2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高一（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县五中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足其中为虚数单位，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(    )

 A. ， B. ， C. ， D. ，4.  某学校在校学生有人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，，，且：：：：，全校参加登山的人数占总人数的为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行调查，则应从高二年级参加跑步的学生中抽取(    )A. 人 B. 人 C. 人 D. 人5.  为▱两条对角线的交点，，，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(    )A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则7.  已知在中，，，，则(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知某圆锥的内切球球与圆锥侧面、底面均相切的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  若，，，则关于事件与的关系正确的是A. 事件与互斥 B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立 D. 事件与不相互独立10.  在中，若：：：：，下列结论中正确的有(    )A. ：：：：
B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的倍
D. 若，则外接圆的半径为11.  如图，点位于以为直径的半圆上含端点，，是边长为的等边三角形，则的取值可能是(    )
A.  B.  C.  D. 12.  如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成不在平面内，若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是(    )

 A. 与不可能垂直
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 若，，，都在同一球面上，则该球的表面积是
D. 直线与所成角的取值范围为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  一组数据的平均值为，方差为，记的平均值为，方差为，则_________．14.  向量在向量方向上的投影向量的模为______ ．15.  已知非零向量，的夹角为，，，则 ______ ．16.  奋进新时代，扬帆新航程在南海海域的某次海上阅兵上，一大批国产先进舰船和军用飞机接受了党和人民的检阅歼舰载飞机从辽宁舰航空母舰上起飞，以千米小时的速度在同一水平高度向正东方向飞行，在阅兵舰“长沙号”导弹驱逐舰上第一次观察到歼舰载飞机在北偏西方向，分钟后第二次观察到歼舰载飞机在北偏东方向，仰角为，则歼飞机飞行高度为______ 千米结果保留根号．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限．
求复数；
复数，，所对应的向量为，，，已知，求的值．18.  本小题分
年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入单位：万元均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．

求，的值，并估计这位居民可支配收入的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．19.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点为边中点．
证明：平面；
证明：平面．
20.  本小题分
已知函数．
若，求的单调递增区间；
若，且，求的值．21.  本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是的中点，作，交于点．
设平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并给出证明；
求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的正切值．
22.  本小题分
如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，．
Ⅰ求中线的长度；
Ⅱ设点、分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，又，
，
故选：．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解答】
解：由图得样本容量为，
抽取的高中生人数为人，
则近视人数为人，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：可知全校参加跑步的人数为，
因为：：：：，，
所以，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，
故应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算，考查运算转化能力，属于基础题．
根据平行四边形法则以及平行四边形的性质化简即可求解．【解答】解：由已知可得
．
故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力．
对于，垂直于同一平面的两平面有可能相交或平行；对于，平行于同一直线的两平面有可能相交；对于，垂直于同一平面的两直线平行；对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面．【解答】解：对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故A错误；
对于，平行于同一直线的两平面相交或平行，故B错误；
对于，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故D错误．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．
本题考查向量的数量积，余弦定理求角的应用，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：设圆锥的内切球半径为，则，解得，
设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，
内切球切母线于，底面半径，，则，
又，故AB，
又，故，
故该圆锥的表面积为，令，
则，当且仅当，即时取等号．
故选：．
先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可．
本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：，与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
，得，，
，
，
事件与相互独立，故C正确，D错误．
故选：．
由，得与能同时发生，不是互斥事件；由，得，得事件与相互独立．
本题考查两事件的关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由：：：：，
不妨设，，，，
解得，，，
可得：：：：，
由正弦定理可得：：：：：：，故A正确；
因为，，
所以，
由，，可得，故C正确；
由上可知最大角为锐角，故B错误；
若，则，，
又，
可得，
所以的外接圆半径，故D正确．
故选：．
由：：：：，不妨设，，，解得，，，然后逐一求解四个选项得答案．
本题考查正、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数学运算能力，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，设，，
又，，，
故，，
则，
因为，所以，，
即可得．
故选：．
建立平面直角坐标系，利用坐标计算平面向量的数量积即可．
本题考查了利用坐标计算平面向量的数量积，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：对于选项：由，则，
当时，且，此时满足平面，因此，故A错误；
对于，取的中点，连接，，
则，且，
因为，
当平面平面时，三棱锥体积的最大值，
在中，，则，
此时，
所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；
对于，因为，
所以，，，都在同一球面上，且球的半径为，
所以该球的表面积是，故C正确；
对于，作，
因为为的中点，所有，，所以，
所以，所以，可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，
所以与夹角为，与夹角为，
又不在平面内，，，
所以与所成角的取值范围，所以D正确，
故选：．

对于选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则；
对于选项：取的中点，连接，，根据，则平面平面时，三棱锥体积的最大值，从而可判断；
对于，根据，可得，，，都在同一球面上，且球的半径为，从而可判断；
对于选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围．
本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度．
 13.【答案】 【解析】【分析】本题考查了平均数与方差的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的运算性质，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
利用平均数与方差的运算性质求出和的值，即可得到答案．【解答】解：因为一组数据，，，的平均值为，方差为，
则，，，，的平均值为，
方差为，所以．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：所求向量的模为．
故答案为：．
由投影公式直接计算即可．
本题考查投影的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，
，，
，
，
非零向量，的夹角为，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：如图，是阅兵舰，，是歼舰载飞机被观察的起始位置，，是飞机在地面上的射影，
由已知千米，，是正北方向，
因此，，，
，，
 由正弦定理，可得，
解得，
可得在直角三角形中，．
故答案为：．
作出图形，用点，表示歼舰载飞机，用点表示阅兵舰，然后由正弦定理求得，再在直角三角形中求得．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．
 17.【答案】解：设，则，
为纯虚数，则，
又复数在复平面内对应的点在第一象限，则，，
所以，所以复数．
由题意，可得，，，
则，；
由，得，
解得． 【解析】本题考查的是复数的运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
利用复数的模和纯虚数的定义求出，再进一步确定的值；
利用向量垂直的充要条件，求出的值．
 18.【答案】解：由频率分布直方图，可得，
则，
居民收入数据的第百分位数为，
，
则，
联立，解得，．
估计这位居民可支配收入的平均值为：
．
根据题意，设事件，，分别为甲，乙，丙在内，
则，
“抽取人中有人在内”，且互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
；
“抽取人中有人在内”，
根据概率的加法公式和事件独立性定义得：
，
抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率为：
． 【解析】根据频率分布直方图的矩形面积和为，结合第百分位数的性质求出，，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；
分抽取的人中有人和人去年可支配收入在内两种情况求解即可．
本题考查频率、平均数、概率、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 19.【答案】证明：在直三棱柱中，
因为，，
所以，
连接交于点，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
故BC平面；
由可知，和是正方形的对角线，
所以，
在直三棱柱中，则平面，
又平面，则，又，，，平面
所以平面，又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面． 【解析】本题考查线面平行与线面垂直的判定定理的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．
连接交于点，连接，利用中位线定理可得，由线面平行的判定定理证明即可；
利用线面垂直的性质定理和判定定理分别证明，平面，从而，又，即可证明．
 20.【答案】解：，
令，，则，，
因为，所以的单调递增区间为．
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以． 【解析】化简可得，再根据正弦函数的单调性，即可得解；
由的结果求得，再根据，并结合两角差的正弦公式，即可求解．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 21.【答案】证明：连结交交于，
是正方形，为的中点，
又是的中点，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面，．
解：平面，平面，
，
设正方形的边长为，
，
的中线，，，
同理，，，
，，
为正三角形，中线，且，
，，
，同理，
是二面角的一个平面角，
又在正三角形中，
，
则平面与平面所成的较小的面角的余弦值为．
解：同中，得，
又在正方形中，，，平面，平面，
平面，
同理平面
同理面
是直线与平面所成的角，
在和中得，
直线与平面所成角的正切值为． 【解析】根据线面平行的性质定理进行证明即可．
先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，
根据线面角的定义进行求解即可，
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，以及空间角的求解，根据二面角和线面角的定义是解决本题的关键，是中档题．
 22.【答案】解：Ⅰ由正弦定理及，知，
由余弦定理知，，
所以，化简得，即，
因为，所以，
设，
因为是的中点，所以，
所以，即，
所以，
在中，，
化简可得，
解得或，
由，知，所以，故，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，面积，
设，，
因为的面积为面积的一半，所以，即，
设，
由，，三点共线，不妨设，
由知，，解得，，
所以，
所以
，
因为，且，，所以，且，
所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为． 【解析】Ⅰ利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，推出，设，由，可得，再根据，化简可得关于的方程，解之，并代入的式子，运算即可；
Ⅱ设，，由，可得，根据平面向量的基本定理，推出，结合平面向量的混合运算法则化简可得，其中，得解．
本题考查平面向量与解三角形的综合，熟练掌握平面向量的运算法则，正余弦定理，三点共线的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．