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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件习题，共20页。
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
【自主学习】
一．命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
二．充分条件与必要条件的概念
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．
三．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
【当堂达标基础练】
1 .下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
【当堂达标提升练】
一、单选题
1． “aA．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件
二、多选题
3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
5．下列命题是真命题的有（ ）
A．一次函数的图像一定经过点
B．已知，则是的充要条件
C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
三、填空题
6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
8．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【当堂达标素养练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
2．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
6.设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
1.4.1 充分条件与必要条件导学案
【学习目标】
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
【自主学习】
一．命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
p q
二．充分条件与必要条件的概念
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．
三．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
【当堂达标基础练】
1 .下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
【解析】（1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。
（3）这是一条菱形的性质定理， p⇒q，所以p是q的充分条件。
（4）由于(-1)2 =1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。
（5）由等式的性质知， p⇒q，所以p是q的充分条件。
（6）为无理数但是有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。
2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
【解析】（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
（4）显然p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（5）由于 ，但，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
（6）由于为无理数，但不全是无理数，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
【当堂达标提升练】
一、单选题
1． “aA．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“a2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】B
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
二、多选题
3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】取，，得，故A不是“，”的必要条件；
由，，得，故B是“，”的必要条件；
取，，得，故C不是“，”的必要条件；
由，，得，故D是“，”的必要条件．
4．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；
对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确；
对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；
对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.
5．下列命题是真命题的有（ ）
A．一次函数的图像一定经过点
B．已知，则是的充要条件
C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
【答案】AC
【详解】选项A，，令，则，与无关，故一次函数的图像一定经过点，正确；
选项B，若，则，故是的充分不必要条件，错误；
选项C，若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是直角三角形，正确；
选项D，当时，能被整除，但不能被整除，错误.
三、填空题
6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】[0，1]
【分析】由是的必要条件，则，即，从而可得答案.
【详解】设集合
由是的必要条件，则，即
所以 ，解得
故答案为：[0，1]
四、解答题
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)解：当时，，又，
所以，；
(2)解：因为是的必要条件，所以，即，
所以有，解得，
所以实数m的取值范围为.
8．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)．
当时，
所以，；
(2)是的充分不必要条件
∴A是B的真子集，故
即
所以实数m的取值范围是.
【当堂达标素养练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
【答案】
此时，但，
故；
（2），
若，则必有，
所以；
令，则，，
此时，但，
故；
综上所述，；
（3）若，则，
则且，
则且，
则，
故；
若，
则且，
则且，
则，
则，
故；
综上所述，；
（4）若，则，
则或，
则或，
则，
故；
若，
则或，
则或，
则，
则，
故；
综上所述，；
2．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；
（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可
(1)由题意得：
当时，
故
(2)由“”是“”的必要不充分条件
可得：
当时，得
解得：；
当时，，解得.
综上，的取值范围为：
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)；(2)
(1)当时，集合，因为，
所以；
(2)若选择①，则由A∪B＝B，得．
当时，即，解得，此时，符合题意；
当时，即，解得，所以，解得：；
所以实数的取值范围是．
若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．
当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；
当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；
所以实数的取值范围是．
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】选条件①，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
又，，则或，解得或，因此，，
所以实数a的取值范围为.
选条件②，因为“”是“”是必要不充分条件，则有，
又，，则或，无解，
所以不存在满足题意的实数a.
选条件③，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
又，，所以或，无解，
所以不存在满足题意的实数.
6.设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p q
p q
条件关系
p是q的 条件
q是p的 条件
p不是q的 条件
q不是p的 条件
A⊆B
p是q的充分条件；q是p的必要条件
B⊆A
q是p的充分条件；p是q的必要条件
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p q
p q
条件关系
p是q的 条件
q是p的 条件
p不是q的 条件
q不是p的 条件
A⊆B
p是q的充分条件；q是p的必要条件
B⊆A
q是p的充分条件；p是q的必要条件
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
【自主学习】
一．命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
二．充分条件与必要条件的概念
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．
三．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
【当堂达标基础练】
1 .下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
【当堂达标提升练】
一、单选题
1． “a
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件
二、多选题
3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
5．下列命题是真命题的有（ ）
A．一次函数的图像一定经过点
B．已知，则是的充要条件
C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
三、填空题
6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
四、解答题
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
8．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【当堂达标素养练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
2．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
6.设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
1.4.1 充分条件与必要条件导学案
【学习目标】
1、了解命题的概念，会判断命题的真假；
2、理解充分条件、必要条件的意义（重难点）；
3、会判断充分条件和必要条件（重点）．
【自主学习】
一．命题
1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．
2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中____叫作命题的条件，____叫作命题的结论．
3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．
p q
二．充分条件与必要条件的概念
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要
解读：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．
三．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
【当堂达标基础练】
1 .下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
【解析】（1）这是平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件。
（3）这是一条菱形的性质定理， p⇒q，所以p是q的充分条件。
（4）由于(-1)2 =1，但是-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件。
（5）由等式的性质知， p⇒q，所以p是q的充分条件。
（6）为无理数但是有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。
2. 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
【解析】（1）这是平行四边形的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（2）这是三角形相似的性质定理，p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
（4）显然p⇒q，所以 q是p的必要条件。
（5）由于 ，但，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
（6）由于为无理数，但不全是无理数，p ⇏q，所以 q不是p的必要条件。
【当堂达标提升练】
一、单选题
1． “a
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，，则满足，不满足；
由可得，不能推出，
所以“a
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】B
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以“”是“”的必要不充分条件．
二、多选题
3．（多选）下列是“，”的必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】取，，得，故A不是“，”的必要条件；
由，，得，故B是“，”的必要条件；
取，，得，故C不是“，”的必要条件；
由，，得，故D是“，”的必要条件．
4．下列命题中是真命题的为（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“集合”是“”的充分不必要条件
【答案】BD
【详解】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；
对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确；
对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；
对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.
5．下列命题是真命题的有（ ）
A．一次函数的图像一定经过点
B．已知，则是的充要条件
C．外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.
D．若能被整除，那么都能被整除.
【答案】AC
【详解】选项A，，令，则，与无关，故一次函数的图像一定经过点，正确；
选项B，若，则，故是的充分不必要条件，错误；
选项C，若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是直角三角形，正确；
选项D，当时，能被整除，但不能被整除，错误.
三、填空题
6．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】[0，1]
【分析】由是的必要条件，则，即，从而可得答案.
【详解】设集合
由是的必要条件，则，即
所以 ，解得
故答案为：[0，1]
四、解答题
7．集合．
(1)若，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)解：当时，，又，
所以，；
(2)解：因为是的必要条件，所以，即，
所以有，解得，
所以实数m的取值范围为.
8．已知集合，．
(1)当时，求，；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；(2)
(1)．
当时，
所以，；
(2)是的充分不必要条件
∴A是B的真子集，故
即
所以实数m的取值范围是.
【当堂达标素养练】
1．从符号“”“”“”中选择适当的一个填空：
（1）_________；
（2）_________；
（3）_________；
（4）_________.
【答案】
此时，但，
故；
（2），
若，则必有，
所以；
令，则，，
此时，但，
故；
综上所述，；
（3）若，则，
则且，
则且，
则，
故；
若，
则且，
则且，
则，
则，
故；
综上所述，；
（4）若，则，
则或，
则或，
则，
故；
若，
则或，
则或，
则，
则，
故；
综上所述，；
2．设集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；
（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可
(1)由题意得：
当时，
故
(2)由“”是“”的必要不充分条件
可得：
当时，得
解得：；
当时，，解得.
综上，的取值范围为：
3.已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)；(2)
(1)当时，集合，因为，
所以；
(2)若选择①，则由A∪B＝B，得．
当时，即，解得，此时，符合题意；
当时，即，解得，所以，解得：；
所以实数的取值范围是．
若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．
当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；
当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；
所以实数的取值范围是．
4.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
5.从①，②，③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．
问题：已知集合，______，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】选条件①，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
又，，则或，解得或，因此，，
所以实数a的取值范围为.
选条件②，因为“”是“”是必要不充分条件，则有，
又，，则或，无解，
所以不存在满足题意的实数a.
选条件③，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
又，，所以或，无解，
所以不存在满足题意的实数.
6.设集合.
（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；
（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；
（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.
【详解】（1）设集合中的元素，，所以
，
因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于.
（2）因为，所以；
假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；
假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.
（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.
充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；
必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p q
p q
条件关系
p是q的 条件
q是p的 条件
p不是q的 条件
q不是p的 条件
A⊆B
p是q的充分条件；q是p的必要条件
B⊆A
q是p的充分条件；p是q的必要条件
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p q
p q
条件关系
p是q的 条件
q是p的 条件
p不是q的 条件
q不是p的 条件
A⊆B
p是q的充分条件；q是p的必要条件
B⊆A
q是p的充分条件；p是q的必要条件
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