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(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性（课时训练）原卷版+解析
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这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性（课时训练）原卷版+解析，共24页。
A．B．C．D．
2．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））中国女足在2022年亚洲杯决赛中，在上半场落后两球的情况下，下半场5分钟内连进两球将比分扳平，最后由替补队员肖裕仪完成单刀绝杀，以的比分逆转韩国取胜，时隔13年再次登顶亚洲.在女足逆转取胜后，关于女足的各方面消息也是迅速登上了各大热点，某大学足球俱乐部技术组要对女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有两双相同的运动鞋和一双皮鞋，从中随机取两只鞋，那么与事件“两只鞋可配成双”互斥的事件为（ ）
A．两只鞋都是运动鞋B．两只鞋都是皮鞋
C．两只鞋都是右脚D．一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚
5．（2022·北京海淀·高一期末）米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·河南·高三阶段练习（理））投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车.于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开.这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊（主持人当然知道每扇门后面都是什么）.现在，主持人给你一次重新选择的机会.假设你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是_________.
8．（2022·全国·高三专题练习）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________．
9．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）下列说法中：①不可能事件发生的概率为0 ②随机事件发生的概率为 ③概率很小的事件不可能发生 ④投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次，其中说法不正确的是________（填写序号）
10．（2021·全国·高一课时练习）有一批小包装食品，其中质量在90~95g的有40袋，质量在95~100g的有30袋，质量在100~105g的有10袋．从中任意抽取1袋，此袋食品的质量在95~100g的概率为________，此袋食品的质量不足100g的概率为________，此袋食品的质量不低于95g的概率为________．（质量在a~bg指的是质量的数值在区间内）
11．（2021·重庆江津·高一开学考试）现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；
12．（2021·全国·高三专题练习）某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.
13．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）某校进行羽毛球比赛，因为人数较多，故分成A，B两组进行小组比赛，甲乙分在不同的组，已知甲晋级下一轮的概率是、乙晋级下一轮的概率是，且甲乙比赛结果相互独立，若“甲乙至少有一个晋级下一轮”的概率是，则_______.（用数字作答）
14．（2021·江西·南昌十中高二阶段练习（文））冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．求成功生产出质量合格的发热膜概率为________．
B组 能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)下列试验中，随机事件有（ ）
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2＋1≥1
16．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）(多选题)以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
17．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ）
A．三次都出现相同数字的概率为
B．没有出现数字的概率为
C．至少出现一次数字的概率为
D．三个数字之和为的概率为
18．（2022·全国·高二单元测试）(多选题)如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量的所有可能取值为，，…，，且，，定义的“自信息”为．一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（ ）
A．当时，“自信息”
B．当时，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
19．（2022·全国·高二课时练习）假设5名工人独立地工作每名工人在1h内平均有12min需要用电（即任时刻需要用电的概率为）.
(1)求在同一时刻恰有3名工人需要用电的概率；
(2)如果在同一时刻最多只能供给3名工人所需的电力，求超过负荷的概率．
20．（2022·全国·模拟预测（文））某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值x，得到该厂所生产的消毒液质量指标值的频率分布直方图如图所示，规定：当或时，消毒液为二等品；当或时，消毒液为一等品；当时，消毒液为特等品（将频率视为概率）.
(1)现在从抽样的100瓶消毒液中随机抽取2瓶二等品，求这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率；
(2)若每瓶消毒液的生产成本为20元，特等品售价每瓶35元，一等品售价每瓶30元，二等品售价每瓶25元.政府指定该工厂5月份只生产10万瓶高考考场专用消毒液，要求高考考点使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免费赠送给某区教育局用于各小学操场消毒.假定教育局全部购买了该厂5月份生产的特等品和一等品消毒液，估计该厂5月份生产的消毒液的利润（利润=销售收入-成本）是多少万元？
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的随机选出，现甲班学生60人，乙班学生40人.
(1)若乙班将学生按1，2，3…39，40进行编号，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生编号（直接写出结果，无需过程）；
(2)现从甲乙两班代表学生中分层抽样选取5人，再从5人中随机抽取2人参加加试，求抽取的2人恰好来自一个班级的概率.
22．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；
(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率．
专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性
A组 基础巩固
1．（2022·全国·模拟预测）智慧城市是通过利用各种信息技术和创新概念，将城市的系统和服务打通、集成，以提升资源运用的效率，优化城市管理和服务，以及改善市民生活质量．智慧城市目前落地的领域主要集中在智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区，是智能化社会建设的实验田．我国某省会城市欲从中选择其中的三个方面进行智慧城市建设试点，则智慧政务被选择的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据古典概型的方法枚举所有情况再分析满足条件的情况求解即可
【详解】
设智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区分别为A，B，C，D，E，则从中任选三项的选法有，，，，，，，，，，共10种不同的分配方法，其中包含智慧政务的选法有6种，所以智慧政务被选择的概率为
故选：D．
2．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；
从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，
所以概率为：.
故选：C
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））中国女足在2022年亚洲杯决赛中，在上半场落后两球的情况下，下半场5分钟内连进两球将比分扳平，最后由替补队员肖裕仪完成单刀绝杀，以的比分逆转韩国取胜，时隔13年再次登顶亚洲.在女足逆转取胜后，关于女足的各方面消息也是迅速登上了各大热点，某大学足球俱乐部技术组要对女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先算总的选法总数，再计算满足条件的选法数，然后由古典概型概率公式可得.
【详解】
从6名球员中随机选2名球员共有种选法，恰有1名球员提前做好采访准备共有种，所以恰有1名球员提前做好采访准备的概率为.
故选：B
4．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有两双相同的运动鞋和一双皮鞋，从中随机取两只鞋，那么与事件“两只鞋可配成双”互斥的事件为（ ）
A．两只鞋都是运动鞋B．两只鞋都是皮鞋
C．两只鞋都是右脚D．一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义，即可直接判断
【详解】
对选项A， 事件“两只鞋都是运动鞋”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件；
对选项B，事件“两只鞋都是皮鞋”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件；
对选项C， 事件“两只鞋都是右脚”与事件“两只鞋可配成双”不能同时发生，故是互斥事件；
对选项D， 事件“一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件
故选：C
5．（2022·北京海淀·高一期末）米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.
【详解】
由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
故选：C.
6．（2021·河南·高三阶段练习（理））投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率公式分别计算在甲只投中1次且甲获胜和甲投中2次且他获胜的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求甲获胜的概率.
【详解】
若甲只投中1次，则他获胜的概率为；
若甲只投中2次，则他获胜的概率为.
故甲最后获胜的概率为，
故选：C.
7．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车.于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开.这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊（主持人当然知道每扇门后面都是什么）.现在，主持人给你一次重新选择的机会.假设你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
令选手第一次选中的为1号门，打开的为2号门，另外一个为3号门，依题意车在每扇门后面的概率都是，即可得到汽车在1号门的概率，以及汽车在2号门或3号门的概率，再根据汽车不在2号门，即可得到汽车在3号门的概率；
【详解】
解：令选手第一次选中的为1号门，打开的为2号门，另外一个为3号门；
依题意车在每扇门后面的概率都是，即汽车在1号门的概率为，则汽车在2号门或3号门的概率为，因为汽车不在2号门，所以在3号门的概率为，即打开3号门得到汽车的概率为；
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
列举基本事件，直接求概率即可.
【详解】
1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：
，，4，5，6，
，，5，6；
，，6；
，，共10种，
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25种，
所求概率为．
故答案为：．
9．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）下列说法中：①不可能事件发生的概率为0 ②随机事件发生的概率为 ③概率很小的事件不可能发生 ④投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次，其中说法不正确的是________（填写序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件的意义直接判断.
【详解】
对于①、不可能事件发生的概率为0，所以①选项正确；
对于②、随机事件发生的概率在0与1之间，所以②选项错误；
对于③、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以③选项错误；
对于④、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数可能为500次，所以④选项错误．
故答案为：②③④．
10．（2021·全国·高一课时练习）有一批小包装食品，其中质量在90~95g的有40袋，质量在95~100g的有30袋，质量在100~105g的有10袋．从中任意抽取1袋，此袋食品的质量在95~100g的概率为________，此袋食品的质量不足100g的概率为________，此袋食品的质量不低于95g的概率为________．（质量在a~bg指的是质量的数值在区间内）
【答案】 ## ## ##
【解析】
【分析】
根据古典概型计算公式进行逐一求解即可.
【详解】
此袋食品的质量在95~100g的概率为：；
此袋食品的质量不足100g的概率为：；
此袋食品的质量不低于95g的概率为：，
故答案为：；；
11．（2021·重庆江津·高一开学考试）现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
用列举法，结合概率的计算公式直接求解即可.
【详解】
用符号表示两次的结果，可能结果如下：
共12种，
其中数字m，n都为奇数的有6种情况，
所以字m，n都为奇数的概率为，
故答案为：
12．（2021·全国·高三专题练习）某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
仅一人获得最高得票，分为：获得3票或者获得2票，其它三人有两2人各1票，由此可计算出概率．
【详解】
随机事件的概率计算
由题意可知，每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票有如下两种情况：①若得3票，其概率为；②若得2票，其概率为，所以最终仅一人获得最高得票的概率为..
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是把事件拆分两个互斥事件的概率，一个事件是获得3票，一个事件是获得2票，其他三人中有2人各获得一票，分别计算概率后由概率加法得出结论．
13．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）某校进行羽毛球比赛，因为人数较多，故分成A，B两组进行小组比赛，甲乙分在不同的组，已知甲晋级下一轮的概率是、乙晋级下一轮的概率是，且甲乙比赛结果相互独立，若“甲乙至少有一个晋级下一轮”的概率是，则_______.（用数字作答）
【答案】##
【解析】
【分析】
甲乙至少有一个晋级下一轮与甲乙一个都没晋级下一轮互为对立事件，即概率相加为，，即可求出.
【详解】
甲乙至少有一个晋级下一轮与甲乙一个都没晋级下一轮互为对立事件，甲晋级下一轮的概率是，甲未晋级下一轮的概率是，乙晋级下一轮的概率是，乙未晋级下一轮的概率是，，.
故答案为：.
14．（2021·江西·南昌十中高二阶段练习（文））冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．求成功生产出质量合格的发热膜概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
要使生产出质量合格的发热膜，则三个环节都必须合格，利用独立事件的乘法公式，求成功生产出质量合格的发热膜概率即可.
【详解】
由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜有三个环节都必须合格，
∴成功生产出质量合格的发热膜概率.
故答案为：
B组 能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)下列试验中，随机事件有（ ）
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2＋1≥1
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可求解.
【详解】
某射手射击一次，射中10环是随机事件；同时掷两枚骰子，都出现6点是随机事件；
某人购买福利彩票未中奖是随机事件；若x为实数，则x2＋1≥1是必然事件.
故选：ABC
16．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）(多选题)以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
【答案】AB
【解析】
【分析】
A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”是互斥事件，所以该选项正确；
B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；
C中事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；
D中三种事件不能构成基本事件，所以该选项错误.
【详解】
A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”不可能同时发生，所以是互斥事件，所以该选项正确；
B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”的发生不可能同时出现，所以是互斥事件，但所有结果只有两种，所以事件“结果正面向上"和“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；
C中事件“甲中签”和“乙中签”是不可能同时发生，但也可能是“甲，乙两人都不中签”发生，所以事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；
D中设两男为，，两女为，，则“”，“”，“”，“”，“”，“”为等可能事件，可以组成一个基本事件空间，显然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四种情况，“两个男医生”只包括“”一种情况，“两个女医生”也只包括“”一种情况，概率不相等，所以不能构成基本事件．所以该选项错误.
故选：AB
17．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ）
A．三次都出现相同数字的概率为
B．没有出现数字的概率为
C．至少出现一次数字的概率为
D．三个数字之和为的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式与对立事件的概率性质逐一验证即可
【详解】
由题意知：实验发生所包含的事件为3个均匀的正四面体与底面接触，共有种结果；
三次都出现相同数字的事件为：111,222,333,444，共4种结果，三次都出现相同数字的概率为，故A错误；
没有出现数字，即这3次抛掷出的均为2，3，4中的其中一个，共有种，没有出现数字的概率为，故B正确；
至少出现一次数字的概率为，故C正确；
三个数字之和为的事件为：441，414，144，333，432，423，234，243，342，324共10种，三个数字之和为的概率为，故D正确；
故选：BCD
18．（2022·全国·高二单元测试）(多选题)如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量的所有可能取值为，，…，，且，，定义的“自信息”为．一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（ ）
A．当时，“自信息”
B．当时，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出，得到，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件与事件发生的概率，得出与，即可判断D正确.
【详解】
A选项，当时，，即A正确；
B选项，因为对数函数是增函数，所以是减函数；因此，当时，，即，故B错；
C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则，所以，故C正确；
D选项，事件“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个基本事件；
事件“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；
所以，，则；因此，即D正确；
故选：ACD.
19．（2022·全国·高二课时练习）假设5名工人独立地工作每名工人在1h内平均有12min需要用电（即任时刻需要用电的概率为）.
(1)求在同一时刻恰有3名工人需要用电的概率；
(2)如果在同一时刻最多只能供给3名工人所需的电力，求超过负荷的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件的概率公式可得可求；
（2）超过负荷的概率可求．
(1)
解：在同一时刻恰有3名工人需要电力的概率.
(2)
解：超过负荷的概率．
40．（2022·全国·高二课时练习）男、女两名运动员分别参加不同的长跑比赛，根据以往经验，他们获得冠军的概率分别为0.6与0.5，求下列事件的概率.
(1)两人都得冠军；
(2)至少一人得冠军.
【答案】(1)0.3
(2)0.8
【解析】
【分析】
(1)由相互独立事件的概率乘法公式可得；
(2)利用对立事件与相互独立事件的概率公式可得.
(1)
记事件A为：男运动员获得冠军;
事件B为：女运动员获得冠军.
则
(2)
至少有一人得冠军的概率
20．（2022·全国·模拟预测（文））某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值x，得到该厂所生产的消毒液质量指标值的频率分布直方图如图所示，规定：当或时，消毒液为二等品；当或时，消毒液为一等品；当时，消毒液为特等品（将频率视为概率）.
(1)现在从抽样的100瓶消毒液中随机抽取2瓶二等品，求这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率；
(2)若每瓶消毒液的生产成本为20元，特等品售价每瓶35元，一等品售价每瓶30元，二等品售价每瓶25元.政府指定该工厂5月份只生产10万瓶高考考场专用消毒液，要求高考考点使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免费赠送给某区教育局用于各小学操场消毒.假定教育局全部购买了该厂5月份生产的特等品和一等品消毒液，估计该厂5月份生产的消毒液的利润（利润=销售收入-成本）是多少万元？
【答案】(1)；
(2)104万元.
【解析】
【分析】
（1）根据直方图求100瓶的样本中二等品、所抽取的瓶数，再应用列举法求概率.
（2）利用直方图求特等品和一等品消毒液的数量，由已知求该厂5月份生产的消毒液的利润.
(1)
在100瓶的样本中的共抽取瓶，不妨设为，，
的共抽取瓶，不妨设为1，2，3，
则从这5瓶二等品中抽取2瓶包含如下基本事件：，，，，，，，，，共10个基本事件，
质量指标值的消毒液恰好有1瓶的基本事件有：，，，，，，共6个基本事件，
所以这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率为.
(2)
该厂5月份生产特等品的消毒液为万瓶，
一等品的消毒液为万瓶，
该厂5月份生产的消毒液的利润是万元，
所以该厂5月份生产的消毒液的利润是104万元.
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的随机选出，现甲班学生60人，乙班学生40人.
(1)若乙班将学生按1，2，3…39，40进行编号，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生编号（直接写出结果，无需过程）；
(2)现从甲乙两班代表学生中分层抽样选取5人，再从5人中随机抽取2人参加加试，求抽取的2人恰好来自一个班级的概率.
【答案】(1)17
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据系统抽样的方法抽样即可得答案；
（2）根据古典概型求解即可.
(1)
解：由系统抽样得，乙班的抽样人数为，故组距为，
因为第二段被抽取的学生编号为7，则第四段抽取的学生编号.
(2)
解：设“抽取的2名同学来自同一班级”为事件A
由题意知，甲班同学中抽取3人，分别用表示，
乙班同学中抽取2人，分别用表示，
从这5名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
共10种
抽取的2名同学来自同一班级的结果有：
共4种
所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为
22．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；
(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率．
【答案】(1)众数：70；平均数：65
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据众数和平均数的计算方法计算即可
（2）分别计算两组的人数，再根据平均数与方差的公式求解即可；
（3）分别计算两组的人数，再根据古典概型的方法计算即可
(1)
由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为，，，，，故平均数为
(2)
由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故.
设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，，即，，故
(3)
由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,,,,,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为，则
A．B．C．D．
2．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））中国女足在2022年亚洲杯决赛中，在上半场落后两球的情况下，下半场5分钟内连进两球将比分扳平，最后由替补队员肖裕仪完成单刀绝杀，以的比分逆转韩国取胜，时隔13年再次登顶亚洲.在女足逆转取胜后，关于女足的各方面消息也是迅速登上了各大热点，某大学足球俱乐部技术组要对女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有两双相同的运动鞋和一双皮鞋，从中随机取两只鞋，那么与事件“两只鞋可配成双”互斥的事件为（ ）
A．两只鞋都是运动鞋B．两只鞋都是皮鞋
C．两只鞋都是右脚D．一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚
5．（2022·北京海淀·高一期末）米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·河南·高三阶段练习（理））投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车.于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开.这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊（主持人当然知道每扇门后面都是什么）.现在，主持人给你一次重新选择的机会.假设你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是_________.
8．（2022·全国·高三专题练习）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________．
9．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）下列说法中：①不可能事件发生的概率为0 ②随机事件发生的概率为 ③概率很小的事件不可能发生 ④投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次，其中说法不正确的是________（填写序号）
10．（2021·全国·高一课时练习）有一批小包装食品，其中质量在90~95g的有40袋，质量在95~100g的有30袋，质量在100~105g的有10袋．从中任意抽取1袋，此袋食品的质量在95~100g的概率为________，此袋食品的质量不足100g的概率为________，此袋食品的质量不低于95g的概率为________．（质量在a~bg指的是质量的数值在区间内）
11．（2021·重庆江津·高一开学考试）现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；
12．（2021·全国·高三专题练习）某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.
13．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）某校进行羽毛球比赛，因为人数较多，故分成A，B两组进行小组比赛，甲乙分在不同的组，已知甲晋级下一轮的概率是、乙晋级下一轮的概率是，且甲乙比赛结果相互独立，若“甲乙至少有一个晋级下一轮”的概率是，则_______.（用数字作答）
14．（2021·江西·南昌十中高二阶段练习（文））冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．求成功生产出质量合格的发热膜概率为________．
B组 能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)下列试验中，随机事件有（ ）
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2＋1≥1
16．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）(多选题)以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
17．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ）
A．三次都出现相同数字的概率为
B．没有出现数字的概率为
C．至少出现一次数字的概率为
D．三个数字之和为的概率为
18．（2022·全国·高二单元测试）(多选题)如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量的所有可能取值为，，…，，且，，定义的“自信息”为．一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（ ）
A．当时，“自信息”
B．当时，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
19．（2022·全国·高二课时练习）假设5名工人独立地工作每名工人在1h内平均有12min需要用电（即任时刻需要用电的概率为）.
(1)求在同一时刻恰有3名工人需要用电的概率；
(2)如果在同一时刻最多只能供给3名工人所需的电力，求超过负荷的概率．
20．（2022·全国·模拟预测（文））某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值x，得到该厂所生产的消毒液质量指标值的频率分布直方图如图所示，规定：当或时，消毒液为二等品；当或时，消毒液为一等品；当时，消毒液为特等品（将频率视为概率）.
(1)现在从抽样的100瓶消毒液中随机抽取2瓶二等品，求这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率；
(2)若每瓶消毒液的生产成本为20元，特等品售价每瓶35元，一等品售价每瓶30元，二等品售价每瓶25元.政府指定该工厂5月份只生产10万瓶高考考场专用消毒液，要求高考考点使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免费赠送给某区教育局用于各小学操场消毒.假定教育局全部购买了该厂5月份生产的特等品和一等品消毒液，估计该厂5月份生产的消毒液的利润（利润=销售收入-成本）是多少万元？
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的随机选出，现甲班学生60人，乙班学生40人.
(1)若乙班将学生按1，2，3…39，40进行编号，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生编号（直接写出结果，无需过程）；
(2)现从甲乙两班代表学生中分层抽样选取5人，再从5人中随机抽取2人参加加试，求抽取的2人恰好来自一个班级的概率.
22．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；
(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率．
专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性
A组 基础巩固
1．（2022·全国·模拟预测）智慧城市是通过利用各种信息技术和创新概念，将城市的系统和服务打通、集成，以提升资源运用的效率，优化城市管理和服务，以及改善市民生活质量．智慧城市目前落地的领域主要集中在智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区，是智能化社会建设的实验田．我国某省会城市欲从中选择其中的三个方面进行智慧城市建设试点，则智慧政务被选择的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据古典概型的方法枚举所有情况再分析满足条件的情况求解即可
【详解】
设智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区分别为A，B，C，D，E，则从中任选三项的选法有，，，，，，，，，，共10种不同的分配方法，其中包含智慧政务的选法有6种，所以智慧政务被选择的概率为
故选：D．
2．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；
从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，
所以概率为：.
故选：C
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））中国女足在2022年亚洲杯决赛中，在上半场落后两球的情况下，下半场5分钟内连进两球将比分扳平，最后由替补队员肖裕仪完成单刀绝杀，以的比分逆转韩国取胜，时隔13年再次登顶亚洲.在女足逆转取胜后，关于女足的各方面消息也是迅速登上了各大热点，某大学足球俱乐部技术组要对女足其中6名球员进行采访，由于赛程安排等原因，组委会只通知了这6名球员中的3名提前做好采访准备，若要从这6名球员中随机选2名球员，则恰有1名球员提前做好采访准备的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先算总的选法总数，再计算满足条件的选法数，然后由古典概型概率公式可得.
【详解】
从6名球员中随机选2名球员共有种选法，恰有1名球员提前做好采访准备共有种，所以恰有1名球员提前做好采访准备的概率为.
故选：B
4．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有两双相同的运动鞋和一双皮鞋，从中随机取两只鞋，那么与事件“两只鞋可配成双”互斥的事件为（ ）
A．两只鞋都是运动鞋B．两只鞋都是皮鞋
C．两只鞋都是右脚D．一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义，即可直接判断
【详解】
对选项A， 事件“两只鞋都是运动鞋”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件；
对选项B，事件“两只鞋都是皮鞋”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件；
对选项C， 事件“两只鞋都是右脚”与事件“两只鞋可配成双”不能同时发生，故是互斥事件；
对选项D， 事件“一只鞋是左脚，另一只鞋是右脚”与事件“两只鞋可配成双”可以同时发生，故不是互斥事件
故选：C
5．（2022·北京海淀·高一期末）米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.
【详解】
由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
故选：C.
6．（2021·河南·高三阶段练习（理））投壸是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率公式分别计算在甲只投中1次且甲获胜和甲投中2次且他获胜的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求甲获胜的概率.
【详解】
若甲只投中1次，则他获胜的概率为；
若甲只投中2次，则他获胜的概率为.
故甲最后获胜的概率为，
故选：C.
7．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车.于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开.这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊（主持人当然知道每扇门后面都是什么）.现在，主持人给你一次重新选择的机会.假设你选择换另一扇还未打开的门，那么得到汽车的概率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
令选手第一次选中的为1号门，打开的为2号门，另外一个为3号门，依题意车在每扇门后面的概率都是，即可得到汽车在1号门的概率，以及汽车在2号门或3号门的概率，再根据汽车不在2号门，即可得到汽车在3号门的概率；
【详解】
解：令选手第一次选中的为1号门，打开的为2号门，另外一个为3号门；
依题意车在每扇门后面的概率都是，即汽车在1号门的概率为，则汽车在2号门或3号门的概率为，因为汽车不在2号门，所以在3号门的概率为，即打开3号门得到汽车的概率为；
故答案为：
8．（2022·全国·高三专题练习）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
列举基本事件，直接求概率即可.
【详解】
1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：
，，4，5，6，
，，5，6；
，，6；
，，共10种，
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25种，
所求概率为．
故答案为：．
9．（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）下列说法中：①不可能事件发生的概率为0 ②随机事件发生的概率为 ③概率很小的事件不可能发生 ④投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次，其中说法不正确的是________（填写序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件的意义直接判断.
【详解】
对于①、不可能事件发生的概率为0，所以①选项正确；
对于②、随机事件发生的概率在0与1之间，所以②选项错误；
对于③、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以③选项错误；
对于④、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数可能为500次，所以④选项错误．
故答案为：②③④．
10．（2021·全国·高一课时练习）有一批小包装食品，其中质量在90~95g的有40袋，质量在95~100g的有30袋，质量在100~105g的有10袋．从中任意抽取1袋，此袋食品的质量在95~100g的概率为________，此袋食品的质量不足100g的概率为________，此袋食品的质量不低于95g的概率为________．（质量在a~bg指的是质量的数值在区间内）
【答案】 ## ## ##
【解析】
【分析】
根据古典概型计算公式进行逐一求解即可.
【详解】
此袋食品的质量在95~100g的概率为：；
此袋食品的质量不足100g的概率为：；
此袋食品的质量不低于95g的概率为：，
故答案为：；；
11．（2021·重庆江津·高一开学考试）现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
用列举法，结合概率的计算公式直接求解即可.
【详解】
用符号表示两次的结果，可能结果如下：
共12种，
其中数字m，n都为奇数的有6种情况，
所以字m，n都为奇数的概率为，
故答案为：
12．（2021·全国·高三专题练习）某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的，，，四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：，，，四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
仅一人获得最高得票，分为：获得3票或者获得2票，其它三人有两2人各1票，由此可计算出概率．
【详解】
随机事件的概率计算
由题意可知，每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅一人获得最高得票有如下两种情况：①若得3票，其概率为；②若得2票，其概率为，所以最终仅一人获得最高得票的概率为..
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是把事件拆分两个互斥事件的概率，一个事件是获得3票，一个事件是获得2票，其他三人中有2人各获得一票，分别计算概率后由概率加法得出结论．
13．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）某校进行羽毛球比赛，因为人数较多，故分成A，B两组进行小组比赛，甲乙分在不同的组，已知甲晋级下一轮的概率是、乙晋级下一轮的概率是，且甲乙比赛结果相互独立，若“甲乙至少有一个晋级下一轮”的概率是，则_______.（用数字作答）
【答案】##
【解析】
【分析】
甲乙至少有一个晋级下一轮与甲乙一个都没晋级下一轮互为对立事件，即概率相加为，，即可求出.
【详解】
甲乙至少有一个晋级下一轮与甲乙一个都没晋级下一轮互为对立事件，甲晋级下一轮的概率是，甲未晋级下一轮的概率是，乙晋级下一轮的概率是，乙未晋级下一轮的概率是，，.
故答案为：.
14．（2021·江西·南昌十中高二阶段练习（文））冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．求成功生产出质量合格的发热膜概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
要使生产出质量合格的发热膜，则三个环节都必须合格，利用独立事件的乘法公式，求成功生产出质量合格的发热膜概率即可.
【详解】
由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜有三个环节都必须合格，
∴成功生产出质量合格的发热膜概率.
故答案为：
B组 能力提升
15．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)下列试验中，随机事件有（ ）
A．某射手射击一次，射中10环
B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖
D．若x为实数，则x2＋1≥1
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可求解.
【详解】
某射手射击一次，射中10环是随机事件；同时掷两枚骰子，都出现6点是随机事件；
某人购买福利彩票未中奖是随机事件；若x为实数，则x2＋1≥1是必然事件.
故选：ABC
16．（2021·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）(多选题)以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
【答案】AB
【解析】
【分析】
A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”是互斥事件，所以该选项正确；
B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；
C中事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；
D中三种事件不能构成基本事件，所以该选项错误.
【详解】
A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”不可能同时发生，所以是互斥事件，所以该选项正确；
B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”的发生不可能同时出现，所以是互斥事件，但所有结果只有两种，所以事件“结果正面向上"和“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；
C中事件“甲中签”和“乙中签”是不可能同时发生，但也可能是“甲，乙两人都不中签”发生，所以事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；
D中设两男为，，两女为，，则“”，“”，“”，“”，“”，“”为等可能事件，可以组成一个基本事件空间，显然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四种情况，“两个男医生”只包括“”一种情况，“两个女医生”也只包括“”一种情况，概率不相等，所以不能构成基本事件．所以该选项错误.
故选：AB
17．（2022·全国·高一课时练习）(多选题)将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ）
A．三次都出现相同数字的概率为
B．没有出现数字的概率为
C．至少出现一次数字的概率为
D．三个数字之和为的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式与对立事件的概率性质逐一验证即可
【详解】
由题意知：实验发生所包含的事件为3个均匀的正四面体与底面接触，共有种结果；
三次都出现相同数字的事件为：111,222,333,444，共4种结果，三次都出现相同数字的概率为，故A错误；
没有出现数字，即这3次抛掷出的均为2，3，4中的其中一个，共有种，没有出现数字的概率为，故B正确；
至少出现一次数字的概率为，故C正确；
三个数字之和为的事件为：441，414，144，333，432，423，234，243，342，324共10种，三个数字之和为的概率为，故D正确；
故选：BCD
18．（2022·全国·高二单元测试）(多选题)如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量的所有可能取值为，，…，，且，，定义的“自信息”为．一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（ ）
A．当时，“自信息”
B．当时，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出，得到，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件与事件发生的概率，得出与，即可判断D正确.
【详解】
A选项，当时，，即A正确；
B选项，因为对数函数是增函数，所以是减函数；因此，当时，，即，故B错；
C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则，所以，故C正确；
D选项，事件“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个基本事件；
事件“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；
所以，，则；因此，即D正确；
故选：ACD.
19．（2022·全国·高二课时练习）假设5名工人独立地工作每名工人在1h内平均有12min需要用电（即任时刻需要用电的概率为）.
(1)求在同一时刻恰有3名工人需要用电的概率；
(2)如果在同一时刻最多只能供给3名工人所需的电力，求超过负荷的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件的概率公式可得可求；
（2）超过负荷的概率可求．
(1)
解：在同一时刻恰有3名工人需要电力的概率.
(2)
解：超过负荷的概率．
40．（2022·全国·高二课时练习）男、女两名运动员分别参加不同的长跑比赛，根据以往经验，他们获得冠军的概率分别为0.6与0.5，求下列事件的概率.
(1)两人都得冠军；
(2)至少一人得冠军.
【答案】(1)0.3
(2)0.8
【解析】
【分析】
(1)由相互独立事件的概率乘法公式可得；
(2)利用对立事件与相互独立事件的概率公式可得.
(1)
记事件A为：男运动员获得冠军;
事件B为：女运动员获得冠军.
则
(2)
至少有一人得冠军的概率
20．（2022·全国·模拟预测（文））某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这家工厂中随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量指标值x，得到该厂所生产的消毒液质量指标值的频率分布直方图如图所示，规定：当或时，消毒液为二等品；当或时，消毒液为一等品；当时，消毒液为特等品（将频率视为概率）.
(1)现在从抽样的100瓶消毒液中随机抽取2瓶二等品，求这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率；
(2)若每瓶消毒液的生产成本为20元，特等品售价每瓶35元，一等品售价每瓶30元，二等品售价每瓶25元.政府指定该工厂5月份只生产10万瓶高考考场专用消毒液，要求高考考点使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免费赠送给某区教育局用于各小学操场消毒.假定教育局全部购买了该厂5月份生产的特等品和一等品消毒液，估计该厂5月份生产的消毒液的利润（利润=销售收入-成本）是多少万元？
【答案】(1)；
(2)104万元.
【解析】
【分析】
（1）根据直方图求100瓶的样本中二等品、所抽取的瓶数，再应用列举法求概率.
（2）利用直方图求特等品和一等品消毒液的数量，由已知求该厂5月份生产的消毒液的利润.
(1)
在100瓶的样本中的共抽取瓶，不妨设为，，
的共抽取瓶，不妨设为1，2，3，
则从这5瓶二等品中抽取2瓶包含如下基本事件：，，，，，，，，，共10个基本事件，
质量指标值的消毒液恰好有1瓶的基本事件有：，，，，，，共6个基本事件，
所以这2瓶二等品消毒液中其质量指标值的消毒液恰好有1瓶的概率为.
(2)
该厂5月份生产特等品的消毒液为万瓶，
一等品的消毒液为万瓶，
该厂5月份生产的消毒液的利润是万元，
所以该厂5月份生产的消毒液的利润是104万元.
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的随机选出，现甲班学生60人，乙班学生40人.
(1)若乙班将学生按1，2，3…39，40进行编号，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生编号（直接写出结果，无需过程）；
(2)现从甲乙两班代表学生中分层抽样选取5人，再从5人中随机抽取2人参加加试，求抽取的2人恰好来自一个班级的概率.
【答案】(1)17
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据系统抽样的方法抽样即可得答案；
（2）根据古典概型求解即可.
(1)
解：由系统抽样得，乙班的抽样人数为，故组距为，
因为第二段被抽取的学生编号为7，则第四段抽取的学生编号.
(2)
解：设“抽取的2名同学来自同一班级”为事件A
由题意知，甲班同学中抽取3人，分别用表示，
乙班同学中抽取2人，分别用表示，
从这5名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：
共10种
抽取的2名同学来自同一班级的结果有：
共4种
所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为
22．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组的平均成绩是32，方差为7，落在第三组的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数和总方差；
(3)已知年级在第二组和第五组两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组的概率．
【答案】(1)众数：70；平均数：65
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据众数和平均数的计算方法计算即可
（2）分别计算两组的人数，再根据平均数与方差的公式求解即可；
（3）分别计算两组的人数，再根据古典概型的方法计算即可
(1)
由图可得，众数为，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组所占的频率分别为，，，，，故平均数为
(2)
由图可得，第二组的人数为人，第三组的人数为，故.
设第二组中10人的分数分别为，第三组中20人的分数分别为，则由题意可得，，即，，故
(3)
由题，第二组和第五组的人数比为，故在第二组和第五组分别抽1人和3人.记第二组中的1人为，第五组中的3人分别为，则这4人中随机抽取2人作为学生代表，所有可能的情况有,,,,,共6种情况，其中这两名学生代表都来自第五组的有,,3种情况.设“从这4人中随机抽取2人作为学生代表，这两名学生代表都来自第五组”的事件为，则
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