专题01 质数那些事_答案

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例2 C
例3 3符合要求 提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．
例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．
（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．
（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．
例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为=7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整数：
=L，
=L，
…
=L，
其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾．
A级
1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B
8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质数又是偶数，则p=2．
9．设十个连续合数为k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，…，11的倍数即可．
10．选甲．提示：相邻的两个自然数总是互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数．
11．设这块地面积为S，则S==（n＋124）．
∴=124 ∵x＞y （x，y）=1
∴（，）=1 （，）=1 得｜124
∵124=×31，=（x＋y）（x－y）
∴，或
∴，或（舍）
此时n==900．
∴S==900×=230400cm=23．04m。
B级
1．19或25
2． 提示：q=mn，则m、n只能一个为1，另一个为q．
3．133 23 4．2001
5．B 提示：唯有a=2，b=2089－=2089－2048=41是质数，符合题意．
6．A 提示：当a=3时，符合题意；当a≠3时，被3处余1，设=3n＋1，则7＋8=21n＋15，8＋7=24n＋15，它们都不是质数，与条件矛盾．故a=3．
7．－a，－b，－c，－d都是偶数，即M=－（a＋b＋c＋d）是偶数．因为=，所以=2（）是偶数，从而有a＋b＋c＋d=－M=2（）－M，它 一定是偶数，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是个合数．
8．取六个数ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1 (i＝1，2，…，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一个因子，但从a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质．
9．由pq＋11＞11且pq＋11是质数知，pq＋11必为正奇数，从而p＝2或q＝2．
(1)若p＝2，此时7p＋q及2q＋11均为质数．设q＝3k＋1，则q＋14＝3(k＋5)不是质数；设q＝3k＋2，则2q＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此q应为3k型的质数，当然只能是q＝3．
(2)若q＝2，此时7p＋q与2p＋11均为质数，设p＝3k＋1，则7p＋2＝3(7k＋3)不是质数；设p＝3k＋2，则2p＋11＝3(2k＋5)不是质数，因此，p应为3k型的质数，p＝3． 综合(1)，(2)知p＝3，q＝2 或p＝2，q＝3，所以pq十qp ＝17．
10．(1)能办到 提示：注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，…，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求．
(2)不能办到 提示：若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶．但现有20个偶数，21个奇数，总共是41个号码，由此引出矛盾，故不能办到，