江苏省南通市如皋市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江苏省南通市如皋市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）

A．2B．C．3D．5
4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
5．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（ ）

A．ASAB．SASC．AASD．SSS
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
图1 图2
A．B．C．D．
9．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（ ）
A． B．
C． D．
10．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则，．若时，关于的“十字分式方程”的两个解分别为，且，则的值为（ ）
A．B．C．-2D．2
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．分解因式：
13．已知，则的值为 ．
14．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 ．
15．如图，中，，，，，则的长为 ．
16．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ．
17．一项工作由甲单独做，需天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前1天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为 ．
18．如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算：
(1)；
(2)
21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，

(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______．
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．
22．张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车．
(1)新能源车每千米行驶费用为________元（用含的代数式表示）；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用．
23．如图，，，．
(1)求证：；
(2)请用无刻度的直尺作出边的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
24．认真观察下面这些算式：
①，
②，
③，
④，
……
完成下列问题：
(1)照上面的规律，算式⑤为________；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为，请用含的式子表示这个规律，并证明；
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确．
25．某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究．
如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点．
图1 备用图
(1)【动手操作】
如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________；
(2)【问题探究】
在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由．
26．如图，在中，，点为所在平面内一点，连接，．
图1 图2 备用图
(1)作（点A，，按逆时针排列），使，．
①如图1，若点为内一点，连接．请找出图中的一对全等三角形，并给出证明；
②如图2，若，点为线段上一点，判断，，之间的数量关系并证明；
(2)若，，，，求的长．
燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元／千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：________元
参考答案：
1．C
【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长．
【详解】解：∵沿方向平移至处．
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
4．B
【分析】找出每个选项中的两个较小的数，求他们的平方和，再求这组数据中最大数的平方，比较两个数是否相等，若相等，就能构成直角三角形，不相等就不能构成直角三角形．
【详解】、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
、，此选项能构成直角三角形，符合题意；
、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
、，此选项不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的关键是熟记，勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长，，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
5．A
【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由图可知，三角形的两角和它们的夹边是完整的，即可得到答案．
【详解】解：由图可知，三角形的两角和它们的夹边是完整的，可以利用“ASA”画出完全一样的三角形．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键．
通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可．
【详解】解：如图：
由题意可知：
∵，
∴，即，
∴，
∴这个风车的外围周长是．
故选：B．
9．C
【分析】用面积公式和作差法求小正方形、长方形的面积，令其与大正方形相等．
【详解】A、不能验证公式，该选项不符合题意；
B、可以验证，该选项不符合题意；
C、可以验证，该选项符合题意；
D、可以验证，即，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何验证，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分式方程等知识点；理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键．
把原方程变形为，再结合运用“十字分式方程”求得，进而得到，最后代入运算即可求解．
【详解】解：
∴，
∴，
∴．
故选A．
11．x≥5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
12．．
【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】．
13．5
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意得到，再把代入所求式子中进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
14．103
【分析】本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据折叠先求出的度数，再利用外角定理即可解决问题．
【详解】解：，
由折叠可知，
．
又，
．
故答案为：103
15．
【分析】由题意，证明△ACD∽△CBD，得到，然后代入数据，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质进行解题．
16．/
【分析】本题主要考查了角平分线作图、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，掌握等面积法是解题的关键．
如图：过点D作于M，由勾股定理可求得，由作图可知平分，由角平分线的性质可得，然后根据等面积法列方程求解即可．
【详解】解：如图：过点D作于E，
∵，，
∴,
由题中作图知：平分，，，
∴，
∵，
∴，即，解得：．
故答案为．
17．
【分析】本题主要考查了列分式以及分式的混合运算，掌握分式混合运算的计算法则及工程问题中“工作效率×工作时间=工作总量”的等量关系是解题的关键．
设总工作量为单位“1”，由“工作效率=工作总量÷工作时间”可求得甲乙两人的合作效率，然后求得乙的工作效率，从而完成解答．
【详解】解：∵一项工作由甲单独做，需a天完成，
∴甲的工作效率为，
又∵由甲、乙两人合作，则可提前2天完成，
∴甲、乙的合作效率为，
∴乙的工作效率为，
∴乙单独完成该项工作需要的天数为，
故答案为： ．
18．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握运用轴对称求最值是解题的关键．
作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,则即为周长的最小值，求出的长即可．
【详解】解：如图：作A关于和的对称点，连接，交BC于，交CD于，过作于G,
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
故答案为．
19．(1)2022
(2)
【分析】本题考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握零指数与负整指数幂的运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方与开方，并化简绝对值，再计算加减即可；
（2）先计算二次根式乘法与除法，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可；
（2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
21．(1)图形见解析
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，轴对称的性质，
（1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形
（2）根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案
（3）由P为x轴上一点，的面积为1，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：如下图所示．

（2）∵点D与点C关于y轴对称，，
∴点的坐标与C点的坐标横坐标相反，纵坐标相同，即为.
（3）∵P为x轴上一点，且的面积为1，
即
∴
∴
∵，
∴点P的横坐标为：或，
∴点P的坐标为或．
22．(1)
(2)燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元．
【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式等知识点，明确题意、列出相应的分式方程是解题的关键．
（1）根据表中的信息，列出新能源车的每千米行驶费用的代数式即可；
（2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：元．
故答案为：．
（2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴元，元．
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂线的作法等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由，根据根据等腰三角形三线合一的性质过A作的垂线，垂足F即可所求．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图：点F即为所求．
24．(1)
(2)，证明见解析
(3)不成立，理由见解析
【分析】本题考查平方差公式的应用、数字规律等知识点，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键．对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．
（1）仿照已有等式写出答案即可；
（2）根据文字概括用含的式子表示这个规律即可；
（3）采用举反例的方法即可解答．
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
……
⑤．
故答案为．
（2）解：规律，证明如下：
两个连续奇数，前一个为，则后一个为
∵两个连续奇数的平方差能被8整除，
∴
，
∵n为整数，
∴两个连续奇数的平方差能被8整除．
（3）解：不成立，理由如下：
举反例，如，
∵12不是8的倍数，
∴这个说法不成立．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质进行推理即可解答；
（2）如图：延长至H，使，连接，然后证明是等边三角形，，再运用“”可证可得；
(3) 当点P在上和延长线上两种，分别运用“”可证，可得，然后根据线段的和差和等量代换即可解答．
【详解】（1）解：∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：如图：延长至H，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴.，
∴．
∴．
（3）解：当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由如下：
当点P在上时，由（2）可知： ，
∴，
∴；
如图2：当点P在线段的延长线上时，在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴°，
∴，
∴，
∴．
综上，当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，．
26．(1)①，证明见解析；②
(2)或
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
（1）①由“”可证即可；②如图；连接，然后运用“”可证可得，进而说明，最后运用勾股定理即可解答；
（2）分点D在AB的上方和下方两种情况，分别运用勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长即可．
【详解】（1）解：①，证明如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
②如图；连接，
∵,
∴,
∵，
∴,
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图：当点D在下方时，过点D作于H，于N，
∵,
∴’
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴四边形是矩形，
∴,
∴，
∴；
当点D在的下方时，同理可求：．
综上所述：的长为或．