(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积（课时训练）（原卷版+解析）

专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积A组 基础巩固1．（2022·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（       ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体2．（2021·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（       ）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形3．（2021·全国·高一课时练习）我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线在的部分曲线以轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（       ）．A．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥B．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为，底面是一个两直角边均为4的直角三角形C．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥D．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为和4的矩形4．（2021·全国·高一课时练习）胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（       ）A． B．C． D．5．（2021·宁夏·贺兰县景博中学二模（文））位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为为地球半径），那么等于（       ）A．30 B．45 C．60 D．756．（2021·四川乐山·高二期中（文））如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（       ）A． B． C． D．7．（2020·全国·高一课时练习）如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中 ，则的面积是（ ）A．12 B． C．6 D．8．（2022·全国·高三专题练习）正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（       ）A． B． C． D．9．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（       ）A． B． C． D．10．（2021·天津市静海区第六中学高三阶段练习）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ）A． B． C． D．11．（2021·全国·高一课时练习）一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（       ）A．2 B． C．4 D．812．（2021·河南·高三阶段练习（理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据…判断，下列近似公式中最精确的一个是（       ）A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是（       ）A．S球＜S圆柱＜S正方体 B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体 D．S球＜S正方体＜S圆柱14．（2021·河北·任丘市第一中学高一阶段练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（       ）A．18＋6 B．6＋C．24 D．1815．（2021·全国·高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（       ）A．a2 B．a2 C．a2 D．a216．（2021·全国·高三专题练习（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（       ）A． B． C． D．B组 能力提升17．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（       ）A．母线长是20 B．表面积是C．高是 D．轴截面为等腰梯形18．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（       ）A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为19．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．20．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是_______.①圆柱的轴经过上、下底面的圆心；②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高；③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆；④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径；⑤一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.21．（2021·全国·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)22．（2019·全国·高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.23．（2021·全国·高一课时练习）如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______．24．（2021·青海·海南藏族自治州高级中学高二期中（文））水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．25．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，，，且与轴平行，若，，，则原平面图形的实际面积是________.26．（2021·全国·高一课时练习）水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C′＝4，B'C＝，则原图中AB边上中线的实际长度为_____.27．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.28．（2022·全国·高三专题练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为________．29．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积A组 基础巩固1．（2022·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（       ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体【答案】C【解析】【分析】根据图形特点进行判断.【详解】根据图形可见，底面四条边，所以为四棱锥.故选：C.2．（2021·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（       ）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形【答案】C【解析】【分析】根据棱柱的特点进行辨析.【详解】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；由棱柱的定义，C正确.故选：C.3．（2021·全国·高一课时练习）我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线在的部分曲线以轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（       ）．A．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥B．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为，底面是一个两直角边均为4的直角三角形C．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥D．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为和4的矩形【答案】B【解析】【分析】先求得红酒杯在高度为h处的截面面积，再分别求得选项A、B、C、D中几何体在高度为h处截面的面积，结合祖暅原理，即可得答案.【详解】由题意得，该红酒杯上口径为2，则上面圆的面积为，设A点的纵坐标，如图所示：因为A点在抛物线上，所以，即高度为h处，红酒杯水平截面圆半径为，所以截面圆的面积为：.对于A：底面圆的半径为2，面积为，在高度为处作圆锥的水平截面圆，半径为CD，再作出圆锥的轴截面，如图所示：   所以，AB为圆锥底面直径，所以，，根据可得：，解得，所以高度为h处，圆锥的截面圆半径为，所以截面圆的面积为，故A不符合题意.对于B：直三棱柱上面面积为，在高度为处作棱柱的水平截面DEFG，如图所示：所以，因为，根据，可得，所以高度为h处的截面DEFG的面积为，符合题意；对于C：圆柱上底面圆的面积为，在高度为处作该几何体的水平截面圆，作出该几何体的轴截面，如图所示 ，所以，GH为圆锥截面圆的半径，，根据可得：，所以，所以截去圆锥的截面面积为，则所剩几何体的截面面积为，故C不符合题意；对于D：底面的面积为，在高度为处作棱锥的水平截面EFGH，如图所示：所以三棱锥的高为h，的高为4，，根据可得：，所以，所以截面EFGH的面积为.故D不符合题意.故选：B【点睛】解得的关键是理解祖暅原理，即作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，根据圆锥、圆柱、棱柱、棱锥的性质，逐一求得截面面积，即可得答案，考查分析理解，空间想象，计算求值的能力，属中档题.4．（2021·全国·高一课时练习）胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据题意,可求出底边的边长,侧棱、底面对角线的一半、高构成了一个直角三角形.根据勾股定理进而求出侧棱长,进而可求灯带的总长.【详解】设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以该金字塔的侧棱长为所以需要灯带的总长度约为故选: D【点睛】本题考查了椎体.本题的易错点是计算最后的总长度时,忽略底边,只计算四条侧棱长.本题的难点是计算侧棱长.5．（2021·宁夏·贺兰县景博中学二模（文））位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为为地球半径），那么等于（       ）A．30 B．45 C．60 D．75【答案】B【解析】【分析】、两地间的球面距离为，所以、两地所在大圆的圆心角为，可得出、两地间直线距离．、两地所在纬线围成的圆的圆心角为，结合、两地间直线距离可算出、两地所在纬线围成的圆的半径，进而求出的值．【详解】根据题意画出示意图，如图，、两地间的球面距离为为地球半径），，在三角形中，，设、两地所在纬线围成的圆的圆心为，、两地经度相差，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，即、两地位于北纬度，．故选：B．【点睛】球的截面性质：(1)球心和不经过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面；(2)球心到不经过球心的截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r的关系为．6．（2021·四川乐山·高二期中（文））如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】，则是等腰直角三角形，∴，又，，∴，在直角坐标系中作出原图形为：梯形，，，高，∴其面积为．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为，原图形面积为，则．7．（2020·全国·高一课时练习）如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中 ，则的面积是（ ）A．12 B． C．6 D．【答案】A【解析】根据斜二测画法知为直角三角形,再结合长度关系，得到的面积.【详解】根据斜二测画法知为直角三角形，，故的面积.故选：A【点睛】本题考查了斜二测画法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.8．（2022·全国·高三专题练习）正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设，，，可得正四棱台的斜高为，所以棱台的侧面积为．故选：．9．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；【详解】长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，故个漏斗的容积为，故选：A10．（2021·天津市静海区第六中学高三阶段练习）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，全面积为，而侧面积为，所以全面积与侧面积之比这．故选：A．11．（2021·全国·高一课时练习）一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（       ）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【解析】【分析】根据圆台的侧面积公式可得答案.【详解】设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则圆台的侧面积为，解得 故选：C12．（2021·河南·高三阶段练习（理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.人们还用过一些类似的近似公式.根据…判断，下列近似公式中最精确的一个是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据球的体积公式可知，将四个选项分别化简得到，通过比较近似值可得结果.【详解】球的体积，.，.记，；；；，；，.，，，，，中，最接近.更精确.故选：D.13．（2022·全国·高三专题练习）若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是（       ）A．S球＜S圆柱＜S正方体 B．S正方体＜S球＜S圆柱C．S圆柱＜S球＜S正方体 D．S球＜S正方体＜S圆柱【答案】A【解析】【分析】设等边圆柱底面半径为r，球的半径为R，正方体棱长为a，根据题意得到，然后利用比较法判断.【详解】设等边圆柱底面半径为r，球的半径为R，正方体棱长为a，因为等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则，解得，而，所以，，故选：A14．（2021·河北·任丘市第一中学高一阶段练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（       ）A．18＋6 B．6＋C．24 D．18【答案】B【解析】【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.【详解】依题意，棱台的上底面面积，下底面面积，高为，故由公式可知，棱台的体积是，故选：B.15．（2021·全国·高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（       ）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2【答案】A【解析】【分析】先求出侧棱长，即可求出表面积.【详解】如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，AB＝a，∴，∴表面积为.故选：A.16．（2021·全国·高三专题练习（文））已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用四棱锥斜高与高的关系列方程并求解，再利用侧面积公式直接求解.【详解】正四棱锥如图，设四棱锥的高，由底面边长为4，可知，斜高，故，解得，故侧面积为，故选：D.B组 能力提升17．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（       ）A．母线长是20 B．表面积是C．高是 D．轴截面为等腰梯形【答案】ABD【解析】【分析】根据圆台的性质计算判断．【详解】圆台的轴截面是等腰梯形，D正确；设圆台母线长为，又圆台侧面展开图圆心角是，即，所以，A正确；表面积为，B正确；高，C错误．故选：ABD．18．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（       ）A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为【答案】BC【解析】根据，，由，求得底面半径，再根据母线，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解.【详解】因为，，所以，即，又因为，所以圆柱的侧面积是，圆柱的表面积是，故选：BC19．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．【答案】①⑤【解析】【分析】根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案.【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤20．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的个数是_______.①圆柱的轴经过上、下底面的圆心；②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高；③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆；④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径；⑤一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥；⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.【答案】6【解析】【分析】由圆柱的概念可判断①②③④，利用圆锥的概念判断⑤⑥.【详解】由圆柱的结构特征可知，圆柱的轴经过上、下底面的圆心，故①正确；圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高，故②正确；平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆，故③正确；经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组对边是底面圆的直径，故④正确；由旋转体的定义可知，一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是相同的两个圆锥，故⑤正确；由圆锥的结构特征可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故⑥正确.故答案为：6.21．（2021·全国·高一课时练习）下列空间图形中是棱台的为_____.(填序号)【答案】③【解析】【分析】根据棱台的定义和性质判定.【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和图②都不是棱台.图③符合棱台的定义与结构特征.故答案为：③22．（2019·全国·高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【答案】118．8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得， ，四棱锥O−EFG的高3cm， ∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．23．（2021·全国·高一课时练习）如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______．【答案】【解析】【分析】根据原几何图形的面积与直观图的面积之比可快速的计算出答案．【详解】解：由直观图可得：原几何图形的面积与直观图的面积之比为：1又∵正方形O'A'B'C'的边长为2cm，∴正方形O'A'B'C'的面积为4cm2，原图形的面积S=cm2，【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直观图面积和原图面积之间关系，属基础题．24．（2021·青海·海南藏族自治州高级中学高二期中（文））水平放置的的直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为______．【答案】2.5【解析】【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】根据斜二测画法的原则,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，所以，所以，故边上中线长为.故答案为：2.5.25．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，，，且与轴平行，若，，，则原平面图形的实际面积是________.【答案】【解析】【分析】根据实际图形与斜二测直观图的关系得原平面图形是直角梯形，再根据几何关系求解面积即可得答案.【详解】解：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且，的长度不变，仍为6和4，高，故所求面积.故答案为：26．（2021·全国·高一课时练习）水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A'C′＝4，B'C＝，则原图中AB边上中线的实际长度为_____.【答案】【解析】【分析】由直观图得出原平面图形△ABC是直角三角形，由题意可求出AB边上的中线长度．【详解】由直观图得出原平面图形△ABC，如图所示；则直观图中A′C′＝4，B′C′＝，所以△ABC是直角三角形，且AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，可得AB边上的中线长度为．故答案为：．【点睛】本题考查斜二测画法画直观图的应用问题，掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解题的关键．27．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.【答案】1∶24##【解析】【分析】分别算出三棱锥F－ADE的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.【详解】设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积.∵D，E分别为AB，AC的中点，∴的面积等于.又∵F为的中点，∴F到底面ABC的距离是到底面ABC距离h的一半，即为.∴于是三棱锥F－ADE的体积，则.故答案为：.28．（2022·全国·高三专题练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为________．【答案】【解析】【分析】设球体半径为可得，根据棱锥的体积求，进而求半球的表面积.【详解】如图，连接，交点为，设球的半径为，由题意知：．则，四棱锥的体积为，解得，∴该半球的表面积为．故答案为：29．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得平面平面，且三棱锥和三棱锥高之比也为，又，利用体积公式即可得解.【详解】如题干图，，可证ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′.所以平面平面三棱锥和三棱锥高之比也为，由等角定理得∠CAB=∠C′A′B′，∠ACB=∠A′C′B′，所以△ABC∽△A′B′C′，由，可得，所以=.故答案为：