全等三角形的七大模型综合训练（二）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

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(1)如图1，若点是中点，
求证：①；②．
(2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论；
(3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)成立，见解析
(3)成立，见解析
【分析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论；
（2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论；
（3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论．
【详解】（1）证明：如图
①∵为等边三角形，
∴，
又为中点，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
②∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴．
（2）仍然成立，理由如下：
如图，过点D作DM//BC交AC于M
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴．
（3）的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图．
作交的延长线于，
易证为等边三角形，
，，
而，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：．
(2)若，请直接写出的度数．
(3)过点A作于点H，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)50°
(3)见解析
【分析】(1)根据SAS可证得；
（2）由，可得，故，即可得出的度数；
（3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论．
【详解】（1）证明：∵．
∴．
在和中，
，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴．
故答案为：50°．
（3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J．
∵，
∴，，
∵，．
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键．
3．在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：
(1)①延长到Q，使得；
②连接，把集中在中；
③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________．
感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)请写出图1中与的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】(1)(2)；(3) 证明见解析．
【分析】（1）先判断出，进而得出，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，，根据全等三角形的性质和平行线的判定即可得出结论；
（3）如图2，过作于 延长交于 证明 可得 再证明 即可得出结论．
【解析】（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接，
∵是的中线， ∴，
在和中， ∴，
∴，
在中，
∴，即，
∴，
（2）， 理由是：
由（1）知，，
∴，
∴
（3）
理由：如图2，过作于 延长交于
∵是的中线，则
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴相交所成的角为直角，即
综上：
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
4．在直角三角形中，，直线过点．
(1)当时，
①如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．求证：；
②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于，连接．求证：．
(2)当cm，cm时，如图3，点与点关于直线对称，连接、．点从点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为，点以每秒3cm的速度沿路径运动，终点为，分别过点、作直线于点，直线于点，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，求的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)3.5或5或6.5
【分析】（1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可；②根据对称的性质得到，根据全等得到，，结合线段的和差可得结论；
（2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．
【详解】（1）解：①证明：，
，
直线，
，
，
在和中，
，
；
②证明：点与点关于直线对称，
，
，
，，
，
；
（2）由题意得，cm，
由（1）得，，，
当时，，
当点沿路径运动时，，
解得，，不合题意，
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，，
解得，，
当点沿路径运动时，，
解得，，
综上所述，当或5或6.5时，．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
5．在四边形中．
(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．
小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是 ；
(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】(1)，理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：；
（2）解：仍成立，理由：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：结论：．
理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
6．如图、等腰中，，E点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，则与的数量关系是_____________．
(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
(3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）过点F作于D，证明，得到，进而求出，证明结论；
（3）过点F作交的延长线于H，由（1）（2）可知，，根据全等三角形的性质计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过点F作于D，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即E点为中点；
（3）解：如图3，过点F作交的延长线于H，
∵，，
∴，
由（1）（2）可知，，
∴，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
7．问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？
问题探究
(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；
(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.
问题拓展
(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）如图2，由，得易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，得求得，结合（1）易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接可知，得，，结合（1）易证得、，结合易证得，利用等量代换即可求解．
【详解】（1）解：如图2，
在和中，
，，，
和是等边三角形，
，
即，
，
，
，
又，，
，
，
即，
，
即；
（2）成立，
如图，将绕点C旋转交于点M，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
又，
，
，，
又，
是等边三角形，
，
，
即；
（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
，
又，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质；解题的关键是做辅助线构造全等．
8．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；
(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；
(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．
【答案】(1)见解析，；
(2)见解析．
(3)或．
【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；
（2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题；
（3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）证明：如图1，∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：（2）如图2，过F点作于D点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴＝2，
∴＝，
∵
∴＝，
∴E点为中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3，
∵，，
∴，
由（1）（2）知：，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴，
当点E在线段BC上时，
∵，，
∴，
由（1）（2）知：，
∴，
∴，
∴，
设，则
∴．
综上所述：或．
【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．
9．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3） 或 或
【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（2）如图2，同理可得：；
（3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论；
【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接．
在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图2，延长到G，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）图2中，成立，
图3中，，理由如下：
在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
图4中，，理由如下：
在上截取，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，线段 之间的数量关系为： 或 或，
故答案为： 或 或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
10．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上，且时，那么________度；
(2)设，．
①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整；写出此时与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90
(2)①，证明见解析；②，理由见解析
【分析】（1）易证，即可证明，可得，即可解题；
（2）①易证，即可证明，可得，根据即可解题；②易证，即可证明，可得，根据，即可解题．
【详解】（1）解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为 90．
（2）①，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
②作出图形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．