全等三角形的七大模型综合训练（三）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形高分突破（北师大版，成都专用）

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A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】证明得出，证明得出，即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接
平分，平分，，
，，
，，，
在和中，，
，，
，，
在和中，，，，
，
周长为，，，
，．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
2．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm,且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP＝________cm.
【答案】4
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，再根据已知条件△ABC的面积为32cm2，即可求得△APB的面积，再根据面积公式即可求得AP的长．
【详解】解：如图所示：延长AP交BC于E，
∵AP垂直的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△ABP和△EBP中，

∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴S△ABP=S△EBP，AP=EP，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∵S△ABP=3S△APC，
∴S△EBP=3S△PCE，
设S△PCE=x，则S△APC＝x，S△ABP=S△EBP=3x，
∵△ABC的面积为32cm2
∴x+x+3x+3x=32，
∴x=4，
∴S△ABP＝12，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴S△ABP＝＝12
又∵BP＝6cm
∴AP=4
【点睛】本题考查的是面积及等积变换以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．如图，在中，.点在上，点在的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则的面积为______．
【答案】
【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.
【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，
∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，
∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，
∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，
∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，
∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，
∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，
∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，
∴S△ABC=×5×5=.
故答案为
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.
4．如图，在四边形中，，，，面积为18，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为______．
【答案】6
【分析】连接AQ，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意得： ，求出AQ的最小值，AQ最小值是与DH相等，也就是时，根据面积公式求出DH的长度即可得到结论．
【详解】解：连接AQ，过点D作于H．
∵面积为18，BC=6，
∴，
∴，
∵MN垂直平分线段AB，
∴，
∴，
∴当AQ的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，AQ的值最小，
∵，
∴AQ=DH=6，
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，把最短问题转化为垂线段最短是解题关键．
5．如图，在等边ABC中，AD⊥BC于D，AC＝6，点F是线段AD上的一动点，连接BF，以BF为边作等边BFE，连接DE，则点F在运动过程中，线段DE长度的最小值为______．
【答案】
【分析】以BD为边在BC上方作等边△BDD'，连接D'F，证明△FBD'≌△EDB，得DE＝D'F，由点到直线垂线段最短得D'F⊥AD时，D'F取最小值，再证明四边形D'GDH为矩形，结合等边三角形“三线合一”求出DG，即可得DE长度的最小值．
【详解】解：如图，以BD为边在BC上方作等边△BDD'，连接D'F，
∵∠FBE＝∠D'BD＝60°，
∴∠FBD'＋∠FBD＝∠FBD＋∠DBE，
∴∠FBD'＝∠DBE，
在△FBD'与△EDB中，
，
∴△FBD'≌△EDB（SAS），
∴DE＝D'F，
∵点到直线垂线段最短，
∴D'F⊥AD时，D'F取最小值，
过点D'作D'H⊥AD交AD于H，作D'G⊥BD交BD于G，
∵∠D'GD＝∠ADG＝∠D'HD＝90°，∴四边形D'GDH为矩形，
∵BD'＝DD'，AB＝AC，∴由等腰三角形“三线合一”得：BG＝GD，BD＝DC，
∴GD＝BC＝，
∴DE长度的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、点到直线垂线段最短、矩形的判定与性质，以BD为边在BC上方作等边△BDD'证明△FBD'≌△EDB是本题关键．
6．如图，为等腰的高，其中分别为线段上的动点，且，当取最小值时，的度数为_____．
【答案】
【分析】作，且，连接交于M，连接，证明，得到，，当F为与的交点时，即可求出最小值；
【详解】解：如图1，作，且，连接交于M，连接，
是等腰三角形，，
，，
，，
，
，
在与中，
，，
∴当F为与的交点时，如图2，的值最小，
此时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
7．如图，已知在中，和分别为和的角平分线，若的周长为22，那么线段的长为________．
【答案】9
【分析】如图：在上截取，连接，由角平分线的定义可得，再证可得，再结合可得，进一步可得即；再说明，最后根据三角形的周长及等量代换即可解答．
【详解】解：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵周长
∵，
∴，
∴．
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
8．如图，中，，点在上，点在上，，若，，，则___________．
【答案】20
【分析】作于M，于N，则是等腰三角形，得出，证明，得到，得出，因此，设，则，，根据求出a的值，再根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】作于M，于N，如图：
则，
，
则是等腰三角形，
，
，
，
，
在中，
,
，
，
，
，

设，则，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查三角形面积、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定，证明三角形全等是关键．
9．如图，在边长为的等边中，直线，是上的一个动点连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则点运动过程中，的最小值是______．
【答案】
【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，，且为的对称轴，
，，
，
．
≌，
．
当时，最小，
点为的中点，
此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．
10．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、．
(1)如图，若，，求的度数；
(2)如图，若、、三点共线，与交于点，且，，求的面积；
(3)如图，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．证明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得结论．
（3）如图3中，结论：CN+MN=BG．如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T．证明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性质，可得结论．
【详解】（1）解：如图中，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
（2）如图中，过点作于．
同理可得：≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
（3）如图中，结论：．
理由：如图过点作交的延长线于，
，
，
，
，
同理：≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同．
(1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证：
(2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：．
(3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明结论；
（2）证明，可得，然后由，，求得；
（3）首先过点D作交于点G，则可证得为等边三角形，继而证得，则可证得结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
根据题意得：，
在和中，
，
∴
∴；
（2）根据题意，，
∴，
即，
在和中
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）过点作交于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴为等边三角形 ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，
12．已知：在中，，点在上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)．
【分析】（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明；
（2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案．
【详解】（1）证明：如图1，
设，则，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，
在△AFG和△AFH中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13．如图所示，在中，，点D是线段CA延长线上一点，且．点F是线段上一点，连接，以为斜边作等腰．连接，且．
(1)若，则_______；
(2)过D点作，垂足为G．
①填空： _______；
②求证：；
(3)如图2，若点F是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段之间的数量关系，并简要说明理由．
【答案】(1)60
(2)①；②见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）在等腰直角三角形中，， ，根据余角的定义得到，根据三角形的内角和得到，然后根据三角形内角和定理即可解答；
（2）①如图1，过D作于G，在中，由余角的定义得到，由于，推出，证得；②根据可得，根据三角形的内角和和余角的定义得到，推出，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论；
（3）如图2，过D作交的延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到，证得，由全等三角形的性质得到，由于，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1：
在等腰直角三角形中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：60
（2）解：①如图1，过D作于G，
在中， ，
∵，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
故答案是：；
②∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图2，过D作交的延长线于M，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及同角的余角相等，正确的作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
14．如图所示，是边的中点，是上一点，满足，；求的度数．
【答案】
【分析】延长至，使，连接BG，在上截取；构造出，配合等边对等角、等角对等边，得出；进而可证明，得出，从而得到等边三角形，即可求得结果；
【详解】解：如图，延长至，使，连接，在上截取；
在和中
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
∴为等边三角形
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；其中构造全等三角形转化线段是解题的关键．
15．如图，已知和均为等腰直角三角形，且
(1)试说明：
(2)试判断和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，得出，证出，即可得出
（2）得出，再由，得，即可证出结论
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∵.，即，
在和中, ，，
∴
∴
（2）延长分别交和于G和F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键
16．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是______．
(2)求得的取值范围是______．
(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到E，使，连接，，证明，得到，证明，得到，再利用即可证明．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∵，
∴，
故答案为：
（3）解：延长到E，使，连接，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．