备考2024届高考数学一轮复习讲义第二章函数第8讲函数模型的应用

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1.几种常见的函数模型
2.指数、对数、幂函数模型性质的比较
1.下列说法正确的是（ D ）
A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大
B.幂函数增长比一次函数增长更快
C.某种商品进价为每件100元，按进价增加10％后出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利
D.在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度会超过并远远大于y＝xα（α＞0）的增长速度
2.已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝lg2x，当x∈（4，＋∞）时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（ B ）
A.f（x）＞g（x）＞h（x）B.g（x）＞f（x）＞h（x）
C.g（x）＞h（x）＞f（x）D.f（x）＞h（x）＞g（x）
3.[2021全国卷甲]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（1010≈1.259）（ C ）
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
解析 由题可知，4.9＝5＋lg V⇒lgV＝－0.1⇒V＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，故选C.
4.[2023湖南省株洲市模拟]“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（ C ）
A.y＝lg0.95xB.y＝lg0.995xC.y＝lg1.005xD.y＝lg1.05x
解析 由题意得x＝（1＋51000）y＝1.005y，化为对数函数得y＝lg1.005x，故选C.
研透高考 明确方向
命题点1 利用函数图象刻画实际变化过程
例1 [北京高考]为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是 ①②③ .
解析 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；甲企业污水排放量与时间的关系图象在t2时刻切线的斜率的绝对值大于乙企业，故②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间的污水治理能力最强，故④错误.
方法技巧
判断函数图象与实际变化过程是否吻合的方法
（1）构建函数模型法：若易构建函数模型，则先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
训练1 [多选/2023江西省宜春市模拟]周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分）之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ABD ）
A.乙的速度为300米/分
B.25分钟后甲的速度为400米/分
C.乙比甲晚14分钟到达B地
D.A，B两地之间的路程为29 400米
解析 因为乙比甲早出发5分钟，由题图知乙的速度为15005＝300（米/分），故选项A正确；设甲的原速度为v，由题图可知25×300－（25－5）v＝2 500，解得v＝250米/分，所以25分钟后甲的速度为250×85＝400（米/分），故选项B正确；根据题图知，当x＝86时，甲到达B地，此时乙距离B地还有250×20＋400×（86－25）－300×86＝3 600（米），3600300＝12（分），所以乙比甲晚12分钟到达B地，故选项C不正确；利用甲行驶的路程计算可得，A，B两地之间的路程为300×（86＋12）＝29 400（米），故选项D正确.故选ABD.
命题点2 已知函数模型求解实际问题
例2 （1）[2024武汉部分学校调考]某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30％，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（ C ）
A.49％B.51％C.65.7％D.72.9％
解析 当t＝2时，（1－30％）N0＝N0e－2k，所以0.7N0＝N0e－2k，所以e－2k＝0.7.当t＝6时，N＝N0e－6k＝N0（e－2k）3＝0.73N0＝0.343N0，所以前6个小时共能过滤掉污染物的N0－0.343N0N0＝65.7％，故选C.
（2）[多选/2023新高考卷Ⅰ]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ACD ）
A.p1≥p2B.p2＞10p3
C.p3＝100p0D.p1≤100p2
解析 由已知，知60≤20×lgp1p0≤90，解得1 000p0≤p1≤10 00010P0；50≤20×lgp2p0≤60，解得10010p0≤p2≤1 000p0；20×lgp3p0＝40，解得p3＝100p0.易知A，C正确.10p3＝1 000p0≥p2，故B错误.100p2≥10 00010p0≥p1.故D正确.
方法技巧
已知函数模型求解实际问题的步骤
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；
（3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练2 [2024贵州黔东南模拟]已知超市内某商品的日销量y（单位：件）与当日销售单价x（单位：元）满足关系式y＝ax－10－2x＋100，其中10＜x＜55，a为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润最大为（ C ）
A.1 500元B.1 200元
C.1 000元D.800元
解析 将x＝15，y＝110代入y＝ax－10－2x＋100，得a＝200.若该商品的进价为每件10元，则超市该商品的日利润为g（x）＝（x－10）（200x－10－2x＋100）＝－2x2＋120x－800＝－2（x－30）2＋1 000，其中10＜x＜55，所以当x＝30时，超市该商品的日利润取得最大值，且最大值为1 000元，故选C.
命题点3 构造函数模型求解实际问题
例3 （1）[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ A ）
A.10B.9C.8D.7
解析 设经过n层PP棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为y，则y＝80×（1－13）n＝80×（23）n，令80×（23）n≤2，解得（23）n≤140，两边取常用对数得nlg23≤lg140，即nlg32≥lg 40，即n（lg 3－lg 2）≥1＋2lg 2.因为lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，所以（0.477－0.301）n≥1.602，解得n≥9.102，因为n∈N*，所以n的最小值为10.故选A.
（2）[2023南昌市模拟]某市出台两套出租车计价方案，方案一：2千米及2千米以内收费8元（起步价），超过2千米的部分每千米收费3元，不足1千米按1千米计算；方案二：3千米及3千米以内收费12元（起步价），超过3千米不超过10千米的部分每千米收费2.5元，超过10千米的部分每千米收费3.5元，不足1千米按1千米计算.以下说法正确的是（ C ）
A.方案二比方案一更优惠
B.乘客甲打车行驶4千米，他应该选择方案二
C.乘客乙打车行驶12千米，他应该选择方案二
D.乘客丙打车行驶16千米，他应该选择方案二
解析 设乘客打车行驶x千米，f（x）为按照方案一收费的费用，g（x）为按照方案二收费的费用，[x]为不超过实数x的最大整数，
则f（x）＝8，02且x∈Z，8+3([x－2]+1),x>2且x∉Z，
g（x）＝12，0