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浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题1.2 平行线的性质【十大题型】（学生版+教师版）
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这是一份浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题1.2 平行线的性质【十大题型】（学生版+教师版），文件包含浙教版七年级下册数学举一反三系列专题12平行线的性质十大题型教师版docx、浙教版七年级下册数学举一反三系列专题12平行线的性质十大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共88页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2182" 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 PAGEREF _Tc2182 \h 1
\l "_Tc23636" 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 PAGEREF _Tc23636 \h 2
\l "_Tc15721" 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 PAGEREF _Tc15721 \h 5
\l "_Tc23203" 【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 PAGEREF _Tc23203 \h 6
\l "_Tc32696" 【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 PAGEREF _Tc32696 \h 7
\l "_Tc8096" 【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 PAGEREF _Tc8096 \h 8
\l "_Tc16928" 【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 PAGEREF _Tc16928 \h 10
\l "_Tc1257" 【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 PAGEREF _Tc1257 \h 12
\l "_Tc27360" 【题型9 平行线的应用（转角问题）】 PAGEREF _Tc27360 \h 14
\l "_Tc26225" 【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】 PAGEREF _Tc26225 \h 15
【知识点 平行线的性质】
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】
【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且．
(1)求证：；
(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．
【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】
【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，．
求证：．（请把下面证明过程补充完整）
证明：（已知）
又（____________）
（____________）
（_____________）
_____（______________）
（已知）
（等量代换）
∴_____（__________________）
（____________）
【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：
已知：如图，，，、分别平分和，求证：．
证明：∵、分别平分和．
∴
________（角平分线定义）
又∵，
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴________________（ ）
∴（ ）
∴，
又∵，
∴（ ）
∴，
∴，
∴（ ）
【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：
已知：如图所示，与互补，．
求证：．
证明：∵与互补（已知），
即，
∴_________________________（_____________________），
∴（_____________________）．
又∵，
∴（等式的性质），
即，
∴_________________________（_____________________），
∴（_____________________）．
【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程.
如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∥BC
证明：∵∠1+∠2=180°（ ）
∠2=∠3（_______________________________）
∴∠1+∠3=180°
∴______∥______（_____________________________）
∴∠B=______（________________________________）
∵∠B=∠DEF（已知）
∴∠DEF=_______ （_______________________）
∴DE∥BC（ ）
【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】
【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板按如图方式放置，其中，，两点分别落在直线、上，，添加下列哪一个条件可使直线（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（ ）
A．95°B．115°C．105°D．125°
【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】
【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则的度数为（ ）
A．25°B．22.5°C．20°D．15°
【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．
【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：
(1)图甲中，容易求得，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；
(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；
(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．
【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】
【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．
(1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．
(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．
【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，ABCD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．
(1)若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；
(2)若点F是直线AE上一动点(点F与点A不重合)，请写出∠P与∠AFB之间的数量关系并证明．
【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】
【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．
(2)请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．
(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线上，H为直线下方一点．
(1)如图1，和相交于点H，求证：．（温馨提示：可过点H作的平行线）
(2)延长至点G，的平分线和的平分线相交于点E，与相交于点F．
①如图2，若，求的度数；
②如图2，当点F在点N左侧时，若的度数为，的度数为，且的值是一个定值，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由．
【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求证：AE⊥ED；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【变式6-3】（2022·天津河东·七年级期中）直线与直线、分别相交于点、，与互补
(1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
(2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH．
(3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值．
【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】
【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2022·山东·临沂第六中学七年级阶段练习）如图（1）（2）（3）中，都满足AB∥CD．
试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．
（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．
（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．
（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为
【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.
（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.
（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为 .
（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中，则共剪出 个角.
若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为 .
（4）如图④，直线，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°由上述结论求∠GHM的度数.
【题型8 平行线的性质（折叠问题）】
【例8】（2022·江西赣州·七年级期末）综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
【变式8-1】（2022·河南周口·七年级期中）如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
（1）试判定与的位置关系，并说明理由；
（2）如果，求的度数．
【变式8-2】（2022·河北保定·七年级期末）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中，先按如图2所示的方法折叠，折痕为； （与相交于点）然后按如图3的方法折叠，折痕为（与落在一条直线上）．
（1）在图2的折叠过程中，若，求的度数
（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕与平行，请把小明的思考步骤补充完整．
由折叠可知，
；
；
∵
∴；（ ① ）
∴ ② ＝ ③ （等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【变式8-3】（2022·广东佛山·七年级期末）某公司技术人员用“沿直线AB折叠检验塑胶带两条边缘线a、b是否互相平行”．
（1）如图1，测得∠1=∠2，可判定a∥b吗？请说明理由；
（2）如图2，测得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b吗？请说明理由；
（3）如图3，若要使a∥b，则∠1与∠2应该满足什么关系式？请说明理由．
【题型9 平行线的应用（转角问题）】
【例9】（2022·黑龙江·大庆市第五十一中学七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向相反的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（ ）
A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°
B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°
C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°
D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°
【变式9-1】（2022·河北唐山·七年级期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【变式9-2】（2022·广西防城港·七年级期末）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则度数为______．
【变式9-3】（2022·广东·广州市第十六中学七年级期中）如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角__________时，道路才能恰好与平行．
【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】
【例10】（2022·上海市市西初级中学七年级期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【变式10-1】（2022·全国·九年级单元测试）（1）如图1，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点C、D、A、F在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为、，，．与相交于点O，则的度数是__________；
（2）将图1中的三角板和三角板分别绕点B、F按各自的方向旋转至如图2所示位置，其中平分，求的度数；
（3）将如图1位置的三角板绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，在此过程中，经过_________秒边与边互相平行．
【变式10-2】（2022·河北·唐山市第十二中学七年级期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究
发现
（1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF= °；
（2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED= °；
拓展
（3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系 ，此时∠AED= °；
探究
（4）如图5，图6继续旋转，使得AC∥DF图5中此时∠AED= °，图6中此时∠AED= °．
【变式10-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出的大小为_______；
（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？
（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD=120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2182" 【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】 PAGEREF _Tc2182 \h 1
\l "_Tc23636" 【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】 PAGEREF _Tc23636 \h 2
\l "_Tc15721" 【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】 PAGEREF _Tc15721 \h 5
\l "_Tc23203" 【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】 PAGEREF _Tc23203 \h 6
\l "_Tc32696" 【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】 PAGEREF _Tc32696 \h 7
\l "_Tc8096" 【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】 PAGEREF _Tc8096 \h 8
\l "_Tc16928" 【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】 PAGEREF _Tc16928 \h 10
\l "_Tc1257" 【题型8 平行线的性质（折叠问题）】 PAGEREF _Tc1257 \h 12
\l "_Tc27360" 【题型9 平行线的应用（转角问题）】 PAGEREF _Tc27360 \h 14
\l "_Tc26225" 【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】 PAGEREF _Tc26225 \h 15
【知识点 平行线的性质】
1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 平行线的判定与性质的运用（计算与证明）】
【例1】（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【变式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末）已知：如图，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，且．
(1)求证：；
(2)若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，则∠F与∠H相等吗？请说明理由．
【变式1-3】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【题型2 平行线的判定与性质（书写过程）】
【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，．
求证：．（请把下面证明过程补充完整）
证明：（已知）
又（____________）
（____________）
（_____________）
_____（______________）
（已知）
（等量代换）
∴_____（__________________）
（____________）
【变式2-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）阅读并完成下面的证明过程：
已知：如图，，，、分别平分和，求证：．
证明：∵、分别平分和．
∴
________（角平分线定义）
又∵，
∴（ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴________________（ ）
∴（ ）
∴，
又∵，
∴（ ）
∴，
∴，
∴（ ）
【变式2-2】（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）完成下面证明过程并写出推理根据：
已知：如图所示，与互补，．
求证：．
证明：∵与互补（已知），
即，
∴_________________________（_____________________），
∴（_____________________）．
又∵，
∴（等式的性质），
即，
∴_________________________（_____________________），
∴（_____________________）．
【变式2-3】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）推理填空：完成下面的证明过程.
如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求证：.DE∥BC
证明：∵∠1+∠2=180°（ ）
∠2=∠3（_______________________________）
∴∠1+∠3=180°
∴______∥______（_____________________________）
∴∠B=______（________________________________）
∵∠B=∠DEF（已知）
∴∠DEF=_______ （_______________________）
∴DE∥BC（ ）
【题型3 平行线与三角尺（直角顶点在平行线上）】
【例3】（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末）如图，含有角的直角三角板的两个顶点、放在一个长方形的对边上，点为直角顶点，，延长交于点，如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】（2022·山东青岛·七年级期中）将一块直角三角板按如图方式放置，其中，，两点分别落在直线、上，，添加下列哪一个条件可使直线（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（ ）
A．95°B．115°C．105°D．125°
【题型4 平行线与三角尺（直角顶点不在平行线上）】
【例4】（2022·全国·八年级专题练习）如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·山西晋中·七年级期末）用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置，其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合，直尺两边分别与三角板的两条直角边相交，若，则的度数为（ ）
A．25°B．22.5°C．20°D．15°
【变式4-2】（2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GEMP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的是_______．
【变式4-3】（2022·山东淄博·期末）如图所示，将一直角三角板放在AB，CD两条平行线之间：
(1)图甲中，容易求得，请直接写出图乙中∠1，∠2的数量关系；
(2)请问图丙中∠1，∠2的数量关系是什么？并加以说明；
(3)请直接写出图丁中∠1，∠2的数量关系．
【题型5 平行线的判定与性质综合（角度之间的数量关系）】
【例5】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．
(1)如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．
(2)在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．
【变式5-1】（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
【变式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
【变式5-3】（2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中）如图1，ABCD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．
(1)若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；
(2)若点F是直线AE上一动点(点F与点A不重合)，请写出∠P与∠AFB之间的数量关系并证明．
【题型6 平行线的判定与性质综合（求定值）】
【例6】（2022·湖南·株洲二中七年级期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．
(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ °，∠3＝ °．
(2)请你猜想：当射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行时，两平面镜a、b间的夹角∠3的大小是否为定值？若是定值，请求出∠3，若不是定值，请说明理由．
(3)如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90），进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系，并说明理由．
【变式6-1】（2022·河北保定·七年级阶段练习）如图，直线AB∥CD，点M，N分别在直线上，H为直线下方一点．
(1)如图1，和相交于点H，求证：．（温馨提示：可过点H作的平行线）
(2)延长至点G，的平分线和的平分线相交于点E，与相交于点F．
①如图2，若，求的度数；
②如图2，当点F在点N左侧时，若的度数为，的度数为，且的值是一个定值，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
③如图3，当点N在点F左侧时，②中其他条件不变，请问的度数是否会随x的变化而发生改变？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由．
【变式6-2】（2022·福建龙岩·七年级期末）如图1，点A、D分别在射线BM、CN线上，BM∥CN，BM⊥BC于点B，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求证：AE⊥ED；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)如图2，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，试猜想∠F的值是否为定值，若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
【变式6-3】（2022·天津河东·七年级期中）直线与直线、分别相交于点、，与互补
(1)如图，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
(2)如图，与的平分线交于点，的延长线与交于点，是上一点，且，求证：PFGH．
(3)如图，在（2）的条件下，连接，是上一点，使，作平分，求证：的大小是定值．
【题型7 平行线的判定与性质综合（规律问题）】
【例7】（2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习）如图，已知，若按图中规律继续划分下去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2022·山东·临沂第六中学七年级阶段练习）如图（1）（2）（3）中，都满足AB∥CD．
试求：（1）图（1）中∠A＋∠C的度数，并说明理由．
（2）图（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度数，并说明理由．
（3）图（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度数，并简要说明理由．
（4）按上述规律，∠A＋……＋∠C（共有n个角相加）的和为
【变式7-3】（2022·浙江·七年级阶段练习）阅读并探究下列问题.
（1）如图①，将长方形纸片剪两刀，其中，则∠2与∠1、∠3有何关系？请进行证明.
（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为 .
（3）如图③，将长方形纸片剪2016刀，其中，则共剪出 个角.
若将剪出的角（∠A、∠C除外）分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示，则被剪出的这些角的关系为 .
（4）如图④，直线，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°由上述结论求∠GHM的度数.
【题型8 平行线的性质（折叠问题）】
【例8】（2022·江西赣州·七年级期末）综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
【变式8-1】（2022·河南周口·七年级期中）如图，已知四边形纸片，，点在边上，把纸片按图中所示的方式折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
（1）试判定与的位置关系，并说明理由；
（2）如果，求的度数．
【变式8-2】（2022·河北保定·七年级期末）学习了平行线以后，小明想出了用纸折平行线的方法，他将一张如图1所示的纸片，其中，先按如图2所示的方法折叠，折痕为； （与相交于点）然后按如图3的方法折叠，折痕为（与落在一条直线上）．
（1）在图2的折叠过程中，若，求的度数
（2）如图3，小明认为在折叠过程中，产生的折痕与平行，请把小明的思考步骤补充完整．
由折叠可知，
；
；
∵
∴；（ ① ）
∴ ② ＝ ③ （等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行）
【变式8-3】（2022·广东佛山·七年级期末）某公司技术人员用“沿直线AB折叠检验塑胶带两条边缘线a、b是否互相平行”．
（1）如图1，测得∠1=∠2，可判定a∥b吗？请说明理由；
（2）如图2，测得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b吗？请说明理由；
（3）如图3，若要使a∥b，则∠1与∠2应该满足什么关系式？请说明理由．
【题型9 平行线的应用（转角问题）】
【例9】（2022·黑龙江·大庆市第五十一中学七年级期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向相反的方向上平行行驶，则这两次拐弯的角度应为（ ）
A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°
B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°
C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°
D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°
【变式9-1】（2022·河北唐山·七年级期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【变式9-2】（2022·广西防城港·七年级期末）如图，防城港市的一条公路修到海边时，需要拐弯绕海而过，如果第一次拐角是，第二次拐的角是，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，则度数为______．
【变式9-3】（2022·广东·广州市第十六中学七年级期中）如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角__________时，道路才能恰好与平行．
【题型10 平行线的判定与性质综合（旋转）】
【例10】（2022·上海市市西初级中学七年级期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：______；
（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【变式10-1】（2022·全国·九年级单元测试）（1）如图1，将一副直角三角板按照如图方式放置，其中点C、D、A、F在同一条直线上，两条直角边所在的直线分别为、，，．与相交于点O，则的度数是__________；
（2）将图1中的三角板和三角板分别绕点B、F按各自的方向旋转至如图2所示位置，其中平分，求的度数；
（3）将如图1位置的三角板绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，在此过程中，经过_________秒边与边互相平行．
【变式10-2】（2022·河北·唐山市第十二中学七年级期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究数学问题：一副三角尺分别有一个角为直角，其余角度如图1所示，AB=DE，经研究
发现
（1）如图2，当AB与DE重合时，∠CDF= °；
（2）如图3，将图2中△ABC绕B点顺时针旋转一定度使得∠CEF=156°，则∠AED= °；
拓展
（3）如图4，继续旋转使得AC垂直DE于点G，此时AC与EF位置关系 ，此时∠AED= °；
探究
（4）如图5，图6继续旋转，使得AC∥DF图5中此时∠AED= °，图6中此时∠AED= °．
【变式10-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出的大小为_______；
（2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？
（3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD=120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系．
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