河北省承德市兴隆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河北省承德市兴隆县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不能确定D．不变
2．已知，则下面结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．在比例尺为的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约，它的实际长度约为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，，则的长是（ ）
A．3B．4C．6D．10
6．如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（ ）

A．B．C．D．
7．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．B．C．D．0
8．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A． B． C． D．
9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车月份的售价为万元，月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，可列方程正确在是（ ）​
A．B．
C．D．
10．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）

A．B．C．D．
11．如图，反比例函数的图像上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为（）

A．1B．2C．4D．8
12．如图，在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是（ ）

A．点在内B．点在上
C．直线与相切D．直线与相离
13．如图，小明为了测量树的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度是1.6米，则树的高度为（ ）

A． B． C． D．
14．已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
15．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，，，分别连接、，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
17．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，则抛物线的对称轴为 ．
18．如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为 .
19．如图，以为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，于F．
（1）的长度为 ；
（2）当点E在圆G的运动过程中，线段的长度的最小值为 ．
三、解答题
20．已知y是的正比例函数，并且当时，．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)求时x的值．
21．已知二次函数．

(1)二次函数图象与轴的交点坐标是 ，轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
(2)在平面直角坐标系 中，画出二次函数的图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围 ．
22．唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子直径.

23．如图，一次函数与反比例函数交于点，．

(1)求k、m，n的值；
(2)直接写出中x的取值；
(3)直接写出方程的解．
24．如图，.
(1)猜想：的值（ ）
A．大于1 B．大于小于1 C．大于小于 D．大于小于
(2)你能用你学过的特殊角的正切值，求得的准确值吗？（结果保留根号）
25．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到）
26．如图，四边形中，，对角线，，，点为折线上的点．
(1)求的长；
(2)若点在的平分线上，求的长；
(3)若，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解．
【详解】解：∵，
∴的对边与斜边的比，
∵的三边都扩大5倍，
∴的对边与斜边的比不变，
∴的值不变．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查比例性质，先把等积式化为比例式一一与各选项相比较即可得．掌握等式的变形性质，化等积式为比例式是解题关键．
【详解】解：A．∵，得，故选项A不成立；
B．∵，得，故选项B不成立；
C．∵，得，故选项C成立；
D．由可知x、y可以为，故选项D不一定成立．
故选：C．
3．C
【分析】根据的图象和性质即可得到答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：7÷=140000（cm），
140000cm=1.4km．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
5．A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A
6．B
【分析】本题考查圆周角定理，由题意得，再由圆周角定理求得的度数即可．掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意求得判别式，然后求解即可．熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：原方程可化为，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
∴k的值可以是0．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、由图形可知，只有，不能判断，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；首先根据月份售价为万元，月平均降价率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
10．D
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】由图知，底面直径为8，母线长为10，
则底面周长为，，
所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，．
故选：D．
11．A
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键．
设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
∵轴，
∴．
故选：A．
12．C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理；过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】解：过点作于，如图，

，
，
在中，，
，
点在外，所以选项不符合题意；
，
点在外，所以选项不符合题意；
，半径，
直线与相切，所以选项符合题意，D选项符不合题意．
故选：C．
13．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质定理，根据相似三角形的判定定理证明，再利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
由光的反射原理可得：，
∴，
∴，
∵，，，
即，
∴（米）．
故选：B．
14．C
【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵是的内心，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点又是的外心，
∴，
故选：．
15．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴方程可判断a、b同号，判断①错误；代入结合图象可判断②错误；由对称轴方程可判断③正确；代入结合函数的图象判断④正确．
【详解】解：①，a、b同号，故，原结论错误；
②当时，由图象可知，即，原结论错误；
③由对称轴可知，
∴，原结论正确；
④当时，由图象可知，即，整理得，原结论正确．
所以，正确的结论有2个，
故选：B．
16．C
【分析】本题考查了求扇形面积；根据题意得出，进而根据阴影部分面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，即可求解．
【详解】由图可知，将顺时针旋转后可与重合，
∴；
因此．
故选C．
17．
【分析】本题考查的是二次函数的性质．抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标和的平均数，据此求解即可．
【详解】解：因为，两点的纵坐标相同，都是n，
所以抛物线的对称轴为，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，由正五边形的性质，可得，再根据扇形的面积公式求解即可，解题关键是掌握扇形面积公式．
【详解】解：正五边形内接于半径为3的，
，
，
故答案为：．
19．
【分析】（1）连接，作，连接，由垂径定理得到，由为圆心，半径为4，得到，在中，，，，，则，，即可得到，则，由弧长公式得到的长度为；
（2）由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：（1）连接，作，连接，
∵，
∴，
∵为圆心，半径为4，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为，
（2）∵，
∴，
∵，
∴点F在以为直径的圆M上移动，
当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故答案为；．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、度角的直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，求自变量的值：
（1）设，再根据当时，进行求解即可
（2）把代入（1）所求中进行求解即可．
【详解】（1）解：设，
把时，代入得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为
（2）解：当时，，
解得．
21．(1)，；；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象；
（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，
令，解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是；
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
故答案为：，；；．
（2）解：列表：
描点，连线，如图：
；
（3）解：由图象可知，当时，．
故答案为：．
22．该桨轮船的轮子直径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．
【详解】解：依题意，得，，
如图，连接，设轮子的直径为，则其半径为，

则在中，
,
解得，
故答案为该桨轮船的轮子直径为．
23．(1)，，
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）分别把A、B坐标代入一次函数解析式求出m、n的值，进而得到点B的坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）结合函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）可把原方程变形为，则方程的解即为一次函数与反比例函数交点的横坐标，据此可得答案．
【详解】（1）解：把代入中得：；
把代入中得：，解得，
∴，
把代入中得：；
（2）解：由函数图象可当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴中x的取值范围为或；
（3）解：∵，
∴，即，
∴方程的解即为一次函数与反比例函数交点的横坐标，
∴或．
24．(1)D
(2)
【分析】本题主要考查了正切的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）取格点，求出，，结合即可得出答案；
（2）构造等腰直角三角形、，将平移，使其过点，交于点，则，从而得出是等腰直角三角形，求出，设，则，，，由勾股定理可得，求出的值，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：如图：取格点，
，
由图可得：，，
，
，
故选：D；
（2）解：如图，
，
由图可得：，，
是等腰直角三角形，
，
取格点，则，，
，
，即，
将平移，使其过点，交于点，则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，则，，，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
，
．
25．(1)坐标系见解析，
(2)米
(3)要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解；
（2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可；
（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．
【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：
则，，
抛物线的顶点坐标为，，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
解得：，
，
∴水面上升2米后的水面宽度为米，
（3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，

∵货船的高为米，宽为米，
∴米，，
设米，则米，
∴点的坐标为，
将代入，得：
解得，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米．
26．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由勾股定理可得，证明，可得，代入数值进行计算即可得出答案；
（2）设，则，过点作，由角平分线的性质定理可得，证明得出，代入数值进行计算即可得出答案；
（3）分两种情况：当点在边上；当点在边上，过点作于，作交的延长线于点；分别根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，设，则，过点作，
∵为的平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：分两种情况：
当点在边上，如图，
，
则，则，
当点在边上，如图，过点作于，作交的延长线于点，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∴，
综上所述。或．