专题5.2 分式的运算-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

这是一份专题5.2 分式的运算-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版），共7页。
【知识点1 分式的加减】
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：；
②异分母分式的加法：。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式的加减】
【例1】化简：
（1）aa-b+bb-a； （2）x2-4x2-4x+4-4xx2-2x．
【变式1-1】当m＞﹣3时，比较m+2m+3与m+3m+4的大小．
【变式1-2】已知Ax-1-B2-x=2x-6(x-1)(x-2)，求A、B的值．
【变式1-3】若a＞0，M=aa+1，N=a+1a+2
（1）当a＝1时，M＝ ，N＝ ；当a＝3时，M＝ ，N＝ ；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【题型2 分式与整式的混合运算 】
【例2】计算x2x+2-x+2时，两位同学的解法如下：
（1）判断：两位同学的解题过程有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【变式2-1】计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）+x3-4x2x2．
【变式2-2】阅读下列材料，然后回答问题．
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：32=1+12，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：x+1x-2，x2x+2这样的分式是假分式；1x-2，xx2-1这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：x+1x-2=(x-2)+3x-2=1+3x-2，
x2x+2=(x+2)(x-2)+4x+2=x-2+4x+2．
解决下列问题：
（1）将分式x-2x+3化为整式与真分式的和的形式；
（2）如果分式x2+2xx+3的值为整数，求x的整数值．
【变式2-3】著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：x2-2x+3x-1=x(x-1)+x-2x+3x-1=x+-(x-1)+2x-1=x﹣1+2x-1，这样，分式就拆分成一个分式2x-1与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）假分式x+6x+4可化为带分式 形式；
（2）利用分离常数法，求分式2x2+5x2+1的取值范围；
（3）若分式5x2+9x-3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+1n-6，则m2+n2+mn的最小值为 ．
【知识点2 分式的混合运算】
1.乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
2.除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4.分式的混合运算：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。
【题型3 分式的混合运算】
【例3】计算：
（1）b-ab÷(a-bab)2+（ab﹣b2）•(aa-b)2； （2）（3x-1-x﹣1）÷x-2x2-2x+1．
【变式3-1】化简：（3x-1-x﹣1）÷x2-4x+4x-1．
【变式3-2】计算(ab2+ab-2a+b+ba2+ab)÷a-bab．
【变式3-3】复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用手遮住了原题目的一部分，如图：
（﹣a+1）÷a2+4a+4a+1=-a-2a+2
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于3吗？请说明理由．
【题型4 分式的规律问题】
【例4】观察下列不等式：
①122＜11×2；
②132＜12×3；
③142＜13×4；
④152＜14×5；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个不等式： ；
（2）写出你猜想的第n个不等式： （用含n的等式表示）；
（3）比较n+2(n+1)2和1n的大小．
【变式4-1】已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2=11-S1，S3=11-S2，S4=11-S3，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ ．
【变式4-2】如果记f（x）=x21+x2，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）=121+12=12，f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=(12)21+(12)2=15．
（1）f（6）＝ ；f（14）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n+1）+f（1n+1）＝ ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【变式4-3】观察下列各式：
第一式：11×2=1-12；
第二式：12×3=12-13；
第三式：13×4=13-14；
…
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式 :
（2）求和：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2015)(x+2016)；
（3）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求ba(a+1)+b(a+1)(a+2)+⋯+b(a+9)(a+10)的值．
【知识点3 整数指数幂的运算】
1.整数负指数幂：。
2.若，且a≠0，则m=n；反之，若a≠0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。
【题型5 整数指数幂的运算】
【例5】1(-0.3)-1÷|52-（﹣1+154）|+|﹣5|×（-225÷[﹣（2）3]）×（-14）．
【变式5-1】已知a＝﹣3﹣2，b＝（-13）﹣2，c＝（-13）0，比较a、b、c的大小，并用“＜”号连接起来： ．
【变式5-2】a﹣p=1ap（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2=142．
（1）计算：5﹣2＝ ；（﹣2）﹣2＝ ；
（2）如果2﹣p=18，那么p＝ ；如果a﹣2=116，那么a＝ ；
（3）如果a﹣p=136，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值．
【变式5-3】（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．
（2）请探索使得等式（2x+3）x+2020＝1成立的x的值．
【题型6 分式的化简与求值】
【例6】先化简，再求值：a+4a2-4÷(4a+2-a-2)，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
【变式6-1】设有理数a，b，c都不为零，且a+b+c＝0，则1a2+b2-c2+1b2+c2-a2+1c2+a2-b2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．不能确定
【变式6-2】先化简，再求值：（x2-1x2-2x+1-11-x ）÷（x+2-x2-2x-1），其中x是不等式组4(2x-1)≤3x+62x+1＞x-12的整数解．
【变式6-3】求值：
（1）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝4．求xy的值； （2）已知x+1x=3，求x4+1x4的值． 解法一：x2x+2-x+2
=x2x+2-x+21=x2x+2-(x+2)2x+2
解法二：x2x+2-x+2
=1x+2[x2-(x-2)(x+2)]