备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第8讲函数模型的应用

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第8讲函数模型的应用，共5页。试卷主要包含了3倍，所以N0e0，5，1＋M3100≈244等内容，欢迎下载使用。
1.[2023合肥市二检]Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌数量N（t）与时间t的关系时，得到的Malthus模型是N（t）＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数.若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ln 6.3≈1.84）（ C ）
A.2B.3C.4D.5
解析 因为t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，所以N0e0.46t＝6.3N0，即e0.46t＝6.3，则0.46t＝ln 6.3≈1.84，得t≈4.故选C.
2.[2024山西晋中模拟]2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为v＝2ln（1＋Mm）.若火箭的质量约为3 100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量约为（参考数值：ln 244.69≈5.50，结果精确到0.01t，1t＝1 000 kg）（ B ）
t t
t t
解析 由2ln（1＋M3100）＝11，得ln（1＋M3100）＝5.5，1＋M3100≈244.69，M3100≈243.69，所以M≈3 100×243.69＝755 439 kg≈755.44 t.故选B.
3.[2022北京高考]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar .下列结论中正确的是（ D ）
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
解析 对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈（lg102，lg103），即lg P∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈（lg102，lg103），即lg P＝lg 729∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.
4.[多选/2024广东七校联考]尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M，则下列说法正确的是（ ACD ）
A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级为七级
B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1 000倍
D.记地震里氏震级为n（n＝1，2，…，9），地震释放的能量为f（n），则f（n+1）f（n）＝101.5
解析 对于A，当E＝1015.3时，由题意得lg 1015.3＝4.8＋1.5M，解得M＝7，即地震里氏震级为七级，故A正确；
对于B，八级地震即M＝8，由lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，解得E1＝1016.8，所以E11015.3＝1016.81015.3＝101.5≠6.3，故B不正确；
对于C，六级地震即M＝6，由lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，解得E2＝1013.8，所以E1E2＝1016.81013.8＝103＝1 000，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1 000倍，故C正确；
对于D，由题意得f（n）＝104.8＋1.5n，则f（n+1）f（n）＝106.3+1.5n104.8+1.5n＝101.5，故D正确.综上，选ACD.
5.[2024江苏常州模拟]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ＝（θ1－θ0）e－kt＋θ0，其中t为时间（单位：min），θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度.假设在室内温度为20°C的情况下，一杯饮料由100 ℃降低到60 ℃需要20 min，则此饮料从60 ℃降低到25 ℃需要 60 min .
解析 由已知得（100－20）e－20k＋20＝60，得e－20k＝12，－20k＝ln 12，k＝ln220，由（60－20）e－tln220＋20＝25，得e－tln220＝18，－tln220＝ln 18，t＝60.
6.某污水处理厂为使污水经处理后达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的质量浓度C（单位：mg/m3）随时间t（单位：h）的变化关系可以近似地用函数
C（t）＝100（t+1）t2+4t+19刻画，由此可以判断，经过 3 h后，被处理的污水中该药剂的质量浓度达到最大，最大值是 10 mg/m3.
解析 依题意t＞0，所以t＋1＞1，所以C（t）＝100（t+1）t2+4t+19＝100（t+1）（t+1）2+2（t+1）+16＝100（t+1）＋16t+1+2≤1002（t+1）·16t+1+2＝10010＝10，当且仅当t＋1＝16t+1，即t＝3时，等号成立，即此时质量浓度达到最大，最大值为10 mg/m3.
7.[2024宁夏银川一中模拟]某公司经过测算，计划投资A，B两个项目.若投入A项目资金x（单位：万元），则该项目一年创造的利润为x2（单位：万元）；若投入B项目资金x（单位：万元），则该项目一年创造的利润为f（x）＝10x30－x，0≤x≤20，20，x>20（单位：万元）.
（1）当投入A，B两个项目的资金相同且B项目比A项目一年创造的利润高时，求投入A项目的资金x（单位：万元）的取值范围.
（2）若该公司共有资金30万，全部用于投资A，B两个项目，则该公司一年分别投入A，B两个项目多少万元时，创造的总利润最大？
解析 （1）当0≤x≤20时，由x2＜10x30－x，解得10＜x≤20；当x＞20时，由x2＜20，解得20＜x＜40.
综上，投入A项目的资金x（单位：万元）的取值范围为（10，40）.
（2）设对A项目投入资金x万元，0≤x≤30，则对B项目投入资金（30－x）万元.
设创造的总利润为W（x），
则W（x）＝x2＋f（30－x）＝x2＋10（30－x）x，10≤x≤30，x2+20，0≤x