6.2+一次函数-（暑假高效预习）2023-2024学年八年级数学同步导与练（苏科版）

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1.已知二元一次方程2x-y=1，用x来表示y。
y=2x-1
2.如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量y是___个．（用含有n的式子表示）
​
y=4n+1
3.像y=2x-1、y=4n+1这样的的，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。特别地，当b=0时，y-=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
小试牛刀：已知函数y＝（m+1）x2-|m|+n+4．
（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
解：（1）根据一次函数的定义，得：2﹣|m|＝1，解得：m＝±1．
又∵m+1≠0即m≠﹣1，∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）根据正比例函数的定义，得：2﹣|m|＝1，n+4＝0，
解得：m＝±1，n＝﹣4，又∵m+1≠0即m≠﹣1，
∴当m＝1，n＝﹣4时，这个函数是正比例函数．
4.已知一次函数y=kx+b，当x=-3时，y=0；当x=0时，y=-4.求y=kx+b。
把x=-3时，y=0代入y=kx+b，得-3k+b=0；①
把x=0时，y=-4代入y=kx+b，得b=-4；②
将①②构成二元一次方程组，解得；
把代入y=kx+b，可得.
像上面地，先写出含有未知系数地函数表达式，再根据条件求出这些未知系数地值，从而确定函数表达式，这样地方法叫做待定系数法。
【解惑】
例1：下列四个函数中，是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：一次函数的一般形式为：，（、是常数，）
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的识别，一次函数的一般形式为，（、是常数，），掌握一次函数的一般形式是解题关键．
例2：若函数是正比例函数，则k的值为（ ）
A．B．0C．2D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的概念和一般形式可得出关于k的式子，即可得出k的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：；
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的概念，熟练掌握正比例函数的一般形式是本题解题关键．
例3：已知函数是正比例函数，则（ ）
A．1B．C．3D．3或1
【答案】A
【分析】利用正比例函数定义可得且，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：且，解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
例4：已知点在直线上，则的值为 ．
【答案】1
【分析】将点代入，即得出．再将变形为，最后整体代入即可．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，即，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值．掌握一次函数图象上的点的坐标满足其解析式和利用整体代入的思想是解题关键．
例5：已知与成正比例，当时，，求y与x的函数关系式 ．
【答案】
【分析】根据正比例函数的定义，运用待定系数法求解．
【详解】设
则，解得
∴，即；
故答案为:．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【摩拳擦掌】
1．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）正比例函数的比例系数是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据正比例函数解析式得出k的值即可．
【详解】解：正比例函数的比例系数是，
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数解析式的一般形式是解本题的关键．
2．（2023春·广东广州·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数是形如（为常数）的函数逐项判断即可解答．
【详解】解：∵项是二次函数，不是一次函数，∴项不符合题意；
∵项是常数函数，不是一次函数，∴项不符合题意；
∵项是反比例函数，不是一次函数，∴项不符合题意；
∵项是一次函数，∴项符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了一次函数是形如（为常数）的函数，理解一次函数的定义是解题的关键．
3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据形如(是常数，)的函数叫做正比例函数，根据定义进行分析即可．
【详解】解：A选项是一次函数，故此选项错误；
B选项是二次函数，故此选项错误；
C选项是正比例函数，故此选项正确；
D选项是反比例函数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义去判断是解题的关键．
4．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义判断．
【详解】解：只有符合正比例函数的定义，
故选：D．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键．
5．（2023春·广东广州·八年级统考期末）若是一次函数，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一次函数定义得一次项的系数不为零，由此可得出答案．
【详解】解：是一次函数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟知一次函数定义是解题关键．一般地，形如(是常数，)的函数，叫做一次函数．
6．（2020秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区龙城初级中学校考阶段练习）已知是一次函数，则 .
【答案】
【分析】根据一次函数的定义可得，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的定义．解题的关键在于根据一次函数的定义列等式和不等式．
7．（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）若是关于x的一次函数，则实数 ．
【答案】
【分析】根据一次函数的定义得到，即可得到答案．
【详解】解：是关于x的一次函数，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
8．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）已知一次函数，那么 ．
【答案】1
【分析】直接将代入函数解析式，进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为：1
【点睛】本题考查求一次函数的函数值．解题的关键是正确的进行计算．
9．（2023·上海·八年级假期作业）下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为和；（2）（3）不是正比例函数
【分析】根据正比例函数的概念：形如的函数是正比例函数，其中即为其比例系数，判断即可．
【详解】解：由正比例函数的概念可知：（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为、；（2）（3）不是正比例函数．
【点睛】本题考查了正比例函数、比例系数，解题的关键是掌握正比例函数的概念．
10．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，并且当时，
(1)写出y与x之间的函数关系式 ；
(2)当时，求y的值；
(3)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，再把、代入求得的值，然后将k代入化简整理即可得与的函数关系式；
（2）把代入（1）中所得的函数解析式，求出的值即可；
（3）把代入（1）中所得函数解析式，解方程可求得的值即可．
【详解】（1）解：∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，解得：，
∴，即，
∴与的函数关系式为：．
（2）解：当时，．
（3）解：由可得：，解得：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、正比例的定义、求函数值或自变量等知识点，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．
【知不足】
1．（2023春·湖北·八年级统考期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：是正比例函数，符合题意；
是正比例函数，符合题意；
不是正比例函数，不符合题意；
不是正比例函数，不符合题意；
∴表示y是x的正比例函数的个数正确的为2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的识别，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例函数．
2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）一次函数的一次项系数和常数项的值分别为（ ）
A．1，B．1，1C．，1D．，
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义即可得出结论．
【详解】解：由题意可知：一次函数的一次项系数的值为，常数项的值为1．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的定义，正确记忆一次函数的一般形式是解题关键．
3．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程的解，是一个一次函数的函数值为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得，再分别求出各选项在时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：由得，
当时，
，故A符合题；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出是解题的关键．
4．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）函数是正比例函数，则，应满足的条件是（ ）
A．，且B．，且C．，且D．，且
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义，可得，且即可求解．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，且
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江大庆·六年级统考期末）在速度、路程、时间三个量中，速度一定时，路程与时间成（ ）关系
A．反比例B．正比例C．不成比例
【答案】B
【分析】路程÷时间=速度（一定），根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，由此判定即可解答．
【详解】解：路程÷时间=速度（一定），比值一定，所以路程和时间成正比例．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的判定，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，则这两个量成正比．
6．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知一次函数，则 ．
【答案】
【分析】将代入函数解析式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
7．（2023春·湖北十堰·八年级统考期末）若点在一次函数的图象上，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】把代入中得到，再把整体代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，熟知一次函数图象上的点的横纵坐标一定满足对应的一次函数解析式是解题的关键．
8．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知是关于的一次函数，则 .
【答案】
【分析】根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可．
【详解】解：是关于的一次函数，
且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键．
9．（2023春·四川南充·八年级南部县第二中学校考期中）若函数是正比例函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．
10．（2022秋·八年级课时练习）已知函数，
(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？
(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】(1)
(2)n=1，m=-1
【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值；
（2）根据正比例函数的定义知，，据此可以求得、的值．
【详解】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得，，；
（2）解：当函数是正比例函数时，
，
解得，，．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式．
11．（2022春·河南商丘·八年级统考阶段练习）已知：y与成正比例，且当时，．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当点在此函数图象上，求a的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将点代入（1）中的解析式，解方程即可得出结论．
（1）
解：∵y与成正比例，
∴设，
把，代入得：，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为：；
（2）
解：∵点在此函数图象上，
∴，
解得：．
∴a的值为4．
【点睛】本题主要考查了函数关系式，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．
12．（2023秋·七年级单元测试）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)计算时，y的值．
【答案】(1)
(2)21
【分析】（1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得；
（2）将直接代入（1）中的结果即可得．
【详解】（1）解：由题意可设，，
，
，
当时，，当时，，
，解得，
，
即与之间的函数关系式为．
（2）解：将代入得：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积与边长B．三角形的周长与边长
C．圆的面积与它的半径D．速度一定时，路程与时间
【答案】D
【分析】分别得出各个选项中的两个变量的函数关系式，进而确定是正比例函数．
【详解】A. 正方形的面积与边长，不是正比例函数关系，故该选项不正确，不符合题意；
B. 三角形的周长与边长，，不是正比例函数关系，故该选项不正确，不符合题意；
C. 圆的面积与它的半径，不是正比例函数关系，故该选项不正确，不符合题意；
D. 速度一定时，路程与时间，，是正比例函数关系，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的意义，解题的关键是理解相应函数的意义和相应的关系式．
2．（2023春·河南开封·八年级校考阶段练习）若函数是正比例函数，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．
3．（2023春·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）下列函数中，是一次函数的有（ ）个
①；②；③；④；⑤
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】一次函数解析式为（是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【详解】解：由题可得，①是一次函数；②是反比例函数；③是一次函数；④是一次函数；⑤是二次函数；
∴一次函数有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为（是常数）．
4．（2023春·八年级课时练习）已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标．
【详解】解：∵，
当时，，
∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将一次函数变形为是解题的关键．
5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知和成正比例，且时，，则y与x之间的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据题意设出函数解析式，把当x=-2时，y=-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
【详解】解：∵和成正比例，
∴设
当x=-2时，y=-7代入解析式得，
解得，
∴
整理得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用．
6.（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）在画一次函数的图象时，小雯同学列表如下，其中“”表示的数为
【答案】
【分析】结合表格，利用待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出当时的函数值即可．
【详解】解：有表格可知：直线过点，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴“”表示的数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数的函数值．解题的关键是正确的求出一次函数解析式．
7．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）若以关于的二元一次方程组的解为坐标的点在一次函数的图像上，则的值为 ．
【答案】
【分析】解方程组，先用含k的代数式表示出x、y，根据以方程组的解为坐标的点在一次函数的图像上，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：
得，，
∴；
得：
∴
把，代入，得：
，
解得，，
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是用含k的代数式表示出方程组中的x、y．
8．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，若直线经过和两点，则代数式的值为 ．
【答案】4
【分析】把和代入计算即可．
【详解】∵直线经过和两点，
∴，整理得，
∴，整理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数数图象上点的坐标特征，利用整体思想代入求值是解题的关键．
9．（2023春·重庆铜梁·八年级校考期末）一物体从米高处自由落下与运动时间的平方成正比例，当秒时，米；当米时， ．
【答案】3
【分析】设，根据“当秒时，米”求出的值，当时，得到，进行计算即可得到答案．
【详解】解：设，
当秒时，米，
，
解得：，
，
当米时，，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，根据题意得出的函数关系式，是解题的关键．
10．（2023春·河北承德·八年级统考期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据：
（1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？ （填“是”或“否”）
（2）请你根据数据推算时的摄氏温度为
【答案】 是
【分析】（1）根据表格中的数据，判断与的函数关系是一次函数即可；
（2）设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，最后代入求解即可．
【详解】（1）由表格可知，每增加，就增加，则两种温标计量值的对应关系是一次函数，
故答案为：是
（2）设华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为，
由表中的数据，得，
解得，
，
华氏温度与摄氏温度之间的函数关系式为，
当时，，
解得，
当华氏温度为时，摄氏温度是，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键．
11．（2022秋·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示．
(1)求出图中a、b、c的值；
(2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？
【答案】(1)，，；
(2)乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米．
【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a的值，b表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论；
（2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把代入即可解出x值．
【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出：
甲的速度为：（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒），
（秒）；
（米），
（秒），
所以．
（2）设秒和秒的解析式分别为和，
把代入得解得，
把代入得解得，
秒解析式：，秒的解析式，
当时，则，
所以在乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的运用，清晰准确从图像获得信息是解题的关键．
12．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)判断点是否在直线上．
【答案】(1)的值为5
(2)的值为6
(3)点不在直线上
【分析】（1）把代入解析式求得即可；
（2）把代入解析式求得即可；
（3）把代入求得的值，进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
的值为5；
（2）解：当时，，
解得：，
的值为6；
（3）解：当时，，
点不在直线上．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
13.（2023·上海·八年级假期作业）（1）已知是正比例函数，求m的取值范围；
（2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正比例函数的定义可得，即可求解；
（2）根据正比例函数的定义可得，即可求解．
【详解】解：（1）∵是正比例函数，
∴，
∴；
（2）∵函数是正比例函数，
∴，
∴．
【点睛】考查正比例函数的概念理解，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
摄氏温度值
0
10
20
30
40
50
华氏温度值
32
50
68
86
104
122