2025年高考数学精品教案第五章 数列 突破3 数列中的创新型问题

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命题点1 数学文化情境下的数列应用
例1 [2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，
20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到
5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝
180 dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 5 ；如果对折n次，那么∑nk=1Sk＝ 240（3－n+32n） dm2.
解析 依题意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm，52 dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm×32 dm四种规格的图形，且面积均为30 dm2，所以S3＝30×4＝120（dm2）；
当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm，52 dm×6 dm，54 dm×12 dm，10 dm×32 dm，
20 dm×34 dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15 dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2）；
……
所以可归纳Sk＝2402k×（k＋1）＝240（k+1）2k.
所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋n2n－1＋n+12n） ①，
所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424＋…＋n2n＋n+12n+1） ②，
由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）n－1]1－12－n+12n+1}＝240（32－n+32n+1），所以∑k=1nSk＝240（3－n+32n）（dm2）.
方法技巧
通过数学建模解决数学文化问题的步骤
训练1 [2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记{an}的前n项和为Sn，则S10＝（ C ）
A.495B.522C.630D.730
解析 由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列{an}是以9为首项，12为公差的等差数列，则an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.故选C.
命题点2 现代生活情境下的数列应用
例2 某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24 h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24 h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20 min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24 h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（ C ）
A.25辆B.24辆C.23辆D.22辆
解析 由题意可知，一辆翻斗车需要20×24＝480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24 h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，…，an，则数列{an}是公差为－13的等差数列，所以a1＝24，记{an}的前n项和为Sn，则Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），当n＝23时，Sn≈467.7＜480，当n＝24时，Sn＝484＞480，故n的值为24，至少需要24辆翻斗车，所以至少还需要抽调23辆翻斗车，故选C.
训练2 [多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设bn＝an＋1－n，则下面结论正确的是（ ABD ）
A.a3＝7
B.an＋1＝2an＋1
C.bn＝2n＋n－1
D.∑i=1nbi＋ibibi+1＝12－12n+2－n－2
解析 由题意易得，a1＝1，a2＝3.易知将n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为an＋1，若要将2号杆中的n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为an；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以选项A，B均正确；因为bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以选项C错误；因为bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2＋1b2－1b3＋1b3－1b4＋…＋1bn－1bn+1＝1b1－1bn+1＝12－12n+2－n－2，所以选项D正确.综上，选ABD.
命题点3 数列中的新定义问题
例3 我们把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的数叫做“费马数”，设an＝lg2（Fn－1），n∈N*，Sn表示数列{an}的前n项和，则使不等式22S1S2＋23S2S3＋…＋2n+1SnSn+1＜63127成立的最大正整数n的值是（ A ）
A.5B.6C.7D.8
解析 因为Fn＝22n＋1（n∈N），所以当n∈N*时，an＝lg2（Fn－1）＝lg2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S1S2＋23S2S3＋…＋2n+1SnSn+1＝122－2－123－2＋123－2－124－2＋…＋12n+1－2－12n+2－2＝12－12n+2－2.若12－12n+2－2＜63127，则12n+2－2＞1254，即2n＋2＜256，解得n＜6，故选A.
训练3 函数y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.已知数列{an}满足a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lg an]，则数列{bn}的前2 025项和为 4968 .
解析 由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.记{bn}的前n项和为Tn，当1≤n≤9时，0≤lg an＜1，bn＝[lg an]＝0；当10≤n≤99时，1≤lg an＜2，bn＝1；当100≤n≤999时，2≤lg an＜3，bn＝2；
当1 000≤n≤2 025时，3≤lg an＜4，bn＝3.所以T2 025＝（b1＋…＋b9）＋（b10＋…＋b99）＋（b100＋…＋b999）＋（b1 000＋…＋b20 25）＝9×0＋90×1＋900×2＋1 026×3＝4 968.
1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？其大意是：现有一个善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（ A ）
A.d＝15
B.此人第三天行走了一百二十里
C.此人前七天一共行走了九百一十里
D.此人前八天一共行走了一千零八十里
解析 设此人第n（n∈N*）天走an里，则数列{an}是公差为d的等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，由题意可得a1=100，S9=9a1+36d=1 260，解得d＝10，A错.a3＝a1＋2d＝120，B对.S7＝7a1＋6×72d＝910，C对.S8＝8a1＋7×82d＝1 080，D对.故选A.
2.[命题点2/2023江西清江中学期末]现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量（单位：万件）为T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费.从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（ B ）
A.7年B.8年C.9年D.10年
解析 设第n年年产量为an，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为an＝
T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*），
a1＝2也符合上式，所以an＝14n（3n＋5）（n∈N*）.
令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤0.
设f（x）＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－56，则当x＞0时，f（x）单调递增.
又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，
所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年.
故选B.
3.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为“m积特征列”，若各项均为正数的等比数列{an}为“6积特征列”，且a1＞1，则当{an}的前n项之积最大时，n的值为（ CD ）
A.5B.4C.3D.2
解析 由{an}是等比数列，得an＝a1qn－1，其中q为数列{an}的公比.
因为数列{an}是“6积特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，
所以a15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－2.
因为数列{an}各项均为正数，a1＞1，所以0＜q＜1.
设数列{an}的前n项之积为Pn，
则有Pn＝a1a2…an＝a1nq1＋2＋3＋…＋（n－1）＝qn2－5n2.
因为0＜q＜1，所以当n2－5n2最小时，Pn最大.
结合二次函数的图象及n∈N*知当n＝2或n＝3时，n2－5n2最小，Pn最大.故选CD.
学生用书·练习帮P315
1.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对.若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为（ B ）
A.4B.5C.6D.7
解析 由题知数列{an}中的项都是正整数，当n＝4时，1≤i＜j≤4，将1，2，3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5个，故选B.
2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（称数列{an}为二阶等差数列）……以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{an}：1，1，3，27，729，…是一阶等比数列，则∑n=110lg3an的值为（参考公式：12＋22＋…＋n2＝n6（n＋1）（2n＋1））（ B ）
A.60B.120C.240D.480
解析 由题意知，数列{an}为一阶等比数列.设bn＝an+1an，则{bn}为等比数列，其中b1＝1，b2＝3，公比为q＝b2b1＝3，所以bn＝3n－1.故an＝bn－1bn－2…b1·a1＝31＋2＋3＋…＋（n－2）＝3（n－1)(n－2）2，n≥2，a1＝1，也适合上式，所以lg3an＝lg33（n－1)(n－2）2＝（n－1)(n－2）2＝
12（n2－3n＋2）.所以∑n=110lg3an＝lg3a1＋lg3a2＋lg3a3＋…＋lg3a10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋2×10]＝120.故选B.
3.[2023昆明市模拟]Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n（n∈N*）的最简分数及0（视为01）和1（视为11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是01，14，13，12，23，34，11.则F－7的项数为 19 .
解析 F－7中分子为1的有17，16，15，14，13，12；分子为2的有27，25，23；分子为3的有37，35，34；分子为4的有47，45；分子为5的有57，56；分子为6的有67；再加上01和11两项，共有19项.
4.对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”.已知an＝lg4n+1n，则数列{an}在区间[1，2 025]内的所有“幸福数”的个数为 5 .
解析 an＝lg4n+1n＝lg4（n＋1）－lg4n，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝lg42－lg41＋lg43－lg42＋…＋lg4（n＋1）－lg4n＝lg4（n＋1）.
根据题意得Sk为正整数，设Sk＝m（m∈N*），则lg4（k＋1）＝m，
所以k＋1＝4m，令1≤k≤2 025，则1≤4m－1≤2 025，故m可取1，2，3，4，5，共5个数，所以所求“幸福数”有5个，故答案为5.
5.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为 84 尺.
解析 依题意，冬至的晷长为13.5尺，记为a1＝13.5，芒种的晷长为2.5尺，记为a12＝2.5，因为相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，所以从冬至到芒种的晷长可构成等差数列{an}，n∈N*，n≤12，则数列{an}的公差d＝a12－a112－1＝2.5－13.512－1＝－1.因为夏至与芒种相邻，且夏至的晷长最短，所以夏至的晷长为a12＋d＝1.5（尺），又大雪与冬至相邻，且冬至的晷长最长，所以大雪的晷长为a1＋d＝12.5（尺）.显然夏至到大雪的晷长可构成一个递增的等差数列，其首项为1.5，末项为12.5，共12项，所以一年中夏至到大雪的晷长的和为1.5+12.52×12＝84（尺）.
6.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列{an}和{bn}记录他们的成绩.若第k题甲答对，则ak＝k，若第k题甲答错，则ak＝－k；若第k题乙答对，则bk＝2k－1 ，若第k题乙答错，则bk＝－2k－1.已知b1＋b2＋…＋b10＝767，a1b1＋a2b2＋…＋a10b10＝
9 217，则a1＋a2＋…＋a10＝ 39 .
解析 由题意可知｜ak｜＝k，｜bk｜＝2k－1，记T＝∑i=110｜ai｜｜bi｜＝1×20＋2×21＋…＋10×29，则2T＝1×21＋2×22＋…＋10×210，两式相减得T＝－（20＋21＋…＋29）＋10×210＝－1－2101－2＋10×210＝1＋9×210＝9 217，所以∑i=110｜ai｜｜bi｜＝∑i=110aibi，该式表明对于10道题中的每一道题，甲和乙同时答对或者同时答错.由题意可知，乙的成绩为∑i=110bi＝767，若乙10道题全部答对，则其获得的总成绩应为20＋21＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1 023，令1 023－7672＝2m－1，解得m＝8，所以乙除第8题答错外，其余题均答对，所以甲除第8题答错外，其余题均答对，所以∑i=110ai＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7－8＋9＋10＝39.
7.[2023上海华东师范大学第二附属中学期末改编]某工厂在2023年上半年施行“减员增效”措施，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的23领取工资.该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可在工资的基础上额外获得b元收入，从第三年起每人每年的额外收入可在上一年的基础上增加50％.假设某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的年收入为an元.
（1）求{an}的通项公式.
（2）当b＝8a27时，这个人哪一年的年收入最少？最少为多少元？
（3）当b≥3a8时，是否能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入？
解析 （1）由题意得，当n＝1时，a1＝a，
当n≥2时，an＝（23）n－1a＋（32）n－2b.
所以an＝a，n=1，（23）n－1a＋（32）n－2b，n≥2.
（2）b＝8a27，当n≥2时，an＝（23）n－1a＋8a27（32）n－2≥2（23）n－1a×8a27（32）n－2＝8a9，
当且仅当（23）n－1a＝8a27（32）n－2时，上式的等号成立，即（23）2n－3＝（23）3，解得n＝3，此时an＝a3＝8a9.
又a1＝a＞8a9，所以这个人分流后第三年的年收入最少，最少为8a9 元.
（3）当n≥2时，an＝（23）n－1a＋（32）n－2b≥（23）n－1a＋3a8（32）n－2≥2（23）n－1a×3a8（32）n－2＝a，
当且仅当b＝3a8且n＝lg2313时，上式等号成立，
又n≥2且n∈N*，因此等号不能取到，所以当n≥2时，an＞a.
故当b≥3a8时，能保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.读懂题意
会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.
构造模型
由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.
“解模”
把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等.