【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题06已知正弦、余弦或正切值求角（4种题型）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
题型一、已知正弦、余弦或正切值求角
题型二、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角
题型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围
题型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展
如果是锐角，且满足，那么. 如果不限定是锐角，那么由诱导公式可知，也满足. 再由诱导公式（）可知，或（）都满足. 那么，是否还有其他的角满足呢？下面我们就来研究这个问题.
为此目的，设是一个任意给定的角，我们希望确定所有满足的角. 设角的终边与以原点为圆心的单位远的交点为，过点作轴的垂线，如图（1）所示. 由正弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点必在此直线上.
当（）时，此直线交单位圆于两点和. 由于这两点分别位于角和角的终边上，因此满足的角的全体为或，，可简记为，.
当（）时，过点且垂直于轴的直线与单位圆相切于，此时满足角的全体为，，这个集合也可以用上面所示的形式来表示. 事实上，其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同，而对于上述集合第二部分所给的表达式，由于在（）时，
（），
此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致.
这样，我们就得到：
若，则或，，即，.
同理，如图（2），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由余弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过点且垂直于轴的直线上，从而满足的角的全体为，. 这样，我们就得到：
若，则，.
如图（3），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由正切的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过原点和点的直线上，从而满足的角的全体为，. 这样，我们就得到：
若，则，.
题型一、已知正弦、余弦或正切值求角
【例1】如果已知，求：满足条件的角的集合；
【答案】（1）或
【解析】（1）方法1、在单位圆中，由可知，
角对应的正弦线方向朝上，而且长度为，作示意图，如图所示，
可知角的终边可能是，也可能是，
又因为，所以或
所以，满足条件的角的集合为：或
方法2、由，根据“若，则解集为：”
则满足条件的角的集合为：；
【变式1】根据下列条件，分别求角：
（1）已知；（2）已知；（3）已知.
【解析】（1），原式等价于求解，从而其解为，.
（2），原式等价于求解，
从而其解为，.
（3），原式等价于求解，从而其解为，.
【变式2】. 已知角终边上一点，且，能否求出、的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由.
【解析】因为角的终边过点，所以.
因为，所以或.
①当时，点P的坐标为（1,3），角为第一象限角，此时；
②当时，点P的坐标为（-1,3），角为第二象限角，此时
【变式3】. 已知集合，.
（1）当时，求x的值；（2）当时，求x和y的值.
【提示】（1），，解得，；
【解析】（2）因为，所以y可能取值为；
当时，解得；当时，解得；
当时，则有，即，解得，经检验知符合题意.
综上可得：若，则；若，则；
若，则
题型二、已知正弦、余弦或正切值求给定区间上的角
【例2】（1）已知，求：满足条件的角的集合；
（2）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；
（3）已知，求：在区间内满足条件的角的集合；
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由变形得，由结论得，
满足条件的角的集合为：；
（2）方法1、由，又，则或，
在区间内满足条件的角的集合为；；
方法2、适当取并检验；
（3）同（2）得在区间内满足条件的角的集合为：；
【变式】. 求下列方程的解集：
（1），； （2），.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，故
又，故或，解得或，故解集为
（2）因为，故
又，故，解得，故解集为
题型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范围
【例3】（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；
（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；
【答案】（1）
【解析】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，
作示意图，如图所示，可知角的终边可能是，也可能是，又因为
，所以或
再由图可知，如果的终边在中，则一定有，
因此，满足条件的角的取值范围
（2）画出单位圆中三角函数线，如图．
由图可知角的范围是：
或；
题型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展
【例4】已知，求：满足条件的角的集合；
【解析】不妨将“”看作整体，代入“若，则解集为：”
则得，解得或，
所以，满足条件的角的集合为：或；
【变式1】. 已知关于x的方程.
（1）当时，求方程的解；（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围.
【解析】（1），所以，
当时，方程为：，所以或，
又，所以，所以，故方程的解集为；
（2）由（1）得：有解，即有解，
又，又，所以，
即，即
【变式2】. 根据下列条件，求角x：（1）已知，；（2）已知，x是第三象限角.
【答案】（1）或；（2），
【解析】（1）由得，
因为，所以，因此或，故或
（2）由得或，
又x是第三象限角，所以，
一、填空题
1、已知cs x＝eq \f(1,2)，0＜x＜eq \f(π,2)，则角x等于
【答案】eq \f(π,3)
【解析】cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
2、已知cs x＝eq \f(1,2)，＜x＜，则角x等于
【答案】
【解析】 cs =cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
3、若tan α＝eq \f(\r(3),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝________
【答案】eq \f(7π,6)
【解析】因为taneq \f(7π,6)=tan（π＋eq \f(π,6)）＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6).
4、若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________
【答案】eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)；
【解析】因为tan x＝eq \r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)－π＝－eq \f(2π,3)，综上x＝eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3).
5、方程2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是__________
【答案】eq \f(7π,12)；
【解析】因为，2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1，所以，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)；因为，x∈(0，π), 所以，x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以，x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，所以，x＝eq \f(7π,12).
6、函数的定义域为______．
【答案】，
【解析】根据函数，可得，由单位圆与余弦线，
可得，
故函数的定义域为，，故答案为，．
7、已知cs x＝eq \f(1,2)，0＜x＜eq \f(π,2)，则角x等于
【答案】eq \f(π,3)
【解析】cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
8、已知cs x＝eq \f(1,2)，＜x＜，则角x等于
【答案】
【解析】 cs =cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
9、若tan α＝eq \f(\r(3),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝________
【答案】eq \f(7π,6)
【解析】因为taneq \f(7π,6)=tan（π＋eq \f(π,6)）＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6).
10、若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________
【答案】eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)
【解析】因为tan x＝eq \r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)－π＝－eq \f(2π,3)，综上x＝eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3).
11、方程2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是__________
【答案】eq \f(7π,12)；
【解析】∵2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)；∵x∈(0，π), ∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
∴x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，∴x＝eq \f(7π,12).
12、如果，且，那么角的取值范围是
【答案】
【解析】因为，所以，所以角的终边落在轴或其上方，
从而角的取值范围是；
二、选择题
13、方程的解为（ ）
A．，B．，
C．， D．，
【答案】D；
【解析】由，可得，或，，
即，，故选：D.
14、“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B；
【解析】由可得：或，
即能推出，但推不出
所以，“”是“”的必要不充分条件，故选
15、已知，则＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A；
【解析】由已知，得，得，即方程的根为
16、满足等式的的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】， ，
，或，
或.
综上所述，方程的解集为.故选：D
三、解答题
17、求：方程的解集
【答案】；
【解析】由已知，结合诱导公式，化简为，
则或，
得，所以方程的解集为.
故答案为：
18、求：方程的解集。
【答案】
【解析】由，得，解得，
即方程的解为.故答案为：
19、分别求满足下列条件的x的值：
（1）sin x＝eq \f(\r(2),2)，x∈[－π，π]； （2）cs x＝－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；
（3）tan x＝－1，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))； （4）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，x∈[0，π]
【解析】（1）∵sin x＝eq \f(\r(2),2)，x∈[－π，π]，∴x＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4).
（2）∵cs x＝－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x＝eq \f(2π,3)或eq \f(4π,3).
（3）∵tan x＝－1，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq \f(π,4).
（4）∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，∴2x＋eq \f(π,4)＝2kπ±eq \f(π,4)，k∈Z，
∴x＝kπ或kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，eq \f(3π,4)，π.
20、求满足下列条件的的集合：
（1）；（2）；
【解析】（1）由eq \f(\r(2),2)－sin x>0，所以sin x所以2kπ－eq \f(5π,4)所以满足条件的的集合为：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(5π,4) （2）由3tan x－eq \r(3)≥0，所以tan x≥eq \f(\r(3),3)，
所以角x终边所在区域如图所示，
所以kπ＋eq \f(π,6)≤x所以，满足条件的的集合为：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)≤x21、已知；
（1）当时，求x的取值集合；
（2）当时，求x的取值集合；
（3）当时，求x的取值集合；
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】（1）因为且，所以；所以x的取值集合为.
（2）因为，所以x为第一、二象限的角，且
所以在上符合条件的角有或.所以x的取值集合为.
（3）当时，x的取值集合为或（或
22、求下列方程的解集：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）
（6），；（7）.
【解析】（1）原方程即 所以，得.
所以方程的解集为；
（2）原方程即.所以方程的解集为.
（3）原方程可化为，
整理，得．解得（无解），
因此原方程得解集为；
（4）把原方程左边分解因式，得，所以，
由，得；
由，得；
所以原方程的解集为．
（5）原方程可以化为，
所以
经检验，也是原方程的解；
所以原方程的解集是
（6）原方程可化为，所以.
当时，，不合题意；
取时，；
取时，或；
取时，或；
取时，；
当时，，不合题意；
（7）或，则或，；