全等三角形的七大模型综合训练（一）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

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【答案】8
【分析】如图，过点A作AE⊥CD于D，根据同角的余角相等可得∠CAE=∠BCD，利用AAS可证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD，根据三角形面积公式即可得答案.
【详解】如图，过点A作AE⊥CD于D，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，
在△ACE和△CBD中，，
∴△ACE≌△CBD，
∴AE=CD=4，
∴S△ADC=CD·AE=×4×4=8.
故答案为8
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理并正确作出辅助线是解题关键.
2．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.
【答案】 110° 70°
【分析】①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；
②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；
【详解】①∵，
∴∠BAC+∠BCA=140°，
∵AI、CI分别是、的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，
∴∠AIC=180°-70°=110°；
②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI与△DCI中，
，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠ABC=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．
3．如图，在中，为边中点，为边中点，为上一点且，连接，取中点并连接，取中点，延长与边交于点，若，则_________．
【答案】1
【分析】连接QP，通过中位线定理求得PQ的长度并证明，再结合已知条件求得，最后根据即可得出答案．
【详解】如图连接PQ，
∵Q为AE中点，P为AC中点，
∴由中位线定理得：且，
∵，
∴，，
∵G为QD中点，
∴，
∵在与中：，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵D为BC中点，
∴,
∴，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．
【答案】；
【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
【详解】
如图：延长至使，连接
在和中：

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ，∴ ，∴
即，∴
【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
5．如图，是的外角，平分，且与的延长线交于点，点是线段上一动点（点不与重合），若，，令，则的取值范围是___________．
【答案】4＜n＜8
【分析】可以在上截取，连接，证明，可得，进而根据三角形三边的关系即可求得的取值范围．
【详解】解：如图，
在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
即，
，
令，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是构造适当的辅助线．
6．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．
【答案】75°
【分析】延长AE交DC边于点F，先判定Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，则∠BAC＝∠ACB＝45°，再由∠AEB为△AEC的外角，可求得∠AEB的度数，即∠BDC的度数．
【详解】解：延长AE交DC边于点F，如图：
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBD中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠AEB为△AEC的外角，∠CAE＝30°，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+30°＝75°，
∴∠BDC＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形的外角性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
7．如图，在中，，，延长的内角平分线BD至E，使得，则的度数为_________．
【答案】
【分析】在BC上截取FB=AB，连接DF，利用“SAS”可得△ABD≌△FBD，根据全等三角形的性质得到DF=DA，∠A=∠DFB，∠ADB=∠FDB，然后求出∠A的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠ADB的度数，进而得∠FDB的度数，证出∠CDE=∠CDF，根据“SAS”得出△DCE≌△DCF，根据全等三角形的对应角相等即可得出答案．
【详解】解：在BC上截取FB=AB，连接DF，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠FBD=∠ABC=29.5°，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DA=DF，∠ADB=∠FDB，∠A=∠DFB=180°-∠ABC-∠ACB=180°-59°-30.5°=90.5°，
∴∠ADB=∠FDB =180°-∠A-∠ABD=180°-90.5°-29.5°=60°，
∴∠CDE=∠ADB=60°，
∴∠CDF=180°-60°-60°=60°，
∴∠CDE=∠CDF，
∵DE=DA，
∴DE=DF，
在△DCE和△DCF中，
，∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴∠E=∠CFD=∠FBD+∠FDB=29.5°+60°=89.5°；故答案为：89.5°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，以及辅助线作法；通过添加辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
8．如图，在中，，CD为的角平分线，在AC边上取点E，使，且，若，，则_______．（用x、y的代数式表示）
【答案】180°-x°-y°
【分析】在AC上截取CF=BC，根据全等三角形的性质可得BD=DF=DE，可得∠AED=∠ABC，根据三角形的内角和可求解．
【详解】解：如图，在AC上截取CF=BC，
∵CD为∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD，
∵CF=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，
∴△BDC≌△FDC（SAS），
∴∠ABC=∠CFD，DF=BD，
∵BD=DE，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AED=∠CFD，
∵∠A=x°，∠ACB=y°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-x°-y°，
∴∠AED=∠DBC=180°-x°-y°，
故答案为：180°-x°-y°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
9．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．
【答案】2或4
【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，
∵，，
∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL），
∴t=4÷2=2秒；
当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL），
∴t=8÷2=4秒，
综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键．
10．如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF=_______．
【答案】
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．
【详解】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在和中，
∴
∴BG＝AC，，
又∵AE＝EF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝，
∴BF＋EF＝，
即BF＋＝，
解得BF＝．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则______．
【答案】
【分析】作，交于，作，交于．通过平行线的性质证明，，，即可求出．
【详解】解：作，交于，作，交于，
是的中线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
12．如图四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4，则△BCD面积＝_____________．
【答案】8
【分析】根据和得到，再根据，得到，结合已知条件AC＝CD，可证明，从而得到，最终计算出△BCD面积．
【详解】如下图所示，过点D做DE垂直于BC于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的相关知识．
13．如图，，则______．
【答案】
【分析】如图，延长交于点，证明≌，可得，结合，，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出正确的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
14．如图，，，，，点M为的中点，，______．
【答案】6
【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可．
【详解】证明：延长AM至N，使，连接，
∵点M为的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．
15．如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值．
【详解】解：如图，取的中点G，连接，
∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
即，
∴，
∵是等边三角形的高，
∴，
∴，
又∵旋转到，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
∴，
∴，
∴．
∴线段长度的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16．如图，在中，平分，交于点D，过C作的垂线交的延长线于点E．若，则____________．
【答案】
【分析】延长交于点F，证，得，通过角之间的关系，得到，又由，可得，进而可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点F，
∵，
∴，
∴
又
∴ ，
∴，
又∵
∴，
∴，
在和中，
∵平分，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会利用一些简单的辅助线辅助解题．
17．如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．
【答案】2
【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：连接,
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴，
∴点P在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．
18．△ABC中，，点D是△ABC外一点，连接BD，CD，，点F是CD上一点，连接AF，若，，则BD的长为___________．
【答案】8
【分析】作的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，则，设，则，利用AAS求证，根据全等三角形的性质可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图，作的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，则，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，，，
（AAS），
，，
，
，
，
，
故答案为：8
【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质，解题的关键是作图构造全等三角形，熟练运用全等三角形的判定求证．
19．如图，在和中，，以点为顶点作，两边分别交于点，连接，则的周长为___________．
【答案】8
【分析】延长到点E，使，连接，先由证明，再由得，即可证明，再证明，得，，再证明，得，即可推导出．
【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：8．
【点睛】此重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20．如图所示，平分，，于点E，，，那么的长度为________cm．
【答案】
【分析】通过辅助线构造全等三角形，再根据全等三角形的性质进行线段之间的转化，最后代入长度计算即可．
【详解】解：如图
作，交的延长线于点
，平分
，
，
故答案为
【点睛】本题考查了角平分线的性质，主要相关知识点有：全等三角形的判定、同角的补角相等、全等三角形的性质等，辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．如图，在中，平分交于点D，若，，则__________．
【答案】6
【分析】延长到E，使得，连接，可得，即可得，进而解题即可．
【详解】如图，延长到E，使得，连接，
则,
又∵
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∵,
∴
解得：
故答案为：6．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
22．如图，的角平分线、相交于点、若，交于、交于．直接写出、、的数量关系____________________．
【答案】
【分析】由三角形定理得由角平分线定义得，，在上截取，连接，证明进一步得出，再证明得出，从而可得出结论
【详解】在中，
∵平分，平分
∴
∴
∴
∴
在上截取，连接
在和中，
∴
∴
在和中，
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和与差，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键
23．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则__________．
【答案】102°
【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
24．如图，是等边三角形，直线于点C，点D在直线MN上一动点，以AD为边向右作等边三角形ADE，连结CE，已知，则CE的最小值是_________．
【答案】
【分析】连接BD，由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，证明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，过点B作BH⊥CM于点H，由直角三角形的性质求出BH的值，则可得出答案．
【详解】解：连接BD，

∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝BC＝12，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
过点B作BH⊥CM于点H，
∵点D在直线MN上一动点，
∴点D与点H重合时，BD有最小值，
∵AC⊥MN，
∴∠ACM＝90°，
∴∠BCM＝30°，
∴BH＝BC＝6，
∴CE的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，证明△BAD≌△CAE是解题的关键．
25．如图，在四边形ABCD中，AC是四边形的对角线，∠CAD=30°，过点C作CE⊥AB于点E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的长度比CD的长度多2，则BE的长为_______________．
【答案】1
【分析】在AE上截取EF=BE，连接CF，则CE垂直平分BF，结合题意推出AF=CF，过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，进而得出AM=CN，根据题意及三角形外角性质推出∠MAF=∠NCD，利用ASA判定△AFM≌△CDN，根据全等三角形的性质得到AF=CD，结合题意即可得解．
【详解】解：在AE上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CE垂直平分BF，
∴BC=FC，
∴∠B=∠BFC，
∵∠B=2∠BAC，
∴∠BFC=2∠BAC，
∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，
∴∠ACF=∠BAC，
∴AF=CF，
过点F作FM⊥AC，交AC于点M，过点C作CN⊥AD，交AD的延长线于点N，则有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，
∵∠CAD=30°，∠N=90°，
∴AC=2CN，
∴AM=CN，
∵∠ACD+∠BAC=60°，
∴∠ACD=60°-∠BAC，
∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，
∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，
∴∠MAF=∠NCD，
在△AFM和△CDN中，，
∴△AFM≌△CDN（ASA），
∴AF=CD，
∵AB的长度比CD的长度多2，
∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，
∴BE=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．