备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破1数列中含绝对值及奇偶项问题命题点1数列中含绝对值的求和问题

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例1 [2023全国卷乙]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
解析 （1）设{an}的公差为d，则a2＝a1＋d=11，S10=10a1+45d=40，
解得a1＝13，d＝－2.
所以{an}的通项公式为an＝13＋（n－1）×（－2）＝15－2n.
（2）由（1）得｜an｜＝15－2n，n≤7，2n－15，n≥8.
当n≤7时，Tn＝Sn＝13n＋n（n－1）2×（－2）＝14n－n2，
当n≥8时，Tn＝－Sn＋2S7＝－（14n－n2）＋2（14×7－72）＝98－14n＋n2.
综上，Tn＝14n－n2，n≤7，98－14n＋n2，n≥8.
方法技巧
一般地，数列{｜an｜}与数列{an}是两个不相同的数列，只有数列{an}中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列.因此，求数列{｜an｜}的前n项和时，应先弄清n取什么值时an≥0或an＜0，去掉绝对值符号后再求和.
训练1 [2023长沙一中5月三模]已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*），它的前n项和为Sn，且a3＝－25，S6＝－144.
（1）求Sn的最小值；
（2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
解析 （1）由2an＋1＝an＋an＋2可得an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以{an}是等差数列.设{an}的公差为d，由a3＝－25，S6＝－144得a1+2d＝－25，6a1＋6×52d＝－144，解得a1＝－29，d=2.
所以Sn＝－29n＋n（n－1）2×2＝n2－30n＝（n－15）2－225，
所以当n＝15时，Sn取得最小值－225.
（2）由（1）知an＝－29＋（n－1）×2＝2n－31，则当n≤15时，an＜0，当n≥16时，an＞0.
当n≤15时，Tn＝－Sn＝－n2＋30n，
当n≥16时，Tn＝－S15＋Sn－S15＝n2－30n＋450.
综上，Tn＝－n2+30n，n≤15，n2－30n+450，n≥16.