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浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题5.2 分式的运算【十大题型】（学生版+教师版）
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这是一份浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题5.2 分式的运算【十大题型】（学生版+教师版），文件包含浙教版七年级下册数学举一反三系列专题52分式的运算十大题型教师版docx、浙教版七年级下册数学举一反三系列专题52分式的运算十大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27964" 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【题型2 分式的加减混合运算】 PAGEREF _Tc19221 \h 2
\l "_Tc5486" 【题型3 整式与分式的相加减运算】 PAGEREF _Tc5486 \h 3
\l "_Tc13540" 【题型4 分式加减的实际应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 3
\l "_Tc7277" 【题型5 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 4
\l "_Tc4034" 【题型6 分式的混合运算及化简求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 4
\l "_Tc1254" 【题型7 分式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1254 \h 5
\l "_Tc4413" 【题型8 分式运算的规律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 6
\l "_Tc23906" 【题型9 整数指数幂的运算】 PAGEREF _Tc23906 \h 8
\l "_Tc18471" 【题型10 科学计数法表示小数】 PAGEREF _Tc18471 \h 8
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。=
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
1）同分母分式：分母不变，分子相加减
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
【例1】（2022·全国·八年级课时练习）的结果是（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且，则的值为______ ．
【题型2 分式的加减混合运算】
【例2】（2022·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【变式2-1】（2022·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：
【变式2-2】（2022·全国·中考模拟）计算下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ．
【变式2-3】（2022·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．D．9
【题型3 整式与分式的相加减运算】
【例3】（2022·贵州铜仁·八年级期末）计算：的结果是________．
【变式3-1】（2022·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+）=_______．
【变式3-2】（2022·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= ．
(1)当时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
(2)设，若x是整数，求y的整数值．
【变式3-3】（2022·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【题型4 分式加减的实际应用】
【例4】（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【变式4-1】（2022·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
【变式4-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
【变式4-3】（2022·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵，7比6大1，，∴4819是“分解数”；
又如：∵，4比3大1，，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为，A的个位数字与B的十位数字的和，令，当为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
【题型5 比较分式的大小】
【例5】（2022·全国·七年级单元测试）设，，当时，和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·八年级期末）已知，，，，则的大小关系为_____________．
【变式5-2】（2022·全国·九年级竞赛）已知，，是三个互不相同的非零实数，设，，，．则与的大小关系是_______；与的大小关系是______．
【变式5-3】（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M=，N=．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2022·天津东丽·八年级期末）计算
（1）
（2）
【变式6-1】（2022·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣÷，其中x＝﹣2，y＝．
【变式6-2】（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【变式6-3】（2022·全国·八年级单元测试）已知 为整数，且满足 ，求 的值．
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ② ③ ④
(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【变式7-1】（2022·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”.
（1）分式与 互为“5阶分式”；
（2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；
（3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值.
【变式7-2】（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．
(1)已知分式，则______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数，的值．
【变式7-3】（2022·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如：，我们称两个分式与互为“5和分式”．解答下列问题：
（1）分式与分式________互为“4和分式”；
（2）分式与分式互为“________和分式”；
（3）已知，两个分式与是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；
（4）若分式与互为“3和分式”（其中x，y为正数），求的值．
【题型8 分式运算的规律探究】
【例8】（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（3）＝，f（），计算：f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【变式8-1】（2022·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
【变式8-2】（2022·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
观察分式的变形过程和结果，．
填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大．
（2）探究二：
观察分式的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果．
【问题解决】
（3）当时，求分式的最小值．
【变式8-3】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
(2)计算：______
(3)①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂：。
2.若，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。
【题型9 整数指数幂的运算】
【例9】（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【变式9-1】（2022·甘肃陇南·八年级期末）计算：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3＝_____．
【变式9-2】（2022·河北·唐山市第三十三中学八年级阶段练习）已知，则m的值为______．
【变式9-3】（2022·贵州铜仁伟才学校八年级阶段练习）化简下列式子，使结果只含有正整数指数幂：（-2a﹣2b3）2（﹣2a4b﹣3）=________（a≠0，b≠0）．
【题型10 科学计数法表示小数】
【例10】（2022·辽宁锦州·七年级期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×吨B．1.5×吨C．15×吨D．1.5×吨
【变式10-1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5B．-6C．-7D．-8
【变式10-2】（2022·河北·卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）把写成（，为整数）的形式，则为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27964" 【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】 PAGEREF _Tc27964 \h 2
\l "_Tc19221" 【题型2 分式的加减混合运算】 PAGEREF _Tc19221 \h 2
\l "_Tc5486" 【题型3 整式与分式的相加减运算】 PAGEREF _Tc5486 \h 3
\l "_Tc13540" 【题型4 分式加减的实际应用】 PAGEREF _Tc13540 \h 3
\l "_Tc7277" 【题型5 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc7277 \h 4
\l "_Tc4034" 【题型6 分式的混合运算及化简求值】 PAGEREF _Tc4034 \h 4
\l "_Tc1254" 【题型7 分式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc1254 \h 5
\l "_Tc4413" 【题型8 分式运算的规律探究】 PAGEREF _Tc4413 \h 6
\l "_Tc23906" 【题型9 整数指数幂的运算】 PAGEREF _Tc23906 \h 8
\l "_Tc18471" 【题型10 科学计数法表示小数】 PAGEREF _Tc18471 \h 8
【知识点1 分式的乘除法法则】
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。=
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识点2 分式的加减法则】
1）同分母分式：分母不变，分子相加减
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分; = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】
【例1】（2022·全国·八年级课时练习）的结果是（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________．
【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）
【变式1-3】（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且，则的值为______ ．
【题型2 分式的加减混合运算】
【例2】（2022·浙江杭州·九年级专题练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
【变式2-1】（2022·上海市久隆模范中学七年级期中）计算：
【变式2-2】（2022·全国·中考模拟）计算下列各式：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4） ．
【变式2-3】（2022·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12B．14C．D．9
【题型3 整式与分式的相加减运算】
【例3】（2022·贵州铜仁·八年级期末）计算：的结果是________．
【变式3-1】（2022·山东临沂·中考模拟）化简：（a+2+）=_______．
【变式3-2】（2022·福建福州·八年级期末）已知：P=x+1，Q= ．
(1)当时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；
(2)设，若x是整数，求y的整数值．
【变式3-3】（2022·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【题型4 分式加减的实际应用】
【例4】（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【变式4-1】（2022·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
【变式4-2】（2022·浙江杭州·七年级期末）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．
（2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件．
【变式4-3】（2022·重庆·模拟预测）一个自然数能分解成，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字大1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：∵，7比6大1，，∴4819是“分解数”；
又如：∵，4比3大1，，∴1496不是“分解数”．
(1)判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
(2)自然数为“分解数”，若A的十位数字与B的个位数字的和为，A的个位数字与B的十位数字的和，令，当为整数时，则称M为“整分解数”．若B的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数”M．
【题型5 比较分式的大小】
【例5】（2022·全国·七年级单元测试）设，，当时，和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·八年级期末）已知，，，，则的大小关系为_____________．
【变式5-2】（2022·全国·九年级竞赛）已知，，是三个互不相同的非零实数，设，，，．则与的大小关系是_______；与的大小关系是______．
【变式5-3】（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）若a＞0，M=，N=．
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【题型6 分式的混合运算及化简求值】
【例6】（2022·天津东丽·八年级期末）计算
（1）
（2）
【变式6-1】（2022·广东惠州·模拟预测）先化简，再求值：1﹣÷，其中x＝﹣2，y＝．
【变式6-2】（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【变式6-3】（2022·全国·八年级单元测试）已知 为整数，且满足 ，求 的值．
【题型7 分式中的新定义问题】
【例7】（2022·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ② ③ ④
(2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【变式7-1】（2022·江苏·八年级）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”.
（1）分式与 互为“5阶分式”；
（2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；
（3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值.
【变式7-2】（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．
(1)已知分式，则______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数，的值．
【变式7-3】（2022·江西南昌·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”．例如：，我们称两个分式与互为“5和分式”．解答下列问题：
（1）分式与分式________互为“4和分式”；
（2）分式与分式互为“________和分式”；
（3）已知，两个分式与是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；
（4）若分式与互为“3和分式”（其中x，y为正数），求的值．
【题型8 分式运算的规律探究】
【例8】（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（3）＝，f（），计算：f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）＝______．
【变式8-1】（2022·安徽安庆·七年级期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
【变式8-2】（2022·江苏泰州·八年级期中）【探究思考】
（1）探究一：
观察分式的变形过程和结果，．
填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大．
（2）探究二：
观察分式的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果．
【问题解决】
（3）当时，求分式的最小值．
【变式8-3】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
解：将“”看成一个整体，令
原式
例2：已知，求的值．
解：
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；
(2)计算：______
(3)①已知，求的值；
②若，直接写出的值．
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂：。
2.若，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。
【题型9 整数指数幂的运算】
【例9】（2022·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：；
（2）化简：．
【变式9-1】（2022·甘肃陇南·八年级期末）计算：（﹣2a﹣2b）2÷2a﹣8b﹣3＝_____．
【变式9-2】（2022·河北·唐山市第三十三中学八年级阶段练习）已知，则m的值为______．
【变式9-3】（2022·贵州铜仁伟才学校八年级阶段练习）化简下列式子，使结果只含有正整数指数幂：（-2a﹣2b3）2（﹣2a4b﹣3）=________（a≠0，b≠0）．
【题型10 科学计数法表示小数】
【例10】（2022·辽宁锦州·七年级期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×吨B．1.5×吨C．15×吨D．1.5×吨
【变式10-1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5B．-6C．-7D．-8
【变式10-2】（2022·河北·卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）把写成（，为整数）的形式，则为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（2022·全国·九年级专题练习）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，地球的体积约是太阳体积的倍数是_____（用科学记数法表示，保留2位有效数字）
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