2020-2021学年北京丰台区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年北京丰台区初三上学期数学期末试卷及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数y=(x+1)2－2的最小值是（ ）
A. 1B. －1C. 2D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线y=(x+1)2－2开口向上，有最小值，顶点坐标为(－1，－2)，顶点的纵坐标－2即为函数的最小值．
【详解】解：根据二次函数的性质，当x=－1时，二次函数y=(x+1)2－2的最小值是－2．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把解析式配方成顶点式．
2. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3. 若一个扇形圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据扇形公式S扇形=，代入数据运算即可得出答案．
【详解】解：由题意得，n=90°，R=6，
S扇形=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．
4. 点，，是反比例函数图象上的三个点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式中，求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，，是反比例函数图象上的三个点，
∴y1=﹣2，y2=2，y3=1，
∴y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足此函数的解析式是解答的关键．
5. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ）
A. 2分米B. 3分米C. 4分米D. 5分米
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】的直径为分米，
（分米），
，（分米），
（分米），
（分米），
积分的最大深度（分米）．
故选：．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．
6. 二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线G的开口向下
B. 抛物线G的对称轴是直线
C. 抛物线G与y轴交点坐标为(0，4)
D. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性．
【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为：，故C正确；
x轴的交点坐标为：，因此可得抛物线的对称轴为，故B错误；
由上可知，抛物线开口向上，故A错误；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A. ∠ACB=90°B. ∠BDC=∠BAC
C. AC平分∠BADD. ∠BCD+∠BAD=180°
【答案】C
【解析】
【分析】以点O圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可．
【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：
OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．
A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意．
B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意．
C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意．
D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．
8. 函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）
A. x1≠0，x2≠0B. y1，y2
C. 若y1＝y2，则|x1|＝|x2|D. 若y1＜y2，则x1＜x2
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．
【详解】解：由图象可知，x≠0，
∴，，故选项A正确；
∵x≠0，
∴x2＞0，
∴＞0，
∴，
，，故选项B正确；
函数的图象关于轴对称，
∴若，则，故选项C正确；
根据函数的增减性可得：当时，若，则；当时，若，则，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题
9. 将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，：＝___．
【答案】1：9##
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质证明△AOE∽△COB，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴△AOE∽△COB，
∴：=，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
∴：==1：9，
故答案为：1：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
11. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(精确到0.01)
【答案】0.88
【解析】
【详解】因为（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8≈0.88,所以这种幼树移植成活率的概率约为0.88,故答案为:0.88.
12. 抛物线与x轴有且只有1个公共点，则b=_______________．
【答案】±4
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴有且只有1个公共点可知，当时，此方程有且有两个相等的实数根，根据=算出b的值即可．
【详解】∵抛物线与x轴有且只有1个公共点，
∴令=0，
∴，
∴=±4，
故答案为：±4．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，正确把握抛物线与x轴交点个数确定方法是解题的关键．
13. 如图，是的外接圆，是的中点，连结，其中与交于点. 写出图中所有与相似的三角形：________.
【答案】；．
【解析】
【分析】由同弧所对的圆周角相等可得，可利用含对顶角的8字相似模型得到，由等弧所对的圆周角相等可得，在和含公共角，出现母子型相似模型．
【详解】∵∠ADE=∠BCE，
∠AED=∠CEB，
∴；
∵是的中点，
∴，
∴∠EAD=∠ABD，
∠ADB公共，
∴．
综上：；．
故答案为：；．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等的应用是解题的关键．
14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．
【答案】8
【解析】
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】如图：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
15. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出ABC中∠BAC的平分线的步骤：
①延长OD交于点M；
②连接AM交BC于点N．
所以∠BAN=∠CAN．
即线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．
请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是______．
【答案】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【解析】
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到∠BAN=∠CAN．
【详解】
如图所示：
根据题目的步骤，延长OD交于点M，
由垂径定理得到点M为的中点，
，
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
∠BAN=∠CAN，
线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查圆的基本性质，属于基础题，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
16. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．
（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；
（2）按照阿尔卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：）
【答案】 ①. 1 ②. 3.23
【解析】
【分析】（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；
（2）利用锐角三角函数分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．
【详解】解：（1）如图，
∵该多边形为圆内接正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB=1，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,
故答案为：1；
（2）如图，设圆的半径为1，
当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，
则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，
圆外切正六边形的边长为，周长为，
根据题意得：2π= ，
则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，
故答案为：3.23．
【点睛】本题考查了圆周率π的近似值的计算、圆的内接和外切正多边形的性质、锐角三角函数解直角三角形，根据题意，结合图形，计算出单位圆内接正六边形和外切正六边形的边长是解答的关键．
三、解答题
17. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）（2，﹣1）；（2）见解析；（3）﹣1≤y＜3．
【解析】
【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围．
【详解】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2）2﹣1，
∴该函数与x轴的两个交点坐标为（3，0），（1，0），顶点坐标为（2，﹣1），过点（0，3），（4，3），
函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
18. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且．
（1）求证：ADE∽ACB；
（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【解析】
【分析】（1）由得，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE∽△ACB，得∠ADE=∠ACB=75°，再由∠B=55°及三角形的内角和为180°可求出∠A．
【详解】（1）证明：∵，
∴.
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．
（1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可；
（2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可．
【详解】解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．
（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．
【点睛】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，C(0，2)．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M， N两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x的取值范围．
【答案】（1）D(2，1)；k=2；（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质即可求解D的坐标，从而求解k；
（2）结合矩形的性质可得到M的纵坐标，以及N的横坐标，从而得出结论．
【详解】（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A(4，0)，C(0，2)，
∴点D的坐标为(2，1)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，解得：k=2；
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4.
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为(1，2)，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．
21. 如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；
（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO，由切线长定理得到AD=AC，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图：
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD.
在△AOD和△AOC中，
∴ △AOD≌△AOC，
∴ ∠ADO=∠ACO.
∵AC与⊙O相切于点C，
∴ ∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=6，
∴OE=OD=OC=3.
在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，
∴，
∴BO=5，
∴BC=BO+OC=8.
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD=AC.
在Rt△ACB中，，
即：，
解得：AC=6；
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22. 在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
【答案】（1）3，0.75；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得里程数为11公里，则里程数在11到15公里之间，进而问题可求解；
（2）由题意易得学生乙应在里程数为16到20公里之间，则他可能在云岗北区和北京十中之间的站台上车，由此可进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，
∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），
故答案：3，0.75；
（2）实际支付了1元，则票价为：(元)，
∴里程数在16和20公里之间，
∴24-8=16，24-4=20，
∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车，
∴他在佃起村上车的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）过点(4，0)．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A(0，a)，将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）(a+2，0)；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件抛物线（）过点(4，0)，将该点代入到抛物线中即可用含a的代数式表示b；（2）根据旋转的角度和平移的单位长度，即可在平面直角坐标系中表示出点C的坐标；（3）若线段AC与抛物线有公共点，则线段AC有交点，此时可分a>0和a0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0)，
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得：，

（ii）如图2，当a