【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题03任意角及其度量 （2大考点3种题型）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、任意角
考点二、角的度量
题型一．任意角的三角函数的定义
题型二．三角函数值的符号
题型三：角的度量
考点一、任意角
1. 正角、负角、零角：
正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；
负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的.
零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合.
【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角.
2. 象限角和轴线角：
（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.
（2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角.
3. 终边相同的角：
我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为
.
【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为；
②终边在轴负半轴上的角的集合为；
③终边在轴上的角的集合为；
④终边在轴上的角的集合为；
⑤终边在坐标轴上的角的集合为；
⑥第二象限角的集合为.
【注意】后缀表示射线，表示直线.
考点二、角的度量
1. 角度制
在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2. 弧度制
（1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即
，
这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】.
【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关.
【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似.
（2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系.
【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦.
（3）角度与弧度的换算：弧度
弧度，弧度
（4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系
（5）象限角的表示：
第一象限的角的集合：
第二象限的角的集合：
第三象限的角的集合：
第四象限的角的集合：
【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的.
（6）弧长公式和扇形面积公式
引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为
扇形的弧长，
扇形的面积.

题型一．任意角的三角函数的定义
【例1】．（2023春•浦东新区校级月考）下列命题中，正确的是
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，是角终边上一点，则
C．若，则、的终边相同
D．的解集为
【例2】．（2023春•浦东新区校级期中）“，”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【例3】．（2023春•青浦区校级月考）若角的终边上有一点，则实数的值为 ．
【例4】．（2023•上海模拟）已知为角终边上一点，则 ．
【例5】．（2023春•宝山区校级月考）已知终边过点，若，则 ．
【例6】．（2023春•徐汇区校级期中）角是第四象限角，其终边与单位圆的交点为，把角顺时针旋转得角，则角终边与单位圆的交点的坐标为 ．
题型二．三角函数值的符号
【例1】．（2023春•浦东新区期中）已知点在第四象限，则角的终边在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【例2】．（2023春•宝山区校级月考）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是
A．B．C．D．
【例3】．（2023春•青浦区校级期中）点是第______象限角终边上的点
A．一B．二C．三D．四
【例4】．（2023春•长宁区校级期中）若，，则是第 象限角．
A．一B．二C．三D．四
【例5】．（2023春•青浦区校级期中）为第三象限角，且，则在第 象限．
题型三：角的度量
【例1】．（2023下·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）半径为2，弧长为2的扇形的圆心角为 弧度.
【例2】．（2023下·上海长宁·高一统考期末）将弧度化为角度：弧度= °．
【例3】．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）把化为弧度 .
【例4】．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）150度＝ （填弧度）；
【例5】．（2023下·上海浦东新·高一校考期中）在单位圆中，圆心角为的弧长为 ．
【例6】．（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为 .
【例7】．（2023上·上海松江·高一校考期末）若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为 .
【例8】．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知一个扇形的圆心角大小为，弧长为，则其面积为 .
【例9】．（2023下·上海静安·高一统考期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 .
【例10】．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为 ．
【例11】．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ．
【例12】．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
【例13】．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，M为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．

一、填空题
1．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）与角终边重合的角的集合是 .
2．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴正半轴重合，其终边经过，则 .
3．（2023上·上海·高一上海市行知中学校考阶段练习）若，则是第 象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）
4．（2023下·上海·高一上海市七宝中学校考期中）已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为 .
5．（2023下·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知扇形的半径为10，圆心角为，则扇形的弧长为 ．
6．（2023下·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角
7．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）已知，若与的终边相同，且，则
8．（2023下·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）一个扇形的圆心角为弧度，扇形面积是1平方厘米，扇形半径是1厘米，则圆心角是 弧度.
9．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知角的终边经过点，其中，则角的余弦值为 .
10．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）若，则点必在第 象限．
11．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）将角的终边按顺时针方向旋转得角，写出所有终边与相同的角的集合 ．
12．（2023下·上海静安·高一校考期中）角的顶点在直角坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上一点，若，则 ．
二、单选题
13．（2023下·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（2020下·上海静安·高一统考期末）的值是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（2023下·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
17．（2021下·高一课时练习）已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合M中有几类终边不相同的角？
(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(3)求集合M中的第二象限角．
18．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知角的终边经过点，且，求及的值．
19．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知，求角的正弦和余弦值．
20．（2023下·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．
(1)若，，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
21．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中用阴影部分表示角，，，其中
22．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）根据下列条件求、的值．
(1)已知；
(2)已知．
角度
弧度