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5.1-5.2 位置的确定和平面直角坐标系（一）-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）
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这是一份5.1-5.2 位置的确定和平面直角坐标系（一）-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版），文件包含51-52位置的确定和平面直角坐标系一原卷版docx、51-52位置的确定和平面直角坐标系一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
1.回顾小学
（1）看图回答问题。
（1）新华书店在学校的（ ）偏（ ）（ ）°方向，距离学校（ ）米。
（2）体育中心在学校的北偏东40°2千米处，请你在图中标出体育中心的位置。
（3）经纬路在学校的正西方向500米处，并与学院路垂直。请你在图中画出经纬路。
【答案】（1）南；西；30；500；
（2）（3）见详解
【分析】（1）由题意可知：图上1厘米表示实际的500米，新华书店与学校的图上距离为1厘米，故实际距离为500米，再根据“上北下南，左西右东”及方向角确定新华书店的位置即可；
（2）先求出体育中心与学校的图上距离，再根据“上北下南，左西右东”及方向角确定体育中心的位置即可；
（3）500米再图上表示1厘米，先找出学校正西1厘米处，再过此处作学院路的垂线即可。
【详解】（1）由分析可得：新华书店在学校的南偏西30°方向，距离学校500米。
（2）（3）
2千米＝2000米，2000÷500＝4（厘米）
500÷500＝1（厘米）
画图如下：
（2）如图，已知图形②的四个顶点B，C，D，E用数对表示为B（1，6），C（7，6），D（5，8），E（1，8）按要求画一画。
（1）将图形①绕点A顺时针旋转90°
（2）将图形①先向右平移5格，再向上平移2格。
（3）将图形②按数对的第二个数乘，第一个数不变。
（4）将图形②缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。
（5）以虚线为对称轴，画出轴对称图形③的另一半。
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）见详解
【分析】（1）根据旋转的特征：图形①绕点A顺时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图；
（2）根据平移的特征，把图形①的各个顶点分别向右平移5格，再向上平移2个，依次连接，即可得到平移后的图形；
（3）把图形②按数对的第二个数分别×，第一个数不变，6×＝3；6×＝3；8×＝4；8×＝4，这四个点的对数是：（1，3）；（7，3）；（5，4）；（1，4），据此画出图形；
（4）根据图形按1∶2缩小，缩小后的梯形上底4÷2＝2（格）；下底6÷2＝3（格），高2÷2＝1（格），据此画出缩小后的图像②；
（5）根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可。
【详解】（1）（2）（3）（4）（5）见下图：
2.确定一个物体的位置需要两个因素；表示物体位置的几种常见方法：（1）利用经纬度来确定；（2）利用方位角及与中心的距离来确定；（3）借助方格纸中横向格数与纵向格数来确定。
3.我们在小学对有序数对的定义是把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
4.认识平面直角坐标系与点的坐标
（1）平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系；
（2）平面直角坐标系内，水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点。
（3） 在平面直角坐标系中，任意一个点的位置都可以有用一对有序数对来表示，这样的有序数对叫做点的坐标
5.（1）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。
（2）象限内点坐标的规律如下
【解惑】
例1：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合B．类比C．一般到特殊D．分类讨论
【答案】A
【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解．
【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键．
例2：在教室里，如果用数对表示2排5列，那么4排3列可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据用表示2排5列，用数对表示位置时，先表示第几排，再表示第几列，可知4排3列应先表示排，再表示列，即．
【详解】解：4排3列可以表示为．
故选C
【点睛】本题考查的是利用有序实数对表示位置，理解有序实数对的含义是解本题的关键．
例3：已知坐标平面内点在第三象限，那么点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数判断的符号，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点在第三象限，
，，
，
点在第二象限．
故选：B
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
例4：在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好，这样依次得到各点．若的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，然后得到，…点的坐标按，，，…4次一循环周期的规律排列，进而求解即可．
【详解】解：由题意可得，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
…
即，…点的坐标按，，，…4次一循环周期的规律排列，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标规律问题，解题的关键是正确分析出点的坐标规律．
例5：如图，将三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形，写出点的坐标；
(2)直接写出三角形的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）先根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形变化—平移，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1.（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标特征进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴平面直角坐标系中，点位于第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各象限的坐标特征，熟知：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）是解本题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列各点中，在第四象限的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第四象限的横坐标大于0，纵坐标小于0，逐一判断即可解答．
【详解】解：在第二象限，故A选项不符合题意；
在第二象限，故B选项不符合题意；
在第一象限，故C选项不符合题意；
在第四象限，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了判断点的象限，熟知每个象限里的点的横纵坐标的正负是解题的关键．
3．（2023·全国·七年级假期作业）平面直角坐标系中，点A坐标为，B是y轴正半轴上一点，，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出，再由点B位置答出坐标即可．
【详解】解：∵点A坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵B是y轴正半轴上一点，
∴则点B的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，勾股定理，根据勾股定理求解是解题的关键．
4．（2023·湖北宜昌·校考一模）图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（ ）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
【答案】B
【分析】先用有序实数对表示图中各点为 ，进而根据各点分析各选项即可得解．
【详解】解：名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间在图中表示的点用有序实数对表示，
∵只有的横纵坐标相同，
∴只有一个同学的阅读和看电视的时间相同，故A说法正确，不符合题意；
∵和的横坐标相同，和的横坐标相同，
∴有名同学看电视时间是小时，另有名同学看电视的时间为小时，故B说法错误，符合题意；
∵只有与的纵坐标相同，
∴只有两个同学的阅读时间是相同的，故C说法正确，不符合题意；
∵共人的横坐标小于纵坐标，共人的横坐标大于纵坐标，
∴阅读时间大于看电视时间的同学较多正确，故D说法正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查有序数对，解题的关键是利用有序对来表示点的位置以及理解有序数对表示的意义．
5．（2022秋·八年级单元测试）在电影院里，一般用“几排几号”来确定座位的位置，如果“排号”表示为，那么“排号”应表示为__________，表示的位置是__________．
【答案】 12排3号
【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答．
【详解】解：∵“排号”表示为，
∴“排号”应表示为，
表示的位置是“12排3号”，
故答案为：，12排3号
【点睛】本题考查了确定位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
6．（2022秋·七年级单元测试）如果把街巷记为，那么街巷可以表示为________．
【答案】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由把街巷记为，可知街巷可以表示为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查有序数对表示位置，解题的关键是理解题意．
7．（2023·河南驻马店·统考三模）点在第二象限内，则m的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一，满足均可）
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于0求出的取值范围，由此即可得．
【详解】解：∵点在第二象限内，
，
解得，
则的值可以是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握第二象限内的点的横坐标小于0是解题关键．
8．（2023·全国·七年级假期作业）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值是____．
【答案】3
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，进行计算即可解答．
【详解】∵点在y轴上，
∴，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
9．（2023春·福建福州·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，且．
(1)若，求点，点的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由非负性质得出，，得出，，即可得出答案；
（2）延长交于，由题意得出点的横坐标为，可得点是的中点，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，且，
，，
点，；
（2）解：延长交于，如图所示：
，
轴，
，点的横坐标为，
，，
点是的中点，
．
【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
10．（2023春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．
(1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )；
(2)求三角形的面积；
(3)点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．
【答案】(1)4，0，0，3，2，
(2)7
(3)
【分析】（1）直接根据图像可得结果；
（2）利用割补法计算即可；
（3）利用三角形的面积，得到，从而求出，结合点A坐标即可得解．
【详解】（1）解：由图可知：，，；
（2）三角形的面积为：；
（3）∵三角形的面积为7，
∴，
即，
解得：，
∴，即点D的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法．
【知不足】
1．（2022秋·七年级单元测试）如图是某市地图简图的一部分，若图中“故宫”所在区域用表示，那么“古樱”所在的区域是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据表格结合图形，字母表示列，数字表示行，据此即可求解．
【详解】解：∵“故宫”所在区域用表示，
∴“古樱”所在的区域是，
故选：C．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，数形结合解题的关键．
2．（2023·全国·七年级假期作业）在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】判断出点的横纵坐标的符号即可求解．
【详解】解：，
，
，
点一定在第三象限，
故选C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里象限的坐标，熟练掌握每个象限的坐标符号特点是解题的关键．
3．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先求出a的值，再求出点横纵坐标即可．
【详解】解：点在轴上，
所以，，解得，
点的坐标为，在第一象限；
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标系中点的坐标的特征，解题关键是根据点在轴上，横坐标为，求出字母的值．
4．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）七(1)班教室的座位共有排列，其中小明的座位在排列，记为，王红的座位在排列，可记为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由小明的座位在排列，记为，可知横坐标表示排数，纵坐标表示列数，于是得到结论．
【详解】解：小明的座位在排列，记为，
王红的座位在排列，可记为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
5．（2023·全国·七年级假期作业）若点在y轴上，则点M的坐标为_____．
【答案】
【分析】点在轴上，则点的横坐标为零，即，由此即可求解．
【详解】根据点在y轴上的点横坐标为0，得：，
解得．
∴，
∴点M的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点，理解点在坐标轴上的特点是解题的关键．
6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．
【答案】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
7．（2023春·甘肃陇南·七年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．
【答案】
【分析】根据题意即可求解．
【详解】解：∵咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“”，表示，，对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，，，对应表格中的“”，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）某人在车间里工作的时间t与工作总量y组成有序数对，若他的工作效率是不变的，其中两组数对分别为，，则______．
【答案】
【分析】先根据数对求出工作效率，然后当时，根据“工效×时间=工作总量”求出．
【详解】工作效率，
当时，工作总量，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序数对，工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，牢记“工效×时间=工作总量”是解题的关键．
9．（2023春·七年级课时练习）某一本书在印刷上有错别字，在第20页第4行从左数第11个字处，如果用数序表示可记为，那么你认为的意义是_______．
【答案】第100页第20行从左数第4个字
【分析】根据数序的表示方法，第一个数表示页数，第二个数表示行数，第三个数表示从左边数的字数解答．
【详解】解：第20页第4行从左数第11个字，用数序表示可记为，
的意义是第100页第20行从左数第4个字．
故答案为：第100页第20行从左数第4个字．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解数序的三个数的实际意义是解题的关键．
10．（2023春·七年级单元测试）根据格子图填空．
(1)如果学校的位置用数对表示，那么医院的位置应用数对（_____，____）表示；
(2)经测量学校到医院的图上距离约为_____厘米（保留一位小数），实际距离约是_____千米；
(3)医院位于学校的_____方向上（用量角器测量角度，精确到）．
【答案】(1)7，2；
(2)，；
(3)北偏东．
【分析】（1）数对表示列数和行数都是0，然后以此为起点，数出医院的位置所在的列与行数即可；
（2）先测量学校到医院的图上距离，然后根据实际距离等于图上距离比例尺，即可求解；
（3）用量角器测量的大小，则可知医院位于学校的什么方向上．
【详解】（1）解：学校的位置用数对表示，
医院的位置应用数对表示；
故答案为：7，2；
（2）解：经测量学校到医院的图上距离约为，
比例尺为，
设实际距离为，则
；
故答案为：，；
（3）解：测量，
由图形可知，医院位于学校的北偏东的方向上．
故答案为：北偏东．
【点睛】此题考查了线段及角度的测量、比例尺、根据方向与距离判断物体位置的方法，熟练掌握数对的意义、比例尺的意义以及方向角的定义是解答此题的关键．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用表示小军家到学校的一条路径．
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
【答案】(1)学校和小芸家的位置分别可表示为，
(2)答案不唯一，
如：①；
②；
③
【分析】（1）直接根据图象确定位置即可；
（2）根据点的位置写出路径即可．
【详解】（1）解：根据图得：学校和小芸家的位置分别可表示为，；
（2）答案不唯一，符合题意即可：
如：①；
②；
③．
【点睛】题目主要考查用有序数对表示位置，理解题意是解题关键．
12．（2023春·四川泸州·七年级统考期中）如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1．
(1)请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系；
(2)在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图书馆：，商场：，医院：，车站：
【分析】（1）以学校为原点建立直角坐标系即可；
（2）以学校为原点建立直角坐标系，根据图形可得其余各设施的坐标．
【详解】（1）解：如图：以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系如下：
（2）解：其余各设施的坐标分别为：
图书馆：，商场：，医院：，车站：．
【点睛】本题主要考查的是用坐标确定位置，准确写出其余各设施的坐标是解决本题的关键．
【一览众山小】
1．（2023春·河北邢台·八年级统考期中）已知在平面直角坐标系中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两点之间的距离公式分别求出，，，，，的长度，逐项判断即可得．
【详解】解：，，，，
，
，
，
，
，
，
，，选项A错误，选项C正确；
，选项B错误；
，选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
2．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：
故选：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号特征．
3．（2023春·河南濮阳·七年级统考期中）如图，在坐标系中用手盖住点P，则点P的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：由图可知，被墨水污染部分位于坐标系中第四象限，
∴被墨水污染部分遮住的点的坐标位于第四象限，则可能为：，
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征是解题的关键．
4．（2023春·七年级课时练习）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．官渡古镇南B．东经北纬C．北偏西D．电影院第3排
【答案】B
【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断．
【详解】A.官渡古镇南不能确定具体位置，不符合题意；
B.东经北纬可以确定具体位置，符合题意；
C.北偏西，没有距离，不能确定具体位置，不符合题意；
D.电影院第3排不能确定具体位置，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，解题的关键在于理解对应规则．
5．（2022秋·七年级单元测试）如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为，点B的位置记为，则点C的位置应记为__________．
【答案】
【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与夹角的度数即可解答．
【详解】解：∵定点A的位置记为，点B的位置记为．
∴图中点C的位置应记为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键．
6．（2023·山东泰安·统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
……
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是______．
【答案】
【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
【详解】解：观察发现，第行的最后一个数是，第行有个数，
，
在第45行倒数第3个，
第45行有个数，倒数第三个数为87，
表示2023的有序数对是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数字的变化，找到变化规律是解题的关键．
7．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得，解答下列各题．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)在图上画出．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据直角坐标系和网格直接写出即可；
（2）根据平移方式求出点的坐标，再描点连线即可．
【详解】（1）解：根据直角坐标系和网格可知：
（2）∵，向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得，
∴
描出这些点，并画出如下：
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键．
8．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．
(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据即可解决．
（2）先证明得，所以即可解决．
（3）结论：．只要证明，，在中利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）在中，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）结论：，理由如下：
连接．∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．
9．（2023春·广东韶关·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，．若三角形ABC中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，．
(1)在图中画出平移后的三角形；
(2)三角形的面积为___________；
(3)点Q为y轴上一动点，当三角形的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)或
【分析】（1）由点的对应点坐标知，需将三角形向左平移1单位、向上平移3单位，然后运用此平移方式即可解答；
（2）利用割补法求解可得答案；
（3）设点Q的坐标为，则，然后用三角形的面积公式列关于a的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形ABC中任意一点，经平移后对应点
∴三角形向左平移1单位、向上平移3单位
∴据此平移方式作图如下：
即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：设点Q的坐标为，则，
∴三角形的面积为，
解得：或5，
∴点Q坐标为或．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．
（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．
【答案】（1）6，30°；（2）见解析，30
【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）根据相应的度数判断出△AOB的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】(1)根据点N在平面内的位置N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°.
答案：6，30°
(2)如图所示：
∵A(5，30)，B(12，120)，
∴∠BOX=120°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=5，OB=12，
∴△AOB的面积为OA·OB=30.
【点睛】本题考查了坐标确定位置及旋转的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
【详解】（1）解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），
点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为，，．
（2）解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为，
如图：
．
【点睛】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
12．（2023·全国·九年级专题练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
(1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）；
(2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6．
①求表示的数；②求表示2023的有序数对．
【答案】(1)11；；
(2)①；②
【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可；
（2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答；
②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断．
【详解】（1）解：第1行有1个数，
第2行有个数，
第3行有个数，
第4行有个数，
第5行有个数，
∴第6行有个数，
……
第n行有个数；
（2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是，
而表示第11行的第20个数，
∴表示的数是；
②∵，，
∴，
∴2023位于第45行，
∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数，
∴2023位于第45行的第87个数，
∴表示2023的有序数对是．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
古樱
大北门
故宫
大南门
东华门
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
1.回顾小学
（1）看图回答问题。
（1）新华书店在学校的（ ）偏（ ）（ ）°方向，距离学校（ ）米。
（2）体育中心在学校的北偏东40°2千米处，请你在图中标出体育中心的位置。
（3）经纬路在学校的正西方向500米处，并与学院路垂直。请你在图中画出经纬路。
【答案】（1）南；西；30；500；
（2）（3）见详解
【分析】（1）由题意可知：图上1厘米表示实际的500米，新华书店与学校的图上距离为1厘米，故实际距离为500米，再根据“上北下南，左西右东”及方向角确定新华书店的位置即可；
（2）先求出体育中心与学校的图上距离，再根据“上北下南，左西右东”及方向角确定体育中心的位置即可；
（3）500米再图上表示1厘米，先找出学校正西1厘米处，再过此处作学院路的垂线即可。
【详解】（1）由分析可得：新华书店在学校的南偏西30°方向，距离学校500米。
（2）（3）
2千米＝2000米，2000÷500＝4（厘米）
500÷500＝1（厘米）
画图如下：
（2）如图，已知图形②的四个顶点B，C，D，E用数对表示为B（1，6），C（7，6），D（5，8），E（1，8）按要求画一画。
（1）将图形①绕点A顺时针旋转90°
（2）将图形①先向右平移5格，再向上平移2格。
（3）将图形②按数对的第二个数乘，第一个数不变。
（4）将图形②缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。
（5）以虚线为对称轴，画出轴对称图形③的另一半。
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）见详解
【分析】（1）根据旋转的特征：图形①绕点A顺时针旋转90°后，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图；
（2）根据平移的特征，把图形①的各个顶点分别向右平移5格，再向上平移2个，依次连接，即可得到平移后的图形；
（3）把图形②按数对的第二个数分别×，第一个数不变，6×＝3；6×＝3；8×＝4；8×＝4，这四个点的对数是：（1，3）；（7，3）；（5，4）；（1，4），据此画出图形；
（4）根据图形按1∶2缩小，缩小后的梯形上底4÷2＝2（格）；下底6÷2＝3（格），高2÷2＝1（格），据此画出缩小后的图像②；
（5）根据轴对称图形的意义：对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可。
【详解】（1）（2）（3）（4）（5）见下图：
2.确定一个物体的位置需要两个因素；表示物体位置的几种常见方法：（1）利用经纬度来确定；（2）利用方位角及与中心的距离来确定；（3）借助方格纸中横向格数与纵向格数来确定。
3.我们在小学对有序数对的定义是把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．
4.认识平面直角坐标系与点的坐标
（1）平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系；
（2）平面直角坐标系内，水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点。
（3） 在平面直角坐标系中，任意一个点的位置都可以有用一对有序数对来表示，这样的有序数对叫做点的坐标
5.（1）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。
（2）象限内点坐标的规律如下
【解惑】
例1：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合B．类比C．一般到特殊D．分类讨论
【答案】A
【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解．
【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键．
例2：在教室里，如果用数对表示2排5列，那么4排3列可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据用表示2排5列，用数对表示位置时，先表示第几排，再表示第几列，可知4排3列应先表示排，再表示列，即．
【详解】解：4排3列可以表示为．
故选C
【点睛】本题考查的是利用有序实数对表示位置，理解有序实数对的含义是解本题的关键．
例3：已知坐标平面内点在第三象限，那么点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数判断的符号，再根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点在第三象限，
，，
，
点在第二象限．
故选：B
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
例4：在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好，这样依次得到各点．若的坐标为，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，然后得到，…点的坐标按，，，…4次一循环周期的规律排列，进而求解即可．
【详解】解：由题意可得，的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
…
即，…点的坐标按，，，…4次一循环周期的规律排列，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了点的坐标规律问题，解题的关键是正确分析出点的坐标规律．
例5：如图，将三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形．
(1)画出三角形，写出点的坐标；
(2)直接写出三角形的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）先根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴
（2）解：．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形变化—平移，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1.（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系中各象限的点的坐标特征进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴平面直角坐标系中，点位于第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各象限的坐标特征，熟知：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）是解本题的关键．
2．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列各点中，在第四象限的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第四象限的横坐标大于0，纵坐标小于0，逐一判断即可解答．
【详解】解：在第二象限，故A选项不符合题意；
在第二象限，故B选项不符合题意；
在第一象限，故C选项不符合题意；
在第四象限，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了判断点的象限，熟知每个象限里的点的横纵坐标的正负是解题的关键．
3．（2023·全国·七年级假期作业）平面直角坐标系中，点A坐标为，B是y轴正半轴上一点，，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出，再由点B位置答出坐标即可．
【详解】解：∵点A坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵B是y轴正半轴上一点，
∴则点B的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，勾股定理，根据勾股定理求解是解题的关键．
4．（2023·湖北宜昌·校考一模）图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（ ）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
【答案】B
【分析】先用有序实数对表示图中各点为 ，进而根据各点分析各选项即可得解．
【详解】解：名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间在图中表示的点用有序实数对表示，
∵只有的横纵坐标相同，
∴只有一个同学的阅读和看电视的时间相同，故A说法正确，不符合题意；
∵和的横坐标相同，和的横坐标相同，
∴有名同学看电视时间是小时，另有名同学看电视的时间为小时，故B说法错误，符合题意；
∵只有与的纵坐标相同，
∴只有两个同学的阅读时间是相同的，故C说法正确，不符合题意；
∵共人的横坐标小于纵坐标，共人的横坐标大于纵坐标，
∴阅读时间大于看电视时间的同学较多正确，故D说法正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查有序数对，解题的关键是利用有序对来表示点的位置以及理解有序数对表示的意义．
5．（2022秋·八年级单元测试）在电影院里，一般用“几排几号”来确定座位的位置，如果“排号”表示为，那么“排号”应表示为__________，表示的位置是__________．
【答案】 12排3号
【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答．
【详解】解：∵“排号”表示为，
∴“排号”应表示为，
表示的位置是“12排3号”，
故答案为：，12排3号
【点睛】本题考查了确定位置，读懂题目信息，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
6．（2022秋·七年级单元测试）如果把街巷记为，那么街巷可以表示为________．
【答案】
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由把街巷记为，可知街巷可以表示为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查有序数对表示位置，解题的关键是理解题意．
7．（2023·河南驻马店·统考三模）点在第二象限内，则m的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一，满足均可）
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于0求出的取值范围，由此即可得．
【详解】解：∵点在第二象限内，
，
解得，
则的值可以是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握第二象限内的点的横坐标小于0是解题关键．
8．（2023·全国·七年级假期作业）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值是____．
【答案】3
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，进行计算即可解答．
【详解】∵点在y轴上，
∴，
解得．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
9．（2023春·福建福州·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，且．
(1)若，求点，点的坐标；
(2)如图，在（1）的条件下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由非负性质得出，，得出，，即可得出答案；
（2）延长交于，由题意得出点的横坐标为，可得点是的中点，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，且，
，，
点，；
（2）解：延长交于，如图所示：
，
轴，
，点的横坐标为，
，，
点是的中点，
．
【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
10．（2023春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．
(1)直接填写点A，B，C的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )；
(2)求三角形的面积；
(3)点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．
【答案】(1)4，0，0，3，2，
(2)7
(3)
【分析】（1）直接根据图像可得结果；
（2）利用割补法计算即可；
（3）利用三角形的面积，得到，从而求出，结合点A坐标即可得解．
【详解】（1）解：由图可知：，，；
（2）三角形的面积为：；
（3）∵三角形的面积为7，
∴，
即，
解得：，
∴，即点D的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握坐标系中三角形面积的多种求法．
【知不足】
1．（2022秋·七年级单元测试）如图是某市地图简图的一部分，若图中“故宫”所在区域用表示，那么“古樱”所在的区域是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据表格结合图形，字母表示列，数字表示行，据此即可求解．
【详解】解：∵“故宫”所在区域用表示，
∴“古樱”所在的区域是，
故选：C．
【点睛】本题考查了用有序数对表示位置，数形结合解题的关键．
2．（2023·全国·七年级假期作业）在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】判断出点的横纵坐标的符号即可求解．
【详解】解：，
，
，
点一定在第三象限，
故选C．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里象限的坐标，熟练掌握每个象限的坐标符号特点是解题的关键．
3．（2023春·广东东莞·七年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先求出a的值，再求出点横纵坐标即可．
【详解】解：点在轴上，
所以，，解得，
点的坐标为，在第一象限；
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标系中点的坐标的特征，解题关键是根据点在轴上，横坐标为，求出字母的值．
4．（2023春·广东惠州·七年级校考期中）七(1)班教室的座位共有排列，其中小明的座位在排列，记为，王红的座位在排列，可记为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由小明的座位在排列，记为，可知横坐标表示排数，纵坐标表示列数，于是得到结论．
【详解】解：小明的座位在排列，记为，
王红的座位在排列，可记为．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
5．（2023·全国·七年级假期作业）若点在y轴上，则点M的坐标为_____．
【答案】
【分析】点在轴上，则点的横坐标为零，即，由此即可求解．
【详解】根据点在y轴上的点横坐标为0，得：，
解得．
∴，
∴点M的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的特点，理解点在坐标轴上的特点是解题的关键．
6．（2023·江苏连云港·统考中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．
【答案】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
7．（2023春·甘肃陇南·七年级统考期中）一个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜单词的游戏，若听到“咚咚一咚咚，咚一咚，咚咚咚一咚”表示的是“”，则听到“咚咚一咚，咚咚咚一咚咚，咚一咚咚咚”时，表示的是___________．
【答案】
【分析】根据题意即可求解．
【详解】解：∵咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“”，表示，，对应的字母为“”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示，，，对应表格中的“”，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）某人在车间里工作的时间t与工作总量y组成有序数对，若他的工作效率是不变的，其中两组数对分别为，，则______．
【答案】
【分析】先根据数对求出工作效率，然后当时，根据“工效×时间=工作总量”求出．
【详解】工作效率，
当时，工作总量，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序数对，工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，牢记“工效×时间=工作总量”是解题的关键．
9．（2023春·七年级课时练习）某一本书在印刷上有错别字，在第20页第4行从左数第11个字处，如果用数序表示可记为，那么你认为的意义是_______．
【答案】第100页第20行从左数第4个字
【分析】根据数序的表示方法，第一个数表示页数，第二个数表示行数，第三个数表示从左边数的字数解答．
【详解】解：第20页第4行从左数第11个字，用数序表示可记为，
的意义是第100页第20行从左数第4个字．
故答案为：第100页第20行从左数第4个字．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解数序的三个数的实际意义是解题的关键．
10．（2023春·七年级单元测试）根据格子图填空．
(1)如果学校的位置用数对表示，那么医院的位置应用数对（_____，____）表示；
(2)经测量学校到医院的图上距离约为_____厘米（保留一位小数），实际距离约是_____千米；
(3)医院位于学校的_____方向上（用量角器测量角度，精确到）．
【答案】(1)7，2；
(2)，；
(3)北偏东．
【分析】（1）数对表示列数和行数都是0，然后以此为起点，数出医院的位置所在的列与行数即可；
（2）先测量学校到医院的图上距离，然后根据实际距离等于图上距离比例尺，即可求解；
（3）用量角器测量的大小，则可知医院位于学校的什么方向上．
【详解】（1）解：学校的位置用数对表示，
医院的位置应用数对表示；
故答案为：7，2；
（2）解：经测量学校到医院的图上距离约为，
比例尺为，
设实际距离为，则
；
故答案为：，；
（3）解：测量，
由图形可知，医院位于学校的北偏东的方向上．
故答案为：北偏东．
【点睛】此题考查了线段及角度的测量、比例尺、根据方向与距离判断物体位置的方法，熟练掌握数对的意义、比例尺的意义以及方向角的定义是解答此题的关键．
11．（2023·全国·九年级专题练习）如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用表示小军家到学校的一条路径．
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
【答案】(1)学校和小芸家的位置分别可表示为，
(2)答案不唯一，
如：①；
②；
③
【分析】（1）直接根据图象确定位置即可；
（2）根据点的位置写出路径即可．
【详解】（1）解：根据图得：学校和小芸家的位置分别可表示为，；
（2）答案不唯一，符合题意即可：
如：①；
②；
③．
【点睛】题目主要考查用有序数对表示位置，理解题意是解题关键．
12．（2023春·四川泸州·七年级统考期中）如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1．
(1)请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系；
(2)在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)图书馆：，商场：，医院：，车站：
【分析】（1）以学校为原点建立直角坐标系即可；
（2）以学校为原点建立直角坐标系，根据图形可得其余各设施的坐标．
【详解】（1）解：如图：以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系如下：
（2）解：其余各设施的坐标分别为：
图书馆：，商场：，医院：，车站：．
【点睛】本题主要考查的是用坐标确定位置，准确写出其余各设施的坐标是解决本题的关键．
【一览众山小】
1．（2023春·河北邢台·八年级统考期中）已知在平面直角坐标系中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两点之间的距离公式分别求出，，，，，的长度，逐项判断即可得．
【详解】解：，，，，
，
，
，
，
，
，
，，选项A错误，选项C正确；
，选项B错误；
，选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
2．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）已知点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：
故选：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握每个象限内点的坐标符号特征．
3．（2023春·河南濮阳·七年级统考期中）如图，在坐标系中用手盖住点P，则点P的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：由图可知，被墨水污染部分位于坐标系中第四象限，
∴被墨水污染部分遮住的点的坐标位于第四象限，则可能为：，
故选：C．
【点睛】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征是解题的关键．
4．（2023春·七年级课时练习）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．官渡古镇南B．东经北纬C．北偏西D．电影院第3排
【答案】B
【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断．
【详解】A.官渡古镇南不能确定具体位置，不符合题意；
B.东经北纬可以确定具体位置，符合题意；
C.北偏西，没有距离，不能确定具体位置，不符合题意；
D.电影院第3排不能确定具体位置，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，解题的关键在于理解对应规则．
5．（2022秋·七年级单元测试）如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为，点B的位置记为，则点C的位置应记为__________．
【答案】
【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与夹角的度数即可解答．
【详解】解：∵定点A的位置记为，点B的位置记为．
∴图中点C的位置应记为．
故选：．
【点睛】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键．
6．（2023·山东泰安·统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
……
若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数6，13这个自然数可以用有序数对表示，则表示2023的有序数对是______．
【答案】
【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案．
【详解】解：观察发现，第行的最后一个数是，第行有个数，
，
在第45行倒数第3个，
第45行有个数，倒数第三个数为87，
表示2023的有序数对是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，观察数字的变化，找到变化规律是解题的关键．
7．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）如图，把向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得，解答下列各题．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)在图上画出．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据直角坐标系和网格直接写出即可；
（2）根据平移方式求出点的坐标，再描点连线即可．
【详解】（1）解：根据直角坐标系和网格可知：
（2）∵，向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得，
∴
描出这些点，并画出如下：
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键．
8．（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且，点B在y轴上，且．
(1)求线段的长；
(2)若点E在线段上，，且，求的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作，交于点M，试证明：
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据即可解决．
（2）先证明得，所以即可解决．
（3）结论：．只要证明，，在中利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）在中，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）结论：，理由如下：
连接．∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．
9．（2023春·广东韶关·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，．若三角形ABC中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，．
(1)在图中画出平移后的三角形；
(2)三角形的面积为___________；
(3)点Q为y轴上一动点，当三角形的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)7
(3)或
【分析】（1）由点的对应点坐标知，需将三角形向左平移1单位、向上平移3单位，然后运用此平移方式即可解答；
（2）利用割补法求解可得答案；
（3）设点Q的坐标为，则，然后用三角形的面积公式列关于a的方程求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形ABC中任意一点，经平移后对应点
∴三角形向左平移1单位、向上平移3单位
∴据此平移方式作图如下：
即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：设点Q的坐标为，则，
∴三角形的面积为，
解得：或5，
∴点Q坐标为或．
【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，关键是正确确定组成图形的关键点平移后的位置．
10．（2022秋·八年级课时练习）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a，β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，β)．例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON=________；∠XON=________．
（2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形并求出AOB的面积．
【答案】（1）6，30°；（2）见解析，30
【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）根据相应的度数判断出△AOB的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】(1)根据点N在平面内的位置N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°.
答案：6，30°
(2)如图所示：
∵A(5，30)，B(12，120)，
∴∠BOX=120°，∠AOX=30°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=5，OB=12，
∴△AOB的面积为OA·OB=30.
【点睛】本题考查了坐标确定位置及旋转的性质，解决本题的关键是理解所给的新坐标的含义．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A、B处．
(1)如果“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），则“马”所在的点的坐标为______，点C的坐标为______，点D的坐标为______．
(2)若“马”的位置在C点，为了到达D点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
【答案】(1)，，
(2)路线见解析，走路线为
【分析】（1）结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置；
（2）结合图示，确定原点，再根据题意求出马走的路线．
【详解】（1）解：∵“帅”位于点（0，0），“相”位于点（4，2），
∴“马”所在的点的坐标为（-3，0），
点C的坐标为（1，3），
点D的坐标为（3，1）．
故答案为，，．
（2）解：以 “帅”为（0，0），则“马”走的路线为，
如图：
．
【点睛】本题考查了用有序数对解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
12．（2023·全国·九年级专题练习）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
(1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）；
(2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6．
①求表示的数；②求表示2023的有序数对．
【答案】(1)11；；
(2)①；②
【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可；
（2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答；
②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断．
【详解】（1）解：第1行有1个数，
第2行有个数，
第3行有个数，
第4行有个数，
第5行有个数，
∴第6行有个数，
……
第n行有个数；
（2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是，
而表示第11行的第20个数，
∴表示的数是；
②∵，，
∴，
∴2023位于第45行，
∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数，
∴2023位于第45行的第87个数，
∴表示2023的有序数对是．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
古樱
大北门
故宫
大南门
东华门
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
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