备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破3数列中的创新型问题1

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例1 [2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，
20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到
5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝
180 dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折n次，那么∑nk=1Sk＝ 240（3－n+32n） dm2.
解析 依题意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm，52 dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm×32 dm四种规格的图形，且面积均为30 dm2，所以S3＝30×4＝120（dm2）；
当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm，52 dm×6 dm，54 dm×12 dm，10 dm×32 dm，
20 dm×34 dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15 dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2）；
……
所以可归纳Sk＝2402k×（k＋1）＝240（k+1）2k.
所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋n2n－1＋n+12n） ①，
所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424＋…＋n2n＋n+12n+1） ②，
由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）n－1]1－12－n+12n+1}＝240（32－n+32n+1），所以∑k=1nSk＝240（3－n+32n）（dm2）.
方法技巧
通过数学建模解决数学文化问题的步骤
训练1 [2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记{an}的前n项和为Sn，则S10＝（ C ）
A.495B.522C.630D.730
解析 由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列{an}是以9为首项，12为公差的等差数列，则an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.故选C.
命题点2 现代生活情境下的数列应用
例2 某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24 h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24 h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（ C ）
A.25辆B.24辆C.23辆D.22辆
解析 由题意可知，一辆翻斗车需要20×24＝480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24 h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，…，an，则数列{an}是公差为－13的等差数列，所以a1＝24，记{an}的前n项和为Sn，则Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），当n＝23时，Sn≈467.7＜480，当n＝24时，Sn＝484＞480，故n的值为24，至少需要24辆翻斗车，所以至少还需要抽调23辆翻斗车，故选C.
训练2 [多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设bn＝an＋1－n，则下面结论正确的是（ ABD ）
A.a3＝7
B.an＋1＝2an＋1
C.bn＝2n＋n－1
D.∑i=1nbi＋ibibi+1＝12－12n+2－n－2
解析 由题意易得，a1＝1，a2＝3.易知将n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为an＋1，若要将2号杆中的n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为an；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以选项A，B均正确；因为bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以选项C错误；因为bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2＋1b2－1b3＋1b3－1b4＋…＋1bn－1bn+1＝1b1－1bn+1＝12－12n+2－n－2，所以选项D正确.综上，选ABD.
命题点3 数列中的新定义问题
例3 我们把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的数叫做“费马数”，设an＝lg2（Fn－1），n∈N*，Sn表示数列{an}的前n项和，则使不等式22S1S2＋23S2S3＋…＋2n+1SnSn+1＜63127成立的最大正整数n的值是（ A ）
A.5B.6C.7D.8
解析 因为Fn＝22n＋1（n∈N），所以当n∈N*时，an＝lg2（Fn－1）＝lg2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S1S2＋23S2S3＋…＋2n+1SnSn+1＝122－2－123－2＋123－2－124－2＋…＋12n+1－2－12n+2－2＝12－12n+2－2.若12－12n+2－2＜63127，则12n+2－2＞1254，即2n＋2＜256，解得n＜6，故选A.
训练3 函数y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.已知数列{an}满足a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lg an]，则数列{bn}的前2 025项和为 4968 .
解析 由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.记{bn}的前n项和为Tn，当1≤n≤9时，0≤lg an＜1，bn＝[lg an]＝0；当10≤n≤99时，1≤lg an＜2，bn＝1；当100≤n≤999时，2≤lg an＜3，bn＝2；
当1 000≤n≤2 025时，3≤lg an＜4，bn＝3.所以T2 025＝（b1＋…＋b9）＋（b10＋…＋b99）＋（b100＋…＋b999）＋（b1 000＋…＋b20 25）＝9×0＋90×1＋900×2＋1 026×3＝4 968.读懂题意
会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.
构造模型
由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.
“解模”
把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等.