湖北省武汉市洪山区2022_2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份湖北省武汉市洪山区2022_2023学年九年级上学期期中数学试卷，共25页。

2022-2023学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）一元二次方程3x2+1＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣6，1 B．6，1 C．﹣6x，1 D．6x，1
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）把方程x2﹣4x+1＝0转化成（x﹣m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．2，15 B．2，﹣1 C．2，3 D．2，5
4．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．有最小值3
D．顶点坐标是（﹣1，3）
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
6．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y＝2x2+bx+c，则b，c的值为（　　）
A．b＝4，c＝﹣2 B．b＝2，c＝4 C．b＝4，c＝4 D．b＝﹣12，c＝20
7．（3分）已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
8．（3分）如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（　　）米．

A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
9．（3分）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（　　）
A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018
10．（3分）如图所示，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF．当在点E运动过程中，DF取最小值时，△CDF的面积等于（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.
11．（3分）方程x2﹣4x＝0的解为 　 　．
12．（3分）平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
13．（3分）有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 　 　人．
14．（3分）若抛物线y＝x2+2x+k与x轴有交点，则k的取值范围为 　 　．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），满足a＞b＞c且a+b+c＝0，下列四个结论：
①ac＞0；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线经过（﹣3，0），则b＝2a；
④对满足am2+bm+c＜0的任意实数m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
16．（3分）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，将△ACB绕点A按顺时针方向旋转得到△AEF，点E在CD的延长线上，若AC＝6，BC＝8，则DE的长为 　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
18．（8分）如图所示，在△ABC和△DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．点E在边AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝52°，
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）求∠AED的度数．

19．（8分）口袋公园已走入百姓的生活，如图所示，某口袋公园有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

20．（8分）如图所示，直线y＝kx与抛物线y＝ax2+bx+c交于A，B两点：
（1）若a＝1，b＝，且A（﹣4，2），求B点坐标；
（2）若B（3，﹣2），且A点纵坐标等于4，直接写出不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为 　 　．

21．（8分）如图所示，在7×6长方形的网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，建立适当的直角坐标系，使点A（1，4），C（2，3）．请用一把无刻度的直尺画图：
（1）过点C画一条与线段AB平行的线段CD，格点D的坐标为 　 　；
（2）过点C画一条与线段AB垂直的线段CE，格点E的坐标为 　 　；
（3）画作∠DCE的角平分线CF，格点F的坐标可以是 　 　；
（4）画∠ABM＝45°，那么格点M的坐标可以是 　 　．

22．（10分）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示：
x（元/瓶）
22
24
26
27
y（瓶）
90
80
70
65
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围）
（2）若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利375元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？
（3）该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，设这种消毒洗手液每天的总利润为w（元），那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）如图1所示，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE，求证：AD＝BE；
（2）如图2所示，若D是△ABC外一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，且AE＝AB，求证：BD＝CD；
（3）如图3所示，若O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM＝，CM＝7，∠BMC＝45°，则BM＝　 　．

24．（12分）如图1所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求△ABC的面积；
（2）如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，且∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）若点N是直线y＝2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.
1．（3分）一元二次方程3x2+1＝﹣6x化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．﹣6，1 B．6，1 C．﹣6x，1 D．6x，1
【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案．
【解答】解：化为一般式为：3x2+6x+1＝0，
故一次项系数为6，常数项为1．
故选：B．
2．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）把方程x2﹣4x+1＝0转化成（x﹣m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．2，15 B．2，﹣1 C．2，3 D．2，5
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
∴m＝2，n＝3，
故选：C．
4．（3分）关于二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．有最小值3
D．顶点坐标是（﹣1，3）
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2+3，
∴抛物线开口向下，对称轴为值x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3），
∴函数最大值为3，x＜﹣1时，y随x增大而增大，
故选：D．
5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y＝2x2+bx+c，则b，c的值为（　　）
A．b＝4，c＝﹣2 B．b＝2，c＝4 C．b＝4，c＝4 D．b＝﹣12，c＝20
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式形式写出解析式，然后整理成二次函数的一般形式，最后根据对应项系数相等解答．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为：y＝2（x﹣1+2）2﹣1+3，即y＝2x2+4x+4，
∴b＝4，c＝4．
故选：C．
7．（3分）已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的图象上，二次函数图象与y轴的交点在正半轴，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴H和开口方向，然后关键二次函数的对称性和增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵二次函数图象与y轴的交点在正半轴，
∴﹣3a＞0，
∴a＜0，
∴二次函数的开口向下，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵B（﹣2，y2）关于直线x＝1的对称点为（4，y2），且1＜2＜3＜4，
∴y3＞y1＞y2，
故选：B．
8．（3分）如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（　　）米．

A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把x＝代入抛物线解析式得出水面高度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，

由题意可得：顶点坐标为（0，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
把点坐标（﹣2，﹣2）代入得出：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2，
当x＝时，y＝﹣0.5x2＝﹣3，
所以水面高度下降3﹣2＝1（米），
故选：C．
9．（3分）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（　　）
A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到m2＝﹣m+3，再用m表示出m3＝4m﹣3，则原式化简为4（m+n）﹣mn+2019，接着利用根与系数的关系得到m+n＝﹣1，mn＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m3＝m（﹣m+3）
＝﹣m2+3m
＝﹣（﹣m+3）+3m
＝4m﹣3，
∴m3+4n﹣mn+2022
＝4m﹣3+4n﹣mn+2022
＝4（m+n）﹣mn+2019，
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019
＝﹣4+3+2019
＝2018．
故选：A．
10．（3分）如图所示，等边△ABC边长为6，点E是中线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF．当在点E运动过程中，DF取最小值时，△CDF的面积等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根据旋转的性质可得CE＝CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF＝EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD＝30°求解即可．
【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF＝60°，
又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，
∴∠DCF＝∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD＝BC＝3，AD＝CD＝3，
∴CD＝CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE＝CF，
在△DCF和△GCE中，
，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF＝EG，S△DCF＝S△GCE，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，
∴EG＝AG＝×3＝，AE＝EG＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴S△GCE＝EG•DE＝×＝，
∴S△DCF＝，
故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.
11．（3分）方程x2﹣4x＝0的解为 　x1＝0，x2＝4　．
【分析】x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．
【解答】解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0
x＝0或x﹣4＝0
x1＝0，x2＝4
故答案是：x1＝0，x2＝4．
12．（3分）平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣2，3）　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
13．（3分）有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 　343　人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒”，列出一元二次方程，解之取其正值，即可解决问题．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝49，
解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
即每轮传染中平均一个人传染了6个人．
则49×（1+6）＝343，
即经过三轮后患了感冒的人数为343人，
故答案为：343．
14．（3分）若抛物线y＝x2+2x+k与x轴有交点，则k的取值范围为 　k≤1　．
【分析】抛物线与x轴有交点，则Δ≥0，进而求解．
【解答】解：若抛物线y＝x2+2x+k与x轴有交点，则Δ＝22﹣4k≥0，
解得k≤1，
故答案为：k≤1．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），满足a＞b＞c且a+b+c＝0，下列四个结论：
①ac＞0；
②抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线经过（﹣3，0），则b＝2a；
④对满足am2+bm+c＜0的任意实数m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0．
其中正确的是 　②③④　（填写序号）．
【分析】①根据a＞b＞c，a+b+c＝0，通过正、负来判断；
②通过Δ＝b2﹣4ac＞0即可判断；
③根据题意得到对称轴即可判断；
④根据数形结合，利用抛物线与x轴的交点及与一元二次不等式的关系得出结论．
【解答】解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，a≠0，
∴a、b、c中有正、负，
∵c为最小，a为最大，
∴c＜0，a＞0，
∴ac＜0，故选项①错误，不符合题意；
∵a＞0，c＜0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，故选项②正确，符合题意；
∵a+b+c＝0，
∴图象一定经过（1，0），
若抛物线经过（﹣3，0），则对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣1，
∴b＝2a，故选项③正确，符合题意；
如图所示，设抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（x1，0），
分两种情况：
i）当a＞0，b＞0，c＜0时，抛物线对称轴在y轴的左侧，如图1，

∵a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b＜0，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝4a﹣2b﹣a﹣b＝3a﹣3b＝3（a﹣b），
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴y＞0，
∵A（1，0），
∴AB＜3，
∴当满足am2+bm+c＜0时，即当x＝m时，y＜0，
此时﹣2＜m＜1，
∴m+3＞1，
则当x＝m+3时，y＞0，
∴a（m+3）2+b（m+3）+c＞0，
ii）当a＞0，b＜0，c＜0，抛物线对称轴在y轴的右侧，如图2，

∴a＝﹣b﹣c，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣b﹣c﹣b+c＝﹣2b＞0，
∴AB＜2，
∴当am2+bm+c＜0时，即当x＝m时，y＜0，
此时﹣1＜m＜1，
∴m+3＞2，
则当x＝m+3时，y＞0，
∴a（m+3）2+b（m+3）+c＞0，
故选项④正确，符合题意；
故答案为：②③④．
16．（3分）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，将△ACB绕点A按顺时针方向旋转得到△AEF，点E在CD的延长线上，若AC＝6，BC＝8，则DE的长为 　　．

【分析】过点A作AH⊥CE于点H，根据勾股定理可得AB的长，根据直角三角形的性质可得CD的长，根据S△ACD＝S△ABC，，可得AH的长，根据勾股定理可得CH的长，根据旋转的性质进一步可得CE的长．
【解答】解：过点A作AH⊥CE于点H，如图所示：

∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
根据勾股定理，得AB＝10，
∵D是AB的中点，
∴CD＝AB＝5，
∵S△ACD＝S△ABC，
∴CD•AH＝AC•BC，
即×5•AH＝×6×8，
解得AH＝，
∵AC＝6，
根据勾股定理，可得CH＝，
根据旋转的性质，可得AC＝AE，
∴点H是CE的中点，
∴CE＝2CH＝，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0；
（2）x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）将一次项移到方程的左边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，
（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（8分）如图所示，在△ABC和△DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．点E在边AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝52°，
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）求∠AED的度数．

【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△DEC即可得出结论；
（2）根据∠ACE＝2∠ECB＝52°结合△ABC≌△DEC，推出∠CED＝∠B＝∠CEB＝77°，即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵∠ACE＝2∠ECB＝52°，
∴∠ECB＝26°，
∵CE＝CB，
∴∠CEB＝∠B＝
＝
＝77°，
由（1）知，△ABC≌△DEC，
∴∠CED＝∠B＝77°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED﹣∠CEB
＝180°﹣77°﹣77°
＝26°．
19．（8分）口袋公园已走入百姓的生活，如图所示，某口袋公园有一道长为16米的墙，计划用35米长的围栏靠墙围成一个面积为150平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

【分析】可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解
【解答】解：设BC边的长为x米，则AB＝CD＝米，
根据题意得：•x＝150，
解得：x1＝15，x2＝20，
∵20＞16，
∴x2＝20不合题意，舍去，
答：矩形草坪BC边的长为15米．
20．（8分）如图所示，直线y＝kx与抛物线y＝ax2+bx+c交于A，B两点：
（1）若a＝1，b＝，且A（﹣4，2），求B点坐标；
（2）若B（3，﹣2），且A点纵坐标等于4，直接写出不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为 　﹣6＜x＜3　．

【分析】（1）把A点的坐标分别代入直线和抛物线的解析式即可求得k＝﹣，c＝﹣8，然后两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点A的坐标，然后观察图象即可求得不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx与抛物线y＝ax2+bx+c交于A，B两点，a＝1，b＝，A（﹣4，2），
∴2＝﹣4k，16﹣6+c＝2，
解得k＝﹣，c＝﹣8，
∴直线为y＝﹣x，抛物线为y＝x2+x﹣8，
由解得或，
∴B（2，﹣1）；
（2）∵直线y＝kx经过点B（3，﹣2），
∴﹣2＝3k，解得k＝﹣，
∴直线为y＝﹣x，
把y＝4代入y＝﹣x得，4＝﹣x，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，4），
由图象可知，当﹣6＜x＜3时，抛物线y＝ax2+bx+c在直线的下方，
∴不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集为﹣6＜x＜3，
故答案为：﹣6＜x＜3．
21．（8分）如图所示，在7×6长方形的网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，建立适当的直角坐标系，使点A（1，4），C（2，3）．请用一把无刻度的直尺画图：
（1）过点C画一条与线段AB平行的线段CD，格点D的坐标为 　（5，4）　；
（2）过点C画一条与线段AB垂直的线段CE，格点E的坐标为 　（3，0）　；
（3）画作∠DCE的角平分线CF，格点F的坐标可以是 　（6，1）或（4，2）　；
（4）画∠ABM＝45°，那么格点M的坐标可以是 　（2，1）或（3，3）或（1，﹣1）　．

【分析】（1）利用点A和C的坐标确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到D点坐标，再描点即可；
（2）把CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，则CE⊥AB，从而得到E点坐标；
（3）把EC绕点E顺时针旋转90°得到EF或取DE的中点得到F点，然后写出对应的坐标即可；
（4）把DE平移使点D与B点重合，则平移后的线段（或线段的延长线）上的格点为M点．
【解答】解：（1）如图，CD为所作，D点坐标为（5，4）．
故答案为：（5，4）．
（2）如图，CE为所作，E点坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
（3）如图，CF为所作，F点的坐标可以为（6，1）或（4，2）．
故答案为：（6，1）或（4，2）．
（4）如图，点M为所作，M点的坐标为（2，1）或（3，3）或（1，﹣1）．
故答案为：（2，1）或（3，3）或（1，﹣1）．

22．（10分）消毒洗手液与百姓生活息息相关，某药店的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的进价为每瓶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如表所示：
x（元/瓶）
22
24
26
27
y（瓶）
90
80
70
65
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（不需要写自变量x的取值范围）
（2）若该药店每天想从这批消毒洗手液的销售中获利375元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每瓶的售价为多少元？
（3）该药店上级主管部门规定，消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，设这种消毒洗手液每天的总利润为w（元），那么售价定为多少元时该药店可获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意得：375＝（x﹣20）（﹣5x+200），即可求解；
（3）由题意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+200）＝﹣5（x﹣40）（x﹣20），再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）之间满足一次函数关系为y＝kx+b，
在表格取点（22，90）、（24，80）代入上式得：，解得，
故函数的表达式为y＝﹣5x+200；

（2）由题意得：375＝（x﹣20）（﹣5x+200），
解得：x＝35或25，
考虑到尽量给顾客实惠，则x＝35舍去，
故x＝25，
即这批消毒洗手液每瓶的售价为25元；

（3）消毒洗手液的每瓶利润不允许高于进价的30%，即x≤20（1+30%）＝26，
由题意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+200）＝﹣5（x﹣40）（x﹣20），
则函数的对称轴为x＝（40+20）＝30，
∵﹣5＜0，故当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝26时，w有最大值为420，
故售价定为26元时该药店可获得的利润最大，最大利润420元．
23．（10分）如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）如图1所示，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE，求证：AD＝BE；
（2）如图2所示，若D是△ABC外一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，且AE＝AB，求证：BD＝CD；
（3）如图3所示，若O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM＝，CM＝7，∠BMC＝45°，则BM＝　5　．

【分析】（1）由等腰直角三角形性质得AC＝BC，再由旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝90°，然后由SAS证△∠ACD≌△BCE，即可得出结论；
（2）连接AD、BE，AD交BE于点O，AD交BC于点N，连接DE，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠DAC＝∠EBC，再证AD⊥BE，则OE＝OB，然后由等腰三角形的性质得DE＝BD，即可得出结论；
（3）过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，证△POC≌△MOB（SAS），得CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，再证∠PQM＝∠POM＝90°，则△CMQ是等腰直角三角形，得CQ＝MQ＝，设PC＝x，则PQ＝（x+），然后在Rt△PQM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠BCE+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△∠ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：如图2，连接AD、BE，AD交BE于点O，AD交BC于点N，连接DE，
由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠EBC，
∵∠ANC＝∠BNO，
∴∠ACN＝∠BON，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOA＝90°，
即AD⊥BE，
∵AE＝AB，
∴OE＝OB，
∴DE＝BD，
∴BD＝CD；
（3）解：如图3，过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，
则∠POM＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点，
∴CO⊥AB，CO＝AB＝OB，
∴∠COB＝∠POM＝90°，
∴∠POC＝∠MOB，
∴△POC≌△MOB（SAS），
∴CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，
又∵∠OHP＝∠QHM，
∴∠PQM＝∠POM＝90°，
∠BMC＝45°，
∴△CMQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝MQ＝CM＝，
在Rt△POM中，PM＝OM＝×＝13，
设PC＝x，则PQ＝（x+），
在Rt△PQM中，由勾股定理得：（）2+（x+）2＝132，
解得：x＝5（负值已舍去），
∴PC＝5，
∴BM＝PC＝5，
故答案为：5．


24．（12分）如图1所示，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求△ABC的面积；
（2）如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，且∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）若点N是直线y＝2上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程即可得到y＝﹣x2+2x+8，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过P作PH⊥x轴于H，则∠AOC＝∠AHP＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）设直线y＝2与y轴交于H，过M作ME⊥y轴于E，MF⊥直线y＝2于F，根据矩形的性质得到EM＝FH，EH＝MF，∠EMF＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠CMN＝90°，CM＝NM，根据全等三角形的性质得到ME＝MF，CE＝FN，设M（a，﹣a2+2a+8），解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
可得b＝2，c＝8，
∴y＝﹣x2+2x+8，
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，OC＝8，
∴△ABC的面积＝AB•OC＝×6×8＝24；
（2）过P作PH⊥x轴于H，则∠AOC＝∠AHP＝90°，
∵∠PAB＝∠ACO，
∴△AOC∽△AHP，
∴＝，
设P（m，﹣m2+2m+8），则AH＝m+2，PH，m2+2m+8＝﹣m2+2m+8，OA＝2，OC＝8，
∴＝，
∴m＝2，或m＝﹣（不合题意舍去），
∴P（2，8）；
（3）设直线y＝2与y轴交于H，
过M作ME⊥y轴于E，MF⊥直线y＝2于F，
∵直线y＝2⊥y轴，
∴四边形EHFM是矩形，
∴EM＝FH，EH＝MF，∠EMF＝90°，
∵△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠CMN＝90°，CM＝NM，
∴∠CME＝∠MNF，
∵∠CEM＝∠MFN＝90°，
∴△CME≌△MNF（AAS），
∴ME＝MF，CE＝FN，
设M（a，﹣a2+2a+8），
∴a＝﹣a2+2a+8﹣2，
解得a＝3或a＝﹣2（不合题意舍去），
∴M（3，5），
故存在点M，使得△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．