+(k+1)(k-1)x+1=（k+1）+（k﹣1），
∴x1+1＝k﹣1，x2+1＝k+1，
∴x1＝k﹣2，x2＝k，
∴x22x1+4=k2k=12．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）若x-5在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【解答】解：由题意得：x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
12．（3分）分解因式：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b） ．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
13．（4分）已知xy=32，则x+yx-y的值为 5 ．
【解答】解：∵xy=32，
∴设x＝3k，则y＝2k，
∴x+yx-y=3k+2k3k-2k=5，
故答案为：5．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC＝ 103 °．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由折叠可知，
∠ACD=12∠ACB=45°．
又∵∠A＝58°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝103°．
故答案为：103．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AB＝4，AC＝2，则CD的长为 3 ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴BC=AB2-AC2=42-22=23，
∵CD是△ABC的高，
∴S△ABC=12AB•CD=12AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=2×234=3，
即CD的长为3，
故答案为：3．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为 32 ．
【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于点T．
∵AD平分∠CAB，DT⊥AB，DC⊥AC，
∴DT＝DC，
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=32+42=5，
∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•DT+12•AC•DC，
∴DC=3×43+5=32．
故答案为：32．
17．（4分）一项工作由甲单独做，需a天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前1天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 a2﹣a ．
【解答】解：假设工作总量为“1”，则甲的工作效率为1a，
∴乙的工作效率为1a-1-1a=1a2-a，
∴乙单独完成该项工作需要天数为（a2﹣a）天．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝3，点M，N分别在边BC，CD上，当∠AMN+∠ANM＝120°时，△AMN的周长最小，则它的周长的最小值为 219 ．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M'，交CD于N'，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于H，
∵当∠AMN+∠ANM＝120°时，△AMN的周长最小，
∴∠AM'N'+∠AN'M'＝120°，
∴2∠A'AM'+2∠N'AA''＝120°，
即∠A'AM'+∠N'AA''＝60°，
∴∠A'AA''＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H＝30°，
由对称性，知AA′＝2AB＝4，AA″＝2AD＝6，
在Rt△A′HA中，
AH=12AA′＝2，
由勾股定理，得A′H=42-22=23，
在Rt△A′HA''中，
A″H＝AA''+AH＝6+2＝8，
由勾股定理，得A′A″=A'H2+A″H2=(23)2+82=219．
故答案为：219．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算：
（1）|-2023|+π0-(16)-1+16；
（2）3(3-2)-12÷3+2-3．
【解答】解：（1）原式＝2023+1﹣6+4
＝2022；
（2）原式＝3﹣23-12÷3+2-3
＝3﹣23-2+2-3
＝3﹣33．
20．（10分）计算：
（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；
（2）x2x2+2x+1÷(x-1x+1)．
【解答】解：（1）原式＝2a﹣a2+a2﹣1
＝2a﹣1；
（2）原式=x2(x+1)2÷（x2+xx+1-1x+1）
=x2(x+1)2÷x2+x-1x+1
=x2(x+1)2×x+1x2+x-1
=x2(x+1)(x2+x-1)．
21．（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 （﹣4，3） ．
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
【解答】解：（1）△ABC如下图所示．
（2）∵点D与点C关于y轴对称，C（4，3），
∴D点的坐标与C点的坐标横坐标相反，纵坐标相同，即为（﹣4，3）．
（3）∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为1，
即12BP⋅yA=1，
∴12BP×1=1，
∴BP＝2，
∵B（2，0），
∴点P的横坐标为：2+2＝4或2﹣2＝0，
∴点P的坐标为（4，0）或（0，0）．
22．（10分）张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车．
（1）新能源车每千米行驶费用为 36a 元（用含a的代数式表示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用．
【解答】解：（1）由图可得，
新能源车每千米行驶费用为60×0.6a=36a（元），
故答案为：36a；
（2）由题意可得，
40×9a=36a+0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的根，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.06元．
23．（10分）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD；
（2）请用无刻度的直尺作出CD边的中点F（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】（1）证明：在△ACB和△ADE中，
AB=AE∠ABC=∠AEDBC=ED，
∴△ACB≌△ADE（SAS）；
（2）解：如图，点F即为所求．
24．（12分）认真观察下面这些算式：
①32﹣12＝8＝8×1，
②52﹣32＝16＝8×2，
③72﹣52＝24＝8×3，
④92﹣72＝32＝8×4，
…
完成下列问题：
（1）照上面的规律，算式⑤为 112﹣92＝40＝8×5 ；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为2n+1，请用含n的式子表示这个规律，并证明；
（3）请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确．
【解答】解：（1）32﹣12＝8＝8×1，
②52﹣32＝16＝8×2，
③72﹣52＝24＝8×3，
④92﹣72＝32＝8×4，
∴⑤112﹣92＝40＝8×5，
故答案为：112﹣92＝40＝8×5；
（2）这个规律为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
证明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n•2
＝8n；
（3）“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不正确，理由如下：
设两个连续偶数为2n，2n+2，
∴（2n+2）2﹣（2n）2
＝4n2+8n+4﹣4n2
＝8n+4
＝4（2n+1），
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，而不是8的倍数，
∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不正确．
25．（13分）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究．
如图，在等边三角形ABC中，过点B作射线BM∥AC，在射线CB上取一点P（不与点B，C重合），作∠APE＝60°，∠APE的边PE交射线BM于点E．
（1）【动手操作】
如图1，若点P在线段CB上，图中与∠EPB相等的角为 ∠PAC ；
（2）【问题探究】
在（1）的基础上，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
当点P在射线CB上移动时，用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵∠APB＝∠BCA+∠PAC＝∠APE+∠BEP，∠APE＝∠ACB＝60°，
∴∠EPB＝∠PAC，
故答案为：∠PAC；
（2）PA＝PE，理由如下：
如图，延长MB至H，使BH＝BP，连接PH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BM∥AC，
∴∠ACB＝∠CBH＝60°，
又∵BP＝BH，
∴△BPH是等边三角形，
∴PH＝BP＝BH，∠H＝60°＝∠ABC＝∠APE＝∠BPH，
∴∠APB＝∠EPH，
∴△APB≌△EPH（ASA），
∴AP＝AE；
（3）当点P在BC上时，BC＝BP+BE，当点P在线段CB的延长线上时，BE＝BP+BC，理由如下：
当点P在BC上时，由（1）可知：△APB≌△EPH，
∴AB＝EH，
∴BC＝EH＝EB+BH＝BE+BP；
当点P在线段CB的延长线上时，如图2，在BE上截取BH＝BP，连接PH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BM∥AC，
∴∠ACB＝∠PBH＝60°，
又∵BP＝BH，
∴△BPH是等边三角形，
∴PH＝BP＝BH，∠BHP＝60°＝∠ABC＝∠APE＝∠BPH，
∴∠APB＝∠EPH，∠EHP＝∠ABP＝120°，
∴△APB≌△EPH（ASA），
∴EH＝AB，
∴BE＝BH+EH＝BP+BC．
26．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点，连接AD，BD．
（1）作△ADE（点A，D，E按逆时针排列），使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．
①如图1，若点D为△ABC内一点，连接CE．请找出图中的一对全等三角形，并给出证明；
②如图2，若∠BAC＝90°，点D为线段BC上一点，判断BD，DC，AD之间的数量关系并证明；
（2）若∠BAC＝90°，∠ADB＝90°，AD＝2，BD＝4，求CD的长．
【解答】解：（1）①△ABD≌△ACE，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②2AD2＝DC2+BD2；理由如下：
如图2，连接CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°＝∠ACB，DE=2AD，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴DE2＝DC2+CE2，
∴2AD2＝DC2+BD2；
（2）解：当点D在AB下方时，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，
∵∠ADB＝90°，AD＝2，BD＝4，
∴AB=AD2+BD2=4++16=25=AC，
∵S△ABD=12AB•HD=12×AD•BD，
∴2×4＝25DH，
∴DH=455，
∴AH=AD2-DH2=4-165=255，
∵DH⊥AB，DN⊥AC，∠BAC＝90°，
∴四边形ANDH是矩形，
∴AH＝DN=255，AN＝HD=455，
∴CN=655，
∴CD=CN2+DN2=365+45=22，
当点D在AB的下方时，同理可求：CD'＝210，
综上所述：CD的长为22或210．
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续航里程：a千米
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电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用： 元
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电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用： 36a 元