备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破2数列中的构造问题1

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例1 （1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n－1，则an＝ 2n－1 .
解析 因为an＋1＝3an－2n－1，所以an+12n+1＝32·an2n－14，
即an+12n+1－12＝32（an2n－12）.因为a121－12＝0，所以an2n－12＝0，故an＝2n－1.
（2）设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，则an＝ 2n＋1 .
解析 由已知可得an＋1－（2n＋3）＝3[an－（2n＋1）]，an－（2n＋1）＝3[an－1－（2n－1）]，…，a2－5＝3（a1－3）.因为a1＝3，所以an＝2n＋1.
命题拓展
[变条件]若例1（2）中的a1＝4，则an＝ 3n－1＋2n＋1 .
解析 设an＋1＋x（n＋1）＋y＝3（an＋xn＋y），则展开利用对应项系数相等可得出x＝
－2，y＝－1，所以{an－2n－1}是以a1－2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－2n－1＝3n－1，所以an＝3n－1＋2n＋1.
方法技巧
形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）的递推式，一般采用构造法求通项：
（1）若f（n）为非零常数，则一般凑配成an＋1＋x＝p（an＋x）的形式（利用待定系数法求x），构造等比数列；
（2）若f（n）为关于n的一次函数，则一般凑配成an＋1＋x（n＋1）＋y＝p（an＋xn＋y）的形式（利用待定系数法求x，y），构造等比数列；
（3）若f（n）为指数幂（如qn）的形式，则一般两边同时除以pn＋1或qn＋1，再利用累加法或构造法求通项.
训练1 在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则an＝ 3n＋2 .
解析 由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.
命题点2 形如an＋1＝panqan＋r
例2 [多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an2+3an，则下列结论正确的有（ ABD ）
A.{1an＋3}为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝12n+1－3
C.{an}为递增数列
D.{1an}的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4
解析 因为a1＝1，an＋1＝an2+3an，所以1an+1＝2+3anan＝2an＋3，所以1an+1＋3＝2（1an＋3）.
又1a1＋3＝4，所以数列{1an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1an＋3＝4×2n－1＝
2n＋1，即an＝12n+1－3，故A，B正确.因为an＋1－an＝12n+2－3－12n+1－3＝（2n+1－3）－（2n+2－3）（2n+2－3)(2n+1－3）＝－2n+1（2n+2－3)(2n+1－3），n≥1，所以2n＋2－3＞0，2n＋1－3＞0，－2n＋1＜0，所以an＋1－an＜0，所以{an}为递减数列，故C错误.易知1an＝2n＋1－3，则Tn＝（22＋23＋24＋…＋2n＋1）－3n＝4（1－2n）1－2－3n＝2n＋2－3n－4，故D正确.故选ABD.
方法技巧
形如an＋1＝panqan＋r的递推式，一般采用取倒数法求通项，先变形为1an+1＝rp·1an＋qp，再利用累加法或构造法求通项.
训练2 （1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝anan+2，则a10＝（ C ）
A.11021B.11022C.11023D.11024
解析 由an＋1＝anan+2，两边同时取倒数得1an+1＝an+2an＝2an＋1，则1an+1＋1＝2（1an＋1），所以数列{1an＋1}是以2为公比的等比数列，则1an＋1＝（1a1＋1）·2n－1＝2n，所以an＝12n－1，故a10＝1210－1＝11023.故选C.
（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan+2，则an＝ 2n+1 .
解析 依题意知an≠0，由an＋1＝2anan+2可得1an+1＝an+22an＝12＋1an，即1an+1－1an＝12，又a1＝1，可知数列{1an}是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，则1an＝1＋12（n－1）＝n+12，即an＝2n+1.
命题点3 形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）
例3 已知数列{an}满足an＋1＝5an－6an－1（n≥2），且a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式为 an＝2×3n－1－2n－1 .
解析 解法一 当n≥2时，令an＋1－xan＝y（an－xan－1），即an＋1＝（x＋y）an－xyan－1.于是得x＋y=5，－xy＝－6，解得x=2，y=3或x=3，y=2.当x＝2，y＝3时，an＋1－2an＝3（an－2an－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋1－2an＝2×3n－1 ①.当x＝3，y＝2时，an＋1－3an＝2（an－3an－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{an＋1－3an}是以1为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－3an＝
2n－1 ②.由①－②得an＝2×3n－1－2n－1.
解法二 当n≥2时，由an＋1＝5an－6an－1得an＋1－2an＝3an－6an－1，即an＋1－2an＝3（an－2an－1），因为a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1－2an＝2×3n－1，两边同
除以2n＋1，得an+12n+1－an2n＝12×（32）n－1.
所以an2n＝（an2n－an－12n－1）＋（an－12n－1－an－22n－2）＋…＋（a222－a121）＋a121＝12×（32）n－2＋12×（32）n－3＋…＋12×（32）0＋12＝12×1－（32）n－11－32＋12＝（32）n－1－12.故an＝2×3n－1－2n－1.
方法技巧
形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为an＋1＋λan＝μ（an＋λan－1）（n≥2），由待定系数法求出λ，μ，再依据相邻两项的递推关系求通项.
训练3 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an＋2＝3an＋1－2an.则{an}的通项公式为 an＝2n－1 .
解析 由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），又a2－a1＝1，易知an＋1－an≠0，所以an+2－an+1an+1－an＝2，所以数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公比的等比数列.所以
an＋1－an＝2n－1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋21＋20＋1＝20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＋1＝20×2n－1－12－1＋1＝2n－1，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.
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用“不动点法”求数列的通项公式
例4 已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1+22an－1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为 an＝3n－（－1）n3n＋（－1）n .
解析 令x＝x+22x+1，解得x＝1或x＝－1，
令an+1－1an+1+1＝c·an－1an+1 ①，
由a1＝2，an＝an－1+22an－1+1，得a2＝45，
令①式中的n＝1，可得c＝－13，
∴数列{an－1an+1}是以a1－1a1+1＝13为首项，－13为公比的等比数列，
∴an－1an+1＝13·（－13）n－1，
∴an＝3n－（－1）n3n＋（－1）n.
方法技巧
利用不动点法求数列通项的步骤
对于一个函数f（x），我们把满足f（m）＝m的值m称为函数f（x）的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.
设f（x）＝ax＋bcx＋d（c≠0，ad－bc≠0），数列{an}满足an＋1＝f（an），a1≠f（a1）.
（1）若f（x）有两个相异的不动点p，q，则an+1－pan+1－q＝k·an－pan－q（此处k＝a－pca－qc）.
步骤如下：
i.令x＝ax＋bcx＋d，解出两个根p，q，即两个不动点；
ii.构造新数列{an+1－pan+1－q}，并将已知递推关系an＋1＝f（an）代入化简，得出an+1－pan+1－q＝k·an－pan－q，并得出等比数列{an－pan－q}的通项；
iii.解方程得出an.
（2）若f（x）有两个相同的不动点p，则1an+1－p＝1an－p＋k（此处k＝2ca＋d）.
训练4 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝7an－2an+4，则该数列的通项公式为 an＝4·6n－1－5n－12·6n－1－5n－1 .
解析 由方程x＝7x－2x+4，得数列{an}的不动点为1和2，则an+1－1an+1－2＝7an－2an+4－17an－2an+4－2＝7an－2－（an+4）7an－2－2（an+4）＝65·an－1an－2，所以{an－1an－2}是首项为a1－1a1－2＝2，公比为65的等比数列，所以an－1an－2＝2·（65）n－1，解得an＝12·（65）n－1－1＋2＝4·6n－1－5n－12·6n－1－5n－1.