全等三角形的七大模型压轴题训练（四）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

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1．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，若AB＝8，点D是AC边上的中点，求S△BCD；
（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．
2．在RtΔABC中，∠BAC=90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE=OA，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC=∠OCB，且BD=OC，连接DE.
(1)如图一，当点O在RtΔABC内部时.
①按题意补全图形；
②猜想DE与BC的数量关系，并证明.
(2)若AB=AC(如图二)，且∠OCB=30°，∠OBC=15°，求∠AED的大小.

3．在中，点在边所在直线上（与点，不重合），点在边所在直线上，且，交边于点．
（1）如图1，若是等边三角形，点在边上，过点作于，试说明：．
某同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点作，交于点，如图1
因为是等边三角形，得是等边三角形
又由，得
再说明
得出．
从而得到结论．
思路二：过点作，交的延长线于点，如图
①请你在“思路一”中的括号内填写理由；
②根据“思路二”的提示，完整写出说明过程；
（2）如图3，若是等腰直角三角形，，点在线段的延长线上，过点作于，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
4．如图，在中，，是中线，作关于的轴对称图形.
（1）直接写出和的位置关系；
（2）连接，写出和的数量关系，并说明理由；
（3）当，时，在上找一点，使得点到点与到点的距离之和最下小，求的面积.
5．（）如图①，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．
求证：．
（）如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？
（）如图③，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
6．探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为 ．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
7．直角三角形有一个非常重要的性质质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,比如:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB中点,则CD=AD=BD=-AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题:
在△ABC中,直线绕顶点A旋转.
(1)如图2,若点P为BC边的中点,点B、P在直线的异侧,BM⊥直线于点M,CN⊥直线于点N,连接PM、PN.求证:PM=PN；
(2)如图3,若点B、P在直线的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；
(3)如图4,∠BAC=90°,直线旋转到与BC垂直的位置,E为AB上一点且AE=AC，EN⊥于N,连接EC,取EC中点P,连接PM、PN,求证:PM⊥PN.
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，
①求∠ECD的度数；
②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．
9．（1）阅读理解：
如图 1，在△ABC 中，若 AB=10，AC=6，求 BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长 AD到点 E使 DE=AD，连接 BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把 AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线 AD的取值范围是__________．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是 BC边上的中点,DE⊥DF 于点 D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
10．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接CE．
(1)如图1，当点D在线段上，如果，则 度；
(2)如图2，当点D在线段上，如果，则 度；
(3)设
①如图3，当点D在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线上移动，请直接写出之间的数量关系，不用证明．
11．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．