2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市新沂市九年级上学期数学期中考试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程x2－4＝0的解是
A. x＝2B. x＝－2C. x＝±2D. x＝±4
【答案】C
【解析】
【分析】方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．
【详解】解：x2－4＝0
x2=4，
∴x=±2．
故选：C．
2. 用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据配方法的步骤，确定答案即可．
【详解】解：A、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；
B、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；
C、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；
D、．两边同时加上1，故本项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程和完全平方式是解题的关键．
3. 下列四个函数中，图象的顶点在轴上的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，图象的顶点在y轴上，则顶点的横坐标x=0，根据题意，计算出即可解答．
【详解】A、二次函数y=x2-3x+2，顶点的横坐标x=−=≠0，故本项错误；
B、二次函数y=5-x2，顶点的横坐标x=−=0，故本项正确；
C、二次函数y=-x2+2x，顶点的横坐标x=−=1≠0，故本项错误；
D、二次函y=x2-4x+4，顶点的横坐标x=−=2≠0，故本项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，应熟记二次函数的顶点坐标公式，本题读懂题意是关键．
4. 已知⊙O的半径为3，OA=3，直线l经过点A，则直线l与⊙O的位置关系是 （ ）
A. 相切B. 相交C. 相离D. 相切或相交
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离进行判断即可．
【详解】解：∵OA=3，直线l经过点A，
∴圆心O到直线l的距离≤3，
∵⊙O的半径为3，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断时注意分情况讨论．
5. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=50°，则∠ACB的度数为 （ ）
A. 100°B. 50°C. 25°D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理∠ACB=∠AOB计算即可．
【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，∠AOB=50°，
∴∠ACB=25°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6. 如图，⊙O的直径垂直于弦，垂足是点，，，则的长为( )
A. B. C. 6D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，可得为等腰直角三角形，所以，从而得到的长．
【详解】∵，AB为直径，
∴，
∵∠BOC和∠A分别为所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
7. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】解：抛物线y= 的顶点坐标为(0，0)，
向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，
所以,所得图象的解析式为y=2 -3．
故选：B
【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．
8. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图像，对于下列说法：①abc＞0，②，③a+b+c＜0，④当x＞0时，y随x的增大而增大，其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上即可求出a、b、c的正负，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上，
∴a＞0，-＞0，c＜0，
即b＜0，
∴abc＞0，
∴①正确；
由抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac＞0，故②正确；
由图象可知：x=1时，y=a+b+c＜0，
故③正确；
由图象可得，当0∴正确的个数有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分）
9. 一元二次方程的一次项为___________.
【答案】3x
【解析】
【分析】根据一元二次方程一次项的定义写出该方程的一次项．
【详解】解：一元二次方程的一次项是3x．
故答案是：3x．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
10. 抛物线的顶点坐标是_________．
【答案】(-1，-1)
【解析】
【分析】利用顶点式直接求得交点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标是（-1，-1）．
故答案为：（-1，-1）．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
11. 若是方程的一个根，则＝____.
【答案】-3
【解析】
【分析】先把代入方程中，然后利用整体思想进行求解即可．
【详解】解：把代入方程得：
，即，
∴；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解是解题的关键．
12. 设、是一元二次方程的两根，则____.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根和、两根积的公式是解题的关键．
13. 若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线 的图像与轴有交点可知，从而可求得的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 的图像与轴有交点
∴令，有，即该方程有实数根
∴
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点情况与一元二次方程分的情况的关系、解一元一次不等式，能由已知条件列出关于的不等式是解题的关键．
14. 圆锥的侧面展开图的面积为18π，母线长为6，则圆锥的底面半径为________．
【答案】3
【解析】
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设底面周长为C，底面半径为r．
∵侧面展开图的面积为18π，
∴18π=C×6，C=6π=2πr，
∴r=3．
故答案为：3
【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．关键是根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2解答．
15. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝________°．
【答案】125
【解析】
【分析】根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得的值；根据内切圆的性质分析，可计算得的值，从而完成求解．
【详解】∵∠A＝70°
∴
∵⊙O是△ABC内切圆
∴，
∴
∴
故答案为：125．
【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．
16. 如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么_________秒后⊙与直线相切.
【答案】3或5
【解析】
【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．
【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，
∴PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==3（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF=1cm，
∵∠AOC=∠DOB=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间==5（秒）．
故答案为3或5．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质.
17. 抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x一元二次方程的解是________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得当y=0时，则有的两个根为，进而根据同解方程可进行求解．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，
∴当y=0时，则有的两个根为，
∴的解为：或，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM，BN交于点P，则PC长的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧BG，连接OC交圆O于P，如图，则此时PC最小，进一步即可求解．
【详解】解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，
在△ABM和△BCN中，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧，是这个圆的，如图所示：

连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝2，
∴OP＝OB＝1，
由勾股定理得：OC＝，
∴PC＝OC﹣OP＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
三、解答题（本大题共有4小题，每小题6分，共24分）
19. 解方程：．
【答案】x1=0，x2=-4
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
x1=0，x2=-4
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确选择因式分解法是解题的关键．
20. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】原式运用公式法求解即可得到答案．
【详解】解：
这里


∴，
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用解题方法是解答本题的关键．
21. 已知关于的方程.
（1）若此方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当取满足条件的最小整数时，求此时方程的解．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）因为方程有实数根，所以可得判别式大于或等于零，得到不等式后，即可求得答案；
（2）由（1）结论以及取满足条件的最小整数可求得参数的取值，再代入原方程即可得解．
【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根
∴
∴；
（2）∵有（1）可知，，取满足条件的最小整数
∴
∴把代入原方程得：
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解不等式、解方程等，体现了数学运算的核心素养．
22. 已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45º．
（1）求弦BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先添加辅助线连接，由是的直径可得，再由勾股定理求得、，即可得到等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求得答案；
（2）根据即可求得结论．
【详解】解：（1）连接，如图：

∵是的直径
∴
∵，
∴
∴
∵且
∴
∴在中，．
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积、三角形的面积，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
四、解答题（本大题共有3小题，每小题8分，共24分）
23. 已知：二次函数过点（0，－3），（1，－4）
（1）求出二次函数的表达式；
（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）－4≤y＜0
【解析】
【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；
（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；
（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y的取值范围即可．
【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数得：
，
解得：，
所以，二次函数的表达式为：；
（2）二次函数的图象如下：
（3）∵
∴当x＝1时，有最小值－4，
当x＝0时，y＝（0−1）2－4＝−3，
当x＝3时，y＝（3−1）2－4＝0，
又对称轴为x＝1，
∴当0≤x＜3时，y的取值范围是−4＜y≤0．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．
24. 如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且垂直于矩形的边的道路，余下的部分铺上草坪（即阴影部分），要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少米？
【答案】道路的宽应为米
【解析】
【分析】根据题意设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】解：设道路的宽应为米，则种草坪部分的长为，宽为，根据题意得：
，
∴，（不合题意舍去）
答：道路的宽应为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，要求学生能根据题目中的等量关系建立方程，同时也考查了学生的阅读理解能力．
25. 已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=40°，⊙O的直径AD交CB于E，则∠DEC = ．
【答案】（1）见解析；（2）60°
【解析】
【分析】（1）分别作出AB与AC的垂直平分线，进而得出圆心的位置，再利用圆心到三角形顶点的距离为半径得出圆O即可；
（2）连接BD．根据圆周角定理求出∠ABD=90°，∠D=∠ACB=40°，则∠DBC=∠ABD-∠ABC=20°，再利用三角形外角的性质即可求出∠DEC．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接BD．
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=90°-70°=20°，
又∵∠D=∠ACB=40°，
∴∠DEC=∠D+∠DBC=40°+20°=60°．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的作法，圆周角定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
五、解答题（共有2小题，第26题8分，第27题10分，共18分）
26. 如图，已知直线l与⊙O相离，过圆心O画OA⊥l于点A，交⊙O于点P且OA=5，点B为⊙O上一点BP的延长线交直线l于点C且AB=AC.
（1）判断AB与⊙O有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）若，求⊙O的半径.
【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）连接OB，由题意易得∠ACB =∠ABC，∠OAC=90°，则有∠APC=∠OBP，进而可证OB⊥AB，则问题可证；
（2）设⊙O的半径为x，由（1）得OP = OB = x，则有PA = 5-x，然后根据勾股定理可进行求解．
详解】解：（1）AB与⊙O相切，
理由：连接OB，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠ACB =∠ABC，
又∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB +∠APC = 90°，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠APC=∠OBP，
∴∠OBP +∠ABC = 90°，即OB⊥AB，
∵点B是半径OB的外端点，
∴AB是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为x，
∴OP = OB = x
又∵OA = 5，
∴ PA = 5-x
在Rt△ACP中
∴ AC 2 =PC 2 -PA 2 =，
在Rt△OAB中
∴ AB 2 =OA 2 -OB 2 =
又∵AB = AC
∴，
解得：x =3
∴⊙O的半径为3．
【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
27. 某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间的函数关系如图所示．
（1）求每棵果树产果y(千克)与增种果树x(棵)之间函数关系式；
（2）设果园的总产量为w(千克)，求w与x之间的函数表达式；
（3）试说明（2）中总产量w(千克)随增种果树x(棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x为多少棵时获得最大产量，最大产量w是多少？
【答案】（1）；（2） ；（3）当x=50时，w的最大值为．
【解析】
【分析】（1）由图像可得坐标，设，然后代入求解即可；
（2）根据（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：（1））由图像可得坐标，则设，把点代入得：
，解得：，
∴；
（2）由（1）及题意得：
；
（3）由（2）得：，
∴，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，w取最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
六、解答题（本大题10分）
28. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN⊥x轴于点N，交BC于点P．
（1）填空：A（ ， ），C（ ， ）；
（2）探究△ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；
（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？
【答案】（1）-1，0；0，-2；（2）；（3）当m=2时，PM的最大值是2
【解析】
【分析】（1）利用抛物线解析式容易求得A、C的坐标；
（2）证明△AOC∽△COD，Rt△ACB的外接圆圆心为AB的中点，由此求得圆心的坐标即可；
（3）可求得直线BC的解析式，利用m可表示出PM的长，则可利用二次函数的性质求得PM的最大值．
【详解】解：（1）当y=0，则=0，得方程的解
∴A（-1,0）B（4,0），当x=0时，y=-2
∴C（0，-2）．
（2）
∠AOC=∠COB=90°
∴
∴△AOC∽△COB
∴∠ACO=∠OBC
∠ACO+∠OCB=90°
∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB
∴Rt△ACB的外接圆圆心为AB的中点，
∵A（-1,0）B（4,0），
∴圆心的坐标（）．
（3）C（0，-2），B（4，0）
又∵直线BC解析式

，M（m, ）
PM=（）-（）

当m=2时，PM最大值=2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．