第四章 三角形（单元巩固与复习）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版）

这是一份第四章 三角形（单元巩固与复习）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品导与练（北师大版），文件包含第四章三角形巩固与复习原卷版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx、第四章三角形巩固与复习教师版-七年级数学同步精品讲义北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
第四章 三角形复习与巩固1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．毛2. 理解并会应用三角形三边间的关系及三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．3. 能识别图形的全等和全等图形，理解全等图形的特征及识别方法. 4．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”“HL”定理.5．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.6. 理解角的有关概念：会用尺规按要求作三角形：已知两边及夹角作三角形,已知两角及夹边作三角形，已知三边作三角形.7. 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系.知识点01. 三角形的分类及三边关系（1）锐角三角形（三个角都是锐角）（2）直角三角形（有一个角是直角）（3）钝角三角形（有一个角是钝角）定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．知识点02.三角形的三线（1）在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．（三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分）（2）在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．（3）从三角形的一个顶点向它的对面所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用。知识点03. 全等三角形的性质能够完全重合的两个多边形称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．知识点04. 全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）.特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角角边”或“AAS”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．知识点05. 全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点06. 利用尺规作三角形在学习之前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；有三种基本类型:(1)已知三角形的两边及其夹角,求作符合要求的三角形,其作图依据是SAS;(2)已知三角形的两角及其夹边,求作符合要求的三角形,其作图依据是ASA;(3)已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是SSS.知识点07. 利用三角形全等测距离1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形.总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”．知识点01 三角形的分类及三边关系典例：1. 若一个三角形两个外角之和为，那么这个三角形是（ ）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】根据三角形的外角和为，两个外角之和为，则第三个外角的度数为，则其相邻内角也是，从而判定形状．【详解】因为三角形的外角和为，两个外角之和为，所以第三个外角的度数为，所以其相邻内角也是，所以三角形是直角三角形，故选A．【点拨】本题考查了三角形的外角和，三角形的形状判定，熟练掌握三角形外角和，准确判定三角形的形状是解题的关键．典例：2.已知a，b，c是三角形的三条边，化简：|a﹣b﹣c|+|﹣a+b﹣c|+|a﹣c+b|．【答案】a+b+c【分析】直接利用三角形三边关系得出a﹣b﹣c＜0，﹣a+b﹣c＜0，a﹣c+b＞0，再利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵a，b，c是三角形的三条边，∴a﹣b﹣c＜0，﹣a+b﹣c＜0，a﹣c+b＞0，∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（﹣a+b﹣c）+a﹣c+b＝﹣a+b+c+a﹣b+c+a﹣c+b＝a+b+c．【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确化简绝对值是解题关键．巩固练习1．某校数学学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形的三边关系，确定出第三根木棒长度的取值范围，即可确定三角形的周长的范围，结合选项即可得出答案．【详解】解：设第三根木棒长，∵两根木棒的长分别为、，∴，即，∵该三角形的周长∴，故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．知识点02 三角形的三线典例：1.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（    ）A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是【答案】B【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，∴他所作的线段应该是的中线，故选：B．【点拨】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．巩固练习1．下列说法中正确的是（     ）A．三角形的垂心不一定只有一个B．三角形的外心一定在三角形的内部C．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D．三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等【答案】D【分析】根据三角形的垂心、外心、内心、重心的意义及重心的性质判断即可．【详解】A．三角形的垂心是指三角形的三边上的高所在直线的交点，则垂心是唯一的，故此说法错误；B．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，此交点可在三角形的外部、内部，也可以在三角形的边上，故此说法错误；C．三角形的内心是三角形三内角平分线的交点，则此点到三角形三边的距离相等，故此说法错误；D．根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离等于重心到对边中点距离的2倍，由此可知重心与两个顶点所构成的三角形的面积是：，其中S表示原三角形的面积，故此结论正确；故选：D【点睛】本题考查三角形的垂心、外心、内心及重心的意义，重心的性质，掌握这些知识是解题的关键．知识点03 全等三角形的性质典例：1. 下列说法：①等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形全等；④三角形的角平分线是射线．其中正确的说法为（   ）A．①② B．①②③ C．② D．①②④【答案】C【分析】根据全等三角形的、对称轴和角平分线的概念判断即可．【详解】①对称轴是直线，等腰三角形顶角的平分线是线段，原说法不正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，原说法正确；③面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；④三角形的角平分线是的线段，原说法不正确；故选C．【点拨】本题考查了对称轴，全等三角形，三角形的角平分线的概念，熟练掌握概念是解题的关键．典例：2.已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ）A．与是对应边 B．与是对应边C．与是对应边 D．不能确定 的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．【详解】解：与是对应角，和是对应角，和是对应角，与是对应边，故选A．【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．巩固练习1.下列说法正确的是（  ）A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形【答案】D【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可．【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键．2．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠B＝__________．【答案】【分析】根据全等图形的性质，，再根据四边形的内角和为360º得到．【详解】解：根据题意得：所以,故答案为：【点拨】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的有关知识是解题的关键．知识点04 全等三角形的判定典例：1. 2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．【详解】∵E，F分别是，的中点，∴在与中∴故选：D【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．巩固练习1.如图，点E，C，F，B在一条直线上，，，当添加条件______时，可由“边角边”判定．【答案】（答案不唯一）【分析】用“边角边”证明两个三角形全等，已知条件给出两组边相等，因此只需要添加一组对应角相等即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴用“边角边”证明，∴需要添加条件是：．故答案为：（答案不唯一） 【点拨】本题考查的是三角形全等的判定，理解“边角边”定理是解题的关键．知识点05 全等三角形的判定与性质典例：1. 如图，在中，已知，，，，则______．【答案】3【分析】由已知条件易证，再根据全等三角形的性质得出结论．【详解】在和中，，∴，∴，，∴，故答案为：3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．巩固练习1．如图，四边形的对角线与相交于点，，求证：．【答案】见解析【分析】先根据定理证明，由全等三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．知识点06 全等三角形的判定与性质典例：1.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先连接、，从作图可知，，即可判定，然后根据全等三角形对应角相等的性质，即可得出．【详解】解：，理由是：连接、，从作图可知，，∵在和中。，∴，∴（全等三角形的对应角相等），故选B．【点拨】本题主要考查对尺规作图法作一个角等于已知角的理解，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．巩固练习1．已知：．求作：，使．作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，则．这种作一个角等于已知角的方法的依据是（　　）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】根据SSS定理证明即可．【详解】解：证明：由作图可知，在△和中，，（SSS），．故选：B．【点拨】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．知识点07 全等三角形的判定与性质典例：1.如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（　　）A．1 B．7 C．1或2 D．1或7【答案】D【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【详解】解：因为，若，，根据证得，由题意得：，所以，因为，若，，根据证得，由题意得：，解得．所以，当的值为1或7秒时．和全等．故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，．巩固练习1．庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积，其中水域面积，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若，则只需测出其长度的线段是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段的长度即可，故选B．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．能力提升一、选择题1．给出下列命题： ①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.正确的命题有(      )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】∵三条线段组成的封闭图形叫三角形，∴①不正确；∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，∴②正确；∵三角形的角平分线是线段，∴③不正确；∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，∴④不正确．∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，∴⑤正确；∵三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心，∴⑥正确；综上，可得正确的命题有3个：②、⑤，⑥．故选C．【点拨】主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(   )A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．【详解】A．锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A项错误；B．钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故B项错误；C．直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故C项正确；D．能确定C正确，故D项错误．故选：C．【点拨】本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是解题的关键．3．如图所示,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件,使△APB≌△CPD(不能添加辅助线),增加的条件不能是(　)A．BP=DP B．AB=CD C．AB∥CD D．∠A=∠D【答案】D【分析】判定直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，根据以上定理逐个判断即可．【详解】解：A、根据SAS能推出△APB≌△CPD，故本选项错误；B、根据HL能推出△APB≌△CPD，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∴根据ASA能推出△APB≌△CPD，故本选项错误；D、根据∠APB=∠DPC=90°，AP=CP和∠A=∠D不能能推出△APB≌△CPD，故本选项符合题意；故选D．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形除了具有以上定理外，还有HL定理．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是(    )A．5cm  2cm  3cm B．5cm  2cm  2cm C．5cm  2cm  4cm D．5cm  12cm  6cm【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A、3＋2＝5，不能组成三角形，不符合题意；B、2＋2＝4＜5，不能组成三角形，不符合题意；C、4＋2＝6＞5，能够组成三角形，符合题意；D、5＋6＝11＜12，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ACD的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图形可知，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：在△ABC和△ACD中∵，，∴当时，满足，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当时，满足，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当时，满足，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当时，满足，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即，，，和．6．如图，AB∥DE，CD=BF，若要证明△ABC≌△EDF，还需补充的条件是（　　）A．AC=EF B．AB=ED C．∠B=∠E D．不用补充【答案】B【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠D，求出BC=DF，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：∵AB∥DE，∴∠B=∠D，∵BF=DC，∴BC=DF，A、若AC=EF，是边边角，不能证明△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；B、若AB=ED，是边角边，能证明△ABC≌△EDF，故本选项符合题意；C、若∠B=∠E，不能证明△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；D、∠B=∠D，BC=DF，不能证明△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；故选：B【点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定定理的应用，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．7．一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）A．3 cm B．4 cm C．7 cm D．11 cm【答案】C【详解】设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：7-3＜x＜7+3，解得：4＜x＜10，故答案为C．【点拨】本题主要考查了三角形三边的关系。8．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是(       )A．6 B．3 C．2 D．11【答案】A【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【详解】设第三条边长为x，根据三角形三边关系得：7-3＜x＜7+3，即4＜x＜10结合各选项数值可知，第三边长可能是6故选A．【点拨】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题．9．将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，据此分别判断出每个选项中∠1+∠2的度数和是不是180°，即可判断出它们是否一定互补．解：如图1，∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°，∴∠1、∠2互补．如图2，∠2=∠3，∵∠1+∠3=180°，∴∠1+∠2=180°，∴∠1、∠2互补．如图3，∵∠2=60°，∠1=30°+90°=120°，∴∠1+∠2=180°，∴∠1、∠2互补．如图4，∵∠1=90°，∠2=60°，∴∠1+∠2=90°+60°=150°，∴∠1、∠2不互补．故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形余角和补角的概念．10．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【详解】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，不符合题意；D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件，符合题意．故选：D．【点拨】本题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．二、填空题11．人字架、起重机的底座，输电线路支架等，在日常生活中，很多物体都采用三角形结构，这是利用了三角形的__________．【答案】稳定性【分析】三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性．【详解】人字架、起重机的底座，输电线路支架等，在日常生活中，很多物体都采用三角形结构，这是利用了三角形的稳定性．故答案为稳定性．【点拨】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．12．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_________度．【答案】74【分析】首先根据三角形角平分线的定义求出∠BCE，然后在Rt△CBD中求出∠BCD，从而得到∠DCF，最终在Rt△CDF中求解即可得出结论．【详解】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°-40°-72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，∵CD⊥AB于D，∴∠BCD＋∠B=90°，∴∠BCD=90°-∠B=90°-72°=18°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠DCF＋∠CDF=90°，∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-16°=74°，故答案为：74．【点拨】本题考查三角形中角平分线相关的角度计算，掌握三角形中角平分线的定义以及直角三角形两锐角互余是解题关键．13．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有________（填序号）．  【答案】①②④【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，根据AD=AE=EC可求得④正确【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中， ,∴△ABD≌△EBC（SAS），∴①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，∴EF≠EC，∴③错误；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是BD上的点，∴EF=EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中， ,∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG=BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，,∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），∴AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，∴④正确．故答案为①②④．【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．14．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，OF⊥BC，且AB＝6，BC＝5，AC＝4，OF＝1.4，则四边形ADOE的面积是________．【答案】3.5【分析】根据三角形中线的性质可得S△BCD=S△ACE=S△ABC，即可得S四边形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD， 所以S四边形ADOE=S△BOC，由此即可求得四边形ADOE的面积.【详解】∵BD、CE均是△ABC的中线， ∴S△BCD=S△ACE=S△ABC，∴S四边形ADOE+S△COD=S△BOC+S△COD，∴S四边形ADOE=S△BOC==5×1.4÷2=3.5．故答案为3.5．【点拨】本题考查了三角形的中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键．15．如图5—13，在△ABC中，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、C、F、E，则_______是△ABC中BC边上的高，_________是△ABC中AB边上的高，_________是 △ABC中AC边上的高，CF是△ABC的高，也是△_______、△_______、△_______、△_________的高．【答案】     AD     CF     BE     BFC     FGC     FAC     GAC【详解】试题解析：AD是△ABC中BC边上的高，是△ABC中AB边上的高，BE是△ABC中AC边上的高，CF是△ABC的高，也是△BFC、△FGC、△FAC、△GAC的高.故答案是：AD、CF、BE、BFC、FGC、FAC、GAC.【点拨】本题考查了三角形的高的性质，熟知三角形的高及三角形面积的求法是解决问题的关键．三、解答题16．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．【答案】证明过程见详解【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F． ∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E为BC的中点，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【点拨】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．17．如图，求的度数.【答案】.【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解：连结，BC与DE相交成对顶三角形，，【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键18．如图，P是等腰三角形ABC底边 BC上的任一点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于F，BH是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？【答案】PE+PF=BH，理由见解析．【分析】连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S△ABC=S△ABP+S△ACP=×AC×（PE+PF），同时可表示出S△ABC=AC×BH，从而可得到PE+PF=BH．【详解】解：PE+PF=BH．理由如下：连接AP．∵AB=AC，∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB×PE+AC×PF=AC×（PE+PF），∵S△ABC=AC×BH，∴PE+PF=BH．【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求关系的三条线段联系在一起．19．如图，，，点在边上，，和相交于点．求证：．【答案】见解析【分析】先证明，再根据AAS即可求证．【详解】证明：∵，即，∵，∴，在和中，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，证明是解答本题的关键．20．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【答案】见解析【分析】根据角的平分线的定义得出∠BAD＝∠CAD，再利用SAS即可证明△ABD≌△ACD．【详解】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的定义，熟练掌握判定定理是解题的关键．21．阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接BH、DE，∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．22．如图，求的度数.【答案】.【分析】连接CD，将转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案.【详解】解：如图所示，连接CD.由对顶三角形得，，∴.【点拨】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.23．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得；（2）由（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则由全等三角形的判定定理证得，则对应边；（3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论．【详解】解：（1），理由如下：如图1，在与中，，；（2）如图2，由（1）知，，则．在与中，，，；（3）如图3，．理由同（2），，则．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．