（新高考通用）2024年高考数学【讲义】高频考点题型归纳与方法总结 第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）（原卷版+解析）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）题型目录一览一、知识点梳理1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【常用结论】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（3）对于任意的，总存在，使得；（4）对于任意的，总存在，使得；（5）若存在，对于任意的，使得；（6）若存在，对于任意的，使得；（7）对于任意的，使得；（8）对于任意的，使得；（9）若存在，总存在，使得（10）若存在，总存在，使得．二、题型分类精讲题型一 求函数的极值与极值点策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】已知函数，求函数的极值.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为2．（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（    ）A．1 B．2 C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）A． B． C．b D．44．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（    ）A．-3 B．1 C．27 D．-55．（2023·四川·高三专题练习）函数的极值点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ）A．的极大值为 B．的极小值为C．的单调减区间为 D．的值域为7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．曲线在处的切线与直线垂直B．在上单调递增C．的极小值为D．在上的最小值为三、填空题8．（2023·全国·高三专题练习）函数的极大值点为___________.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是__．四、解答题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)设a＝0．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并说明理由．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．题型二 极值、极值点中的参数问题【典例1】已知函数，．(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．(2)讨论函数的单调区间．【题型训练】一、单选题1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（　　）A． B． C． D．12．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．3．（2023·陕西商洛·统考三模）若函数无极值，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．4．（2023·四川凉山·三模）已知函数的导函数，若1不是函数的极值点，则实数a的值为（    ）．A．－1 B．0 C．1 D．25．（2023·全国·模拟预测）已知函数的极值点为1和2，且在上单调递增，则的最小值为（    ）A．4 B． C．5 D．6．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（    ）A． B．1 C．2 D．二、多选题7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数在处有极值，且极值为8，则（    ）A．有三个零点B．C．曲线在点处的切线方程为D．函数为奇函数8．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（    ）A． B．C． D．三、填空题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极小值为2，则______10．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.四、解答题13．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；(2)若，函数在（0，2）上存在小于1的极小值，求实数的取值范围.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上有两个极值点，．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：．15．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中为实数．(1)已知函数在处取得极值，求的值；(2)已知不等式对都成立，求实数的取值范围．题型三 求函数的最值策略方法 1．求函数f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【典例1】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．【题型训练】一、单选题1．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（    ）（注：）A．3 B．C．5 D．2．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）A． B．0，,e2 C． D．3．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数，且，则的最小值为（    ）A．1 B．e C． D．4．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知，函数，则（    ）A．有最小值，有最大值 B．无最小值，有最大值C．有最小值，无最大值 D．无最小值，无最大值5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、填空题6．（2023·安徽·校联考二模）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_________．7．（2023·湖南岳阳·统考三模）若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________．8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数，，且，则的最小值为__________．9．（2023·甘肃·模拟预测）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为______.三、解答题10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数．(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求实数的值．11．（2023·全国·模拟预测）已知.(1)求的最值；(2)当，时，若恒成立，求正整数的最大值.12．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数.(1)证明：曲线在处的切线经过坐标原点；(2)记的导函数为，设，求使恒成立的的取值范围.题型四 最值中的参数问题【典例1】已知和有相同的最大值（），求的值；【题型训练】一、单选题1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（    ）A． B．C． D．2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．3．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（    ）A．有极大值，无最小值 B．无极大值，有最小值C．有极大值，有最大值 D．无极大值，无最大值5．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）设，若函数的最小值为，是从六个数中任取一个，那么恒成立的概率是（    ）A． B． C． D．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（    ）A．0 B．4 C． D．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数只有一个零点B．函数只有极大值而无极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若当时，，则t的最大值为2三、填空题8．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数的最小值为，则______．四、解答题10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．11．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）已知函数（）.(1)若的零点有且只有一个，求的值；(2)若存在最大值，求的取值范围.12．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断的单调性；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．题型五 函数极值、最值的综合应用【典例1】已知函数的最小值为0．求实数的值；【典例2】已知函数．(1)证明：(2)若，求．【题型训练】一、单选题1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数，若对任意的，成立，则的最大值是（    ）A． B． C．1 D．e2．（2023·四川·校联考模拟预测）若，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．4．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（    ）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数a的最小值为C．若有两个零点，，则D．若，且，则的最大值为6．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，则（    ）A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称B．存在实数，使函数为单调函数C．任意实数，函数都存在最小值D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线三、填空题7．（2023·江西九江·统考三模）已知函数有两个极值点，，且，则______.8．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）若，则的取值范围是____________.四、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且.(1)求实数的值；(2)证明：存在，且时，.10．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求实数的取值范围.①求函数的极值与极值点②极值、极值点中的参数问题③求函数的最值④最值中的参数问题⑤函数极值、最值的综合应用2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第16讲 导数与函数的极值、最值（精讲）题型目录一览一、知识点梳理1．函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点.2．函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.【常用结论】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（3）对于任意的，总存在，使得；（4）对于任意的，总存在，使得；（5）若存在，对于任意的，使得；（6）若存在，对于任意的，使得；（7）对于任意的，使得；（8）对于任意的，使得；（9）若存在，总存在，使得（10）若存在，总存在，使得．二、题型分类精讲题型一 求函数的极值与极值点策略方法 利用导数研究函数极值问题的一般流程【典例1】已知函数，求函数的极值.【答案】见详解.【分析】先求导函数，根据导函数零点的个数讨论，根据导函数的正负判定单调区间，进而求得极值.【详解】，定义域为R，.①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.②当时，令，得， .当， ；当 ， ；∴在上单调递减，在上单调递增，在取得极小值，极小值为，无极大值.综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.【题型训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a