北师大版七年级下册5 利用三角形全等测距离精品同步测试题

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1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系.
2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达，提高分析解决问题的能力.
知识点01. 利用三角形全等测距离
1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造
全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．
2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：
构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；
构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；
构造三边对应相等的两个全等三角形.
总结：利用三角形全等来设计测量方案：首先根据已有的条件和欲测量的问题进行分析，明确要运用哪种方法来构建全等三角形，即将要用到哪种全等的判定方法；然后，在测量方案中把说明两个三角形全等所需要的条件毫无遗漏地“测量到位”．
知识点01 利用三角形全等测距离
典例：1. 如图，一个“U”字形框架，于点B，于点C，，点M在线段上，点E，F分别在射线，上，若，要使与全等，则线段的长度为（ ）
A．B．18或C．D．6或
【答案】B
【分析】设，，分，两种情况，得出对应边相等，根据列出方程，分别求解即可．
【详解】解：设，，
若，
∴，，
∴，
解得：，即；
若，
∴，，
∴，
解得：，即；
∴的长度为18或，
故选B．
【点拨】本题考查全等三角形的性质及分类讨论思想，正确分类才不会漏解．
典例：2.如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（ ）
A．1B．7C．1或2D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
【详解】解：因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
所以，
因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
解得．
所以，当的值为1或7秒时．和全等．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，．
巩固练习
1．庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积，其中水域面积，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段的长度即可，
故选B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
2．如图，，点B、C、D在同一直线上，且，，则长为____________．
【答案】5
【分析】由可得出，，再根据求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 可证明．
【答案】
【分析】利用三角形全等的定理证明，根据全等三角形的性质可得．
【详解】解∶在和中，
，
∴，
∴，
故答案为∶ ．
【点拨】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定理是解题的关键．
4．如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走有一树C，继续前行到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得的长为6米．
根据他们的做法，回答下列问题：
(1)河的宽度是多少米？
(2)请你证明他们做法的正确性．
【答案】(1)6米
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得；
（2）利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】（1）由数学兴趣小组的做法可知，，
故河宽为6米
（2）由题意知，米
又∵光沿直线传播
∴
又∵在和中
∴
∴．
即他们的做法是正确的．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
能力提升
一、选择题
1．如图，中，，点、在上，，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差得出，进而根据即可求解．
【详解】解：，
，
，
即，
，，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2．如图，，A是C的对应点，那么下列结论中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
即选项A、B、D都正确，
根据不能推出，应是或，即选项C错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
3．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（ ）
A．1B．7C．1或2D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
【详解】解：因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
所以，
因为，若，，
根据证得，
由题意得：，
解得．
所以，当的值为1或7秒时．和全等．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，．
4．如图，，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．平分
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，，，再逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
不能推出，故C选项错误；
，，
，
即平分，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质定理，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键．
5．庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积，其中水域面积，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若，则只需测出其长度的线段是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段的长度即可，
故选B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
6．如图，如果，周长是，，．则为（ ）
A．9cmB．10cmC．13cmD．无法确定
【答案】A
【分析】利用全等三角形的性质得出对应边的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边相等是解题关键．
7．如图，已知，，，，，则的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质可得到边相等，再根据线段和差关系求出线段的长．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
故选：
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，运用全等三角形的性质得到线段相等是解题的关键．
8．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形中保留的两个角和它们的公共边即可判断依据．
【详解】解：因为图形中保留了两个角和它们的公共边，
∴可以依据“角边角”画一个与书上完全一样的三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定的应用，解题关键是理解题意并牢记全等三角形的判定方法．
9．如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，点P从点B出发沿方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿方向运动，每秒走3米，点P、Q同时从点B出发，则出发秒后，在射线上有一点C，使与全等，则的值为（ ）
A．10B．20C．8或10D．10或20
【答案】D
【分析】分和两种情况计算即可．
【详解】如图，当时，
，
因为米，米，米，
所以米，
故，
解得；
如图，当时，
，
因为米，米，米，
所以米，
故，
解得；
故选D．
【点拨】本题考查了三角形全等的分类计算，正确进行分类是解题的关键．
10．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，，若，，则的面积为（ ）
A．24B．18C．12D．8
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键．
二、填空题
11．一个三角形的三条边长分别为，另一个三角形的三条边长分别为，若这两个三角形全等，则_______．
【答案】1
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
12．如图，已知，点在上，与交于点．若，，则______．
【答案】
【分析】根据可求出，由题意可知，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查的全等三角形中对应角的关系，理解全等三角形中对应角相等，找出角与角的和差关系是解题的关键．
13．如图，在长方形中，．点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为__或__时，全等．
【答案】 2##
【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当，时；②当，时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，
①当，时，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
解得：，
解得：；
综上所述，当或时，，
故答案为：2或．
【点拨】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．
14．如图所示，，则______．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，再由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15．如图，若，且，，则___________°．
【答案】50
【分析】根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：50．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
16．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，请猜想图中线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，在小径上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离．
【答案】（1），证明见解析；（2）米
【分析】（1）延长到点G，使，连接，利用证明，推出，再证明，据此即可得到；
（2）延长至H，使，连接，利用证明，推出，再证明，据此计算即可求解．
【详解】解：（1）猜想：，
证明：如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，延长至H，使，连接，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵米，米，
∴（米）．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
17．如图，点在上，且，，，试说明：点是的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解： 因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以_______________（理由：SSS）
所以 （理由：_________________）
因为 （理由：_________________）
所以
所以__________________（理由：全等三角形对应边相等）
所以点是中点．
【答案】，全等三角形对应角相等，对顶角相等，
【分析】由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以（理由：），
所以 （理由：全等三角形对应角相等），
因为 （理由：对顶角相等），
所以 ，
所以（理由：全等三角形对应边相等），
所以点是中点，
故答案为：，全等三角形对应角相等，对顶角相等，．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．如图，已知．请问吗？若全等，请给予证明；若不全等．请说明理由．
【答案】，利用见解析
【分析】由可得、、，再根据线段的和差可得，然后根据即可证得结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得到是解答本题的关键．
19．如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动．设运动时间为t（秒））．
(1)用t的代数式表示的长度；
(2)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？
【答案】(1)
(2)当点Q的运动速度a为时，能够使与全等
【分析】（1）先表示出，根据，可得出答案；
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度
【详解】（1）解：由题意得：，
∴；
（2）解：点、的运动速度不相等，
又，，
，，
点，点运动的时间秒，
厘米/秒．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的性质．
20．如图，点在同一直线上，点和分别在直线的两侧，且，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件，先证明，即可得出．
【详解】证明：，，，
，
，
，
在和中，
，
（），
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是根据已知条件，利用证明．
21．（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF=180°-0.5∠DAB．
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（2）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（3）在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，证明和，在通过角的和差即可得到结论．
【详解】解：（1）．理由：
如图1，延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵∠B+∠ADF=180°，
∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴成立
（3）．∠EAF=180°-0.5∠DAB
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴∠FAE=∠FAG，
∵，
∴，
∴，
即，
∴∠EAF=180°-0.5∠DAB．
故答案为：．∠EAF=180°-0.5∠DAB
【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．