2023-2024学年湖北省黄石市八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年湖北省黄石市八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知一个三角形的周长为36cm，一条边是另一条边长度的2倍.则最小边m的取值范围是( )
A. 42.已知a=8131，b=2741，c=961，则下列关系中正确的是( )
A. b>c>aB. a>c>bC. a>b>cD. a3.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2 2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为( )
A. 8 2
B. 4 2
C. 8
D. 6
4.若关于x的分式方程2m+xx−3−1=2x无解，则m的值为( )
A. −1.5B. 1C. −1.5或2D. −0.5或−1.5
5.已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2−(b2+c2−a2)2的值为( )
A. 恒为正B. 恒为负C. 可正可负D. 非负
6.如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为( )
A. a+b2米B. a−b2米C. b米D. a米
7.如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且ADBD=1m，CEAE=1n，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为( )
A. mn+n+1n
B. mn+m+1n
C. mn+n+1m
D. mn+m+1m
8.若a，b是两个正实数，且满足a−1b+b−1a+1=0，则a+b的范围是( )
A. 09.一件工程，甲乙合作2天可以完工，乙丙合作2天，可以完成全工程的59；丙甲合作2天后，剩余工程由丙单独去做1天即可完工，那么由丙单独完成全部工程需要的天数是( )
A. 6B. 9C. 12D. 18
10.在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD.连接DE交对角线AC于H，连接BH.下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EHBE=2；④S△EBCS△EHC=AHCH．
其中结论正确的是( )
A. 只有①②B. 只有①②④C. 只有③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.设x，y为实数，代数式5x2+4y2−8xy+2x+4的最小值为______ ．
12.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FGAF= ______ ．
13.如图，四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，则∠DBC的大小=______(度)．
14.一片草原上的一片青草，到处长的一样密、一样快．20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完，则70头牛吃完这片青草需______天．
15.在△ABC中，∠A=40°，H是△ABC的垂心，且H不与B、C重合，则∠BHC的大小等于______ ．
16.某商场为了促销准备开展两轮抽奖活动．第一轮的奖品有A、B、C.奖品A、B、C的数量比是1：2：3，B与C的单价之和是A的单价的三分之一，A、B、C的单价之和超过25元且不超过50元．第二轮的奖品有D、E、F.奖品E的数量比B的数量少20%，F的数量也比D的数量少20%，D的单价比A的单价多三分之一，E的单价是B的单价的两倍，F的单价与C单价相同．已知第二轮奖品D和F的总价比第一轮三种奖品总价少407元，第一轮和第二轮奖品数量总和超过260件且不超过360件．若所有奖品的单价和数量都是整数，则奖品A的总价为______元．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠CAD=60°，∠C=α
(1)用α表示∠BAD，则∠BAD=______；
(2)求∠EDB的度数．
18.(本小题8分)
已知(a+b)：(b+c)：(c+a)=7：14：9
求：①a：b：c
②a2−abc2+bc．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．
20.(本小题9分)
已知x，y，z，a，b，c均为实数，且x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by(其中abcxyz≠0)，求1−a1+a+1−b1+b+1−c1+c的值．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC内一点，使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．
22.(本小题10分)
如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a、b满足 a+5+(b−5 3)2=0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．

(1)如图1，求A点坐标；
(2)如图2，D为y正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；
(3)如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设最小边为mcm，另一条边长度为2mcm，则第三边为(36−3m)cm，依题意有
m+2m>36−3mm<36−3m<2m，
解得6故最小边m的取值范围是6故选：C．
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形三边关系解答即可．
考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2.【答案】C
【解析】解：∵a=8131=3124，b=2741=3123，c=961=3122，
∴a>b>c．
故选：C．
【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
3.【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的对角线长为2 2，
即BD=2 2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD⋅cs∠ABD=BD⋅cs45°=2 2× 22=2，
∴AB=BC=CD=AD=2，
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8．
故选：C．
首先由正方形ABCD的对角线长为2 2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，则可得图中阴影部分的周长为：A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD，继而求得答案．
此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．
4.【答案】D
【解析】根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，可得m的值．
解：方程两边同乘x(x−3)，得x(2m+x)−(x−3)x=2(x−3)
化简，得(2m+1)x=−6
解得，x=−62m+1
若分式方程无解，则x(x−3)=0或整式方程无解
即x=0或x=3，或2m+1=0
x=0不成立
x=3时，m=−32，
2m+1=0时，解得m=−12．
故m的值为：−32或−12．
故选D
本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代入整式方程，求出答案．
5.【答案】A
【解析】解：4b2c2−(b2+c2−a2)2
=(2bc−b2−c2+a2)(2bc+b2+c2−a2)
=[a2−(b−c)2][(b+c)2−a2]
=(a−b+c)(a+b−c)(b+c+a)(b+c−a)>0．
故4b2c2−(b2+c2−a2)2的值恒为正．
故选：A．
先将4b2c2−(b2+c2−a2)2进行因式分解，再根据三角形三边关系即可作答．
本题考查了因式分解的应用和三角形中三边之间的关系．(a−b+c)(a+b−c)(b+c+a)(b+c−a)是4个正数的积，所以恒为正．
6.【答案】D
【解析】解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴180°−45°−75°=60°
∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同
∵∠NCB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=60°−45°=15°，
∴cs15°=xMN，
又∵∠MCA=75°，
∴∠AMC=15°，
∴cs15°=MAMC，
故可得：xMN=MACM．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM=CM．
∴x=MA=a．
故选D．
根据CM=CN以及∠MCN的度数可得到△CMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MC的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
此题是解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，作辅助线很关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，
连接AF，令△ADF、，△BDF、△AEF、△CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，
∵ADBD=1m，CEAE=1n，
∴S1S2=1m，S△ADCS△BDC=1m，S3S4=n，S△ABES△CBE=n，
∴S2=mS1，S3=nS4，又△BCF的面积为1，
∴S1+S3+S4S2+S△BCF=S1+nS4+S4mS1+1=1m，S1+S2+S3S△BCF+S4=S1+mS1+nS41+S4=n，
解得S4=1m(n+1)，S1=nm+1，∴S3=nm(n+1)，S2=mnm+1，
∴S△ABC=S1+S2+S3+S4+S△BCF=nm+1+mnm+1+nm(n+1)+1m(n+1)+1=mn+m+1m，
故选：D．
根据三角形的面积公式，当三角形的高相等时，它们的面积之比等于其底边之比，从而由ADBD=1m，CEAE=1n得到S1S2=1m，S△ADCS△BDC=1m，S3S4=n，S△ABES△CBE=n，解得S4=1m(n+1)，S1=nm+1，∴S3=nm(n+1)，S2=mnm+1，结合图形根据S△ABC=S1+S2+S3+S4+S△BCF进行求解即可．
本题考查三角形的面积，解题的关键是根据ADBD=1m，CEAE=1n得到S1S2=1m，S△ADCS△BDC=1m，S3S4=n，S△ABES△CBE=n，应充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系．
8.【答案】C
【解析】解：由a−1b+b−1a+1=0，
去分母并整理，得a2+ab+b2=a+b，
∴(a+b)2−ab=a+b，
∴ab=(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)①，
∵a，b是两个正实数，
∴ab>0，a+b>0，
∴a+b−1>0，
即a+b>1；
∵(a+b)2=(a−b)2+4ab≥4ab，
结合①可得：a+b4≥a+b−1，
∴a+b≤43，
∴1故选：C．
根据分式的基本性质可得a2+ab+b2=a+b，根据完全平方公式变形得(a+b)2−ab=a+b，根据因式分解的方法可得ab=(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)，再根据a，b是两个正实数，结合不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用完全平方公式得出ab=(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设工程总量为1，并设甲、乙、丙单独完成全部工程需要的天数分别为x、y、z，
则可得甲的速度为1x，乙的速度为1y，丙的速度为1z，
由题意得：1x+1y=122(1y+1z)=59 2(1z+1x)+1z=1，
解得：x=3y=6z=9，
即丙单独完成全部工程需要的天数为9天．
故选：B．
设工程总量为1，并设甲、乙、丙单独完成全部工程需要的天数分别为x、y、z，则甲的速度为1x，乙的速度为1y，丙的速度为1z，根据题意可得出三个等量关系，联系求解即可．
本题考查了分式方程及三元一次方程的应用，有一定的难度，一般此类工程类的题目，都要设工程量为单位1，这样就可表示出每个工作单位的工作速度，另外要仔细审题，得出等量关系后联立求解．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；
又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°−15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；
∵AD=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，
∴∠EAH=∠ADH=45°，
∴AH=EH=DH，AH⊥DE，
假设AH=EH=DH=x，
∴AE= 2x，CE=2x，
∴CH= 3x，
∴AC=(1+ 3)x，
∵AB=BC，
∴AB2+BC2=[(1+ 3)x]2，
解得：AB= 2+ 62x，
BE= 6− 22x，
∴EHBE=x 6− 22x= 6+ 22，
故③错误；
④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，
∴S△EBC：S△EHC=12(BE×BC)：12(HE×HC)
=12(EC×sin15°×EC×cs15°)：12(EC×sin30°×EC×cs30°)
=14(EC2×sin30°)：14(EC2×sin60°)
=sin30°：sin60°=1： 3=EH：CH=AH：CH，故④正确．
故其中结论正确的是①②④．
故选：B．
根据题意，对选项进行一一论证，排除错误答案．
本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．
11.【答案】3
【解析】解：原式=(x2+2x+1)+(4x2−8xy+4y2)=4(x−y)2+(x+1)2+3，
∵4(x−y)2和(x+1)2的最小值是0，
即原式=0+0+3=3，
∴5x2+4y2−8xy+2x+4的最小值为3．
故答案为：3．
题中有−8xy，2x应为完全平方式子的第二项，把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数．
考查配方法的应用；根据−8xy，2x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．
12.【答案】12
【解析】解：∵AD=BE，
∴CE=BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△BCD，
∴∠DCB=∠CAE，
∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG=30°，
∴FGAF=12．
故答案为：12．
首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB=∠CAE，因此∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，所以∠FAG=30°，即可推出结论．
本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△BCD和∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°．
13.【答案】16
【解析】解：延长BD至E，使DE=DC，连接AE，
∠ADE=180°−∠ADB=104°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=104°，
∴∠ADE=∠ADC，
在△ADE和△ADC中，
AD=AD∠ADE=∠ADCDE=DC，
∴△ADE≌△ADC，(SAS)
∴AC=AE，
又∵AB=AC=AE，∠ABD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠DCA=∠E=60°，
设∠DBC=x，则∠ACB=∠ABC=60°+x，
∴28°+(60°+x)+x+60°=180°，
∴x=16°，即∠DBC=16°．
故答案为16°．
延长BD至E，使DE=DC，连接AE，易证∠ADE=∠ADC，即可求证△ADE≌△ADC，即可求得∠DCA=60°，根据△BCD三角形内角和为180°即可求得∠DBC的值，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE≌△ADC是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：设1头牛一天吃的草为1单位，草生长的速度是x单位/天，开始时整个草地的草量是y单位，
依题意，得：96x+y=20×9660x+y=30×60，
解得：x=103y=1600，
∴y70−x=24．
故答案为：24．
设1头牛一天吃的草为1单位，草生长的速度是x单位/天，开始时整个草地的草量是y单位，根据“20头牛在96天可以吃完，30头牛在60天可以吃完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入y70−x中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15.【答案】140°或40°
【解析】解：分△ABC锐角三角形和钝角三角形两种情况，如图：
如图1.∵∠BAC=40°，H是△ABC的垂心，
∴∠ABH=90°−40°=50°
∴∠α=90°−50°=40°，
∴∠BHC=180°−α=140°；
如图2.∵∠A=40°，H是△ABC的垂心
∴∠β=90°−40°=50°，
∴∠r=∠β=50°，
∴∠BHC=90°−∠r=90°−50°=40°
故答案为140°或40°．
分△ABC锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：如图1，由∠A=40°，H是△ABC的垂心，得∠ABH=90°−40°=50°，则∠α=40°，所以∠BHC=180°−α=140°；如图2，由∠A=40°，H是△ABC的垂心，得∠β=90°−40°=50°，则∠r=∠β=50°，
于是∠BHC=90°−∠r=90°−50°=40°．
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°.也考查了三角形垂心的性质．
16.【答案】735
【解析】解：设奖品A的数量为5x，则奖品B的数量为10x，奖品C的数量为15x，奖品A、B、C的单价分别为3a元、b元、c元(x,a,b,c都是整数)，
∵B与C的单价之和是A的单价的三分之一，
∴b+c=13×3a=a①，
∴c∵A、B、C的单价之和超过25元且不超过50元，
∴25<3a+b+c≤50②，
由①②得，25<3a+a≤50，
即254∵D的单价比A的单价多三分之一，E的单价是B的单价的两倍，F的单价与C单价相同，
∴奖品有D、E、F单价分别为4a元、2b元、c元，
设奖品D的数量分别为5m(m为正整数)，
∵奖品E的数量比B的数量少20%，F的数量也比D的数量少20%，
∴奖品E的数量为(1−20%)⋅10x=8x，
奖品F的数量为(1−20%)⋅5m=4m，
∵第二轮奖品D和F的总价比第一轮三种奖品总价少407元，
∴m⋅4a+4m⋅c−(3a⋅5x+2b⋅10x+c⋅15x)=407，
即(5a+c)(5x−4m)=407=1×407=11×37=37×11=407×1，
∵254∴1254<5a≤1252，
即3114<5a≤6212，
∵c∴3114<5a+c<65，
∴5a+c=37③，5x−4m=11④，
即x=4m+115，
∵第一轮和第二轮奖品数量总和超过260件且不超过360件．
260<5x+10x+15x+5m+8x+4m≤360，
260<38x+9m≤360，
∵x=4m+115，
∴260<38×4m+115+9m≤360，
∴494197∴m=5或6或7，
当m=5时，x=4×5+115=315，x不是整数，不符合题意，舍去，
当m=6时，x=4×6+115=7，x是整数，符合题意，
当m=7时，x=4×7+115=395，x不是整数，不符合题意，舍去，
即m=6，x=7，
∵3114<5a≤6212，5a+c=37，
∴5a=32，c=5或5a=33，c=4或5a=34，c=3或5a=35，c=2或5a=36，c=1，
∵a为正整数，
∴5a为5的倍数，
∴只有5a=35，c=2符合题意，
∴a=7，c=2，
∴奖品A的总价为5x⋅3a=5×7×3×7=735，
故答案为：735．
设奖品A的数量为5x，则奖品B的数量为10x，奖品C的数量为15x，奖品A、B、C的单价分别为3a元、b元、c元(x,a,b,c都是整数)，根据B与C的单价之和是A的单价的三分之一得出b+c=a①，c此题主要考查了多元不定方程组，整除问题，解不等式，分解因数，得出5a+c=37③，5x−4m=11④，是解本题的关键．
17.【答案】解(1)120°−2α
(2)∵AE=AD，
∴∠ADE=12(180°−∠BAD)=30°+α，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°+α，
∴∠EDB=∠ADB−∠ADE=30°．
【解析】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，
∴∠BAC=180°−2α，
∵∠DAC=60°，
∴∠BAD=120°−2α；
故答案为：120°−2α；
(2)见答案
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=α，根据三角形的内角和得到∠BAC=180°−2α，于是得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠ADE=12(180°−∠BAD)=30°+α，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：①∵(a+b)：(b+c)：(c+a)=7：14：9
设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，
∴a+b+c=15k，
∴a=k，b=6k，c=8k，
∴a：b：c=1：6：8
②a2−abc2+bc=k2−6k264k2+48k2=−5112．
【解析】根据比例的基本性质可设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，进而求得a、b、c的值，再分别代入求值．
本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
19.【答案】解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．
∵∠BAE=90°−60°−15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD，
∴△EAB≌△DAC(SAS)，
∴∠BEA=∠CDA=180°−15°−15°=150°，
∴∠BED=360°−∠BEA−60°=150°，即∠BEA=∠BED；
又∵AE=ED，BE=BE，
∴△BEA≌△BED(SAS)，
∴BA=BD．
【解析】先作辅助线，以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE.可证得△EAB≌△DAC，再证得△BEA≌△BED，即可得结论．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，涉及到等边三角形的性质、三角形内角和定理、周角的定义等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：∵abcxyz≠0，
∴x+y+z=2ax+2by+2cz≠0，
令x=by+cz①，y=cz+ax②，z=ax+by③，
由②+③−①，得y+z−x=2ax，
∴a=y+z−x2x，
∴1−a1+a=1−y+z−x2x1+y+z−x2x=3x−y−zx+y+z，
同理可得：b=x+z−y2y，c=x+y−z2z，
∴1−b1+b=3y−x−zx+y+z，1−c1+c=3z−x−yx+y+z，
∴1−a1+a+1−b1+b+1−c1+c
=3x−y−zx+y+z+x+z−y2y+x+y−z2z
=3x−y−z+3y−x−z+3z−x−yx+y+z
=x+y+zx+y+z
=1．
【解析】将三式相加结合abcxyz≠0即可得出x+y+z=2ax+2by+2cz≠0，由②+③−①、①+③−②、①+②−③即可得出a=y+z−x2x，b=x+z−y2y，c=x+y−z2z，将其分别代入
1−a1+a，1−b1+b，1−c1+c中求出结果，再代入所求式子中即可得出结论．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是用三个等式中的两个相加减去第三个表示出a、b、c的值．本题属于基础题，结合给定条件表述出x+y+z≠0(即分母不为0)是易失分点．
21.【答案】解：过B作BD⊥AC交AC于D，延长CM交BD于E，连接AE，如图所示：
∵∠BAC=∠BCA=44°，
∴△ABC是等腰三角形，AB=CB，∠ABC=92°，
又∵BD⊥AC，
∴BD垂直平分AC，∠CBD=∠ABD=46°，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC=30°，
∵∠EAC=∠EAM+∠MAC=30°，∠BAC=∠BAE+∠EAD，
∴∠EAM=∠EAC−∠MAC=30°−16°=14°，∠BAE=∠BAC−∠EAC=44°−30°=14°，
∴∠BAE=∠EAM=14°，
∵∠EMA=∠ECA+∠MAC=30°+16°=46°，
∴∠EMA=∠EBA=46°，
又∵AE=AE，
∴△BEA≌△MEA(AAS)，
∴AB=AM，
∴△ABM为等腰三角形，
∵∠BAM=∠BAE+∠EAM=14°+14°=28°，
∴∠BMA=12(180°−28°)=76°，
又∵∠CMA=180°−∠MCA−∠MAC=180°−30°−16°=134°，
∴∠BMC=360°−∠CMA−∠BMA=360°−134°−76°=150°．
【解析】过B作BD⊥AC交AC于D，延长CM交BD于E，连接AE，先证EC=EA，得∠ECA=∠EAC=30°，再证△BEA≌△MEA(AAS)，得AB=AM，则∠BMA=76°，然后求出∠CMA=134°，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)如图1中，作BF⊥AO于F．
∵ a+5+(b−5 3)2=0，
∴a=−5，b=5 3，
∴B(−5,5 3)，
∵BA=BO，BF⊥OA，
∴FA=FO=5，
∴OA=10，
∴A(−10,0)．
(2)点M的坐标不发生变化．
理由：如图2中，
∵△ABO，△ADC都是等边三角形，
∴∠OAB=∠DAC，OA=OB，AD=AC，
∴∠OAD=∠BAC，
∴△OAD≌△BAC，
∴∠AOD=∠CBA=90°，
在Rt△ABM中，∵∠ABM=90°，AB=OA=10，∠BAM=60°，
∴AM=2AB=20，
∴OM=AM−OA=10，
∴M(10,0)．
(3)结论：OD=CE+12AE．
理由：如图3中，取AE的中点R，连接BR、OR．
∵∠ABE=∠AOE=90°，AR=ER，
∴BR=AR=RE=OR，
∴A、B、E、O四点共圆，
∴∠BAE=∠BOE=90°−60°=30°，
∴BE=12AE，
∵△ABO，△ADC都是等边三角形，
∴∠OAB=∠DAC，OA=OB，AD=AC，
∴∠OAD=∠BAC，
∴△OAD≌△BAC，
∴OD=BC=CE+BE=CE+12AE．
即OD=CE+12AE．
【解析】(1)如图1中，作BF⊥AO于F.理由非负数的性质求出点B坐标即可解决问题；
(2)点M的坐标不发生变化．只要证明△OAD≌△BAC，推出∠AOD=∠CBA=90°，在Rt△ABM中，解直角三角形即可解决问题；
(3)结论：OD=CE+12AE.如图3中，取AE的中点R，连接BR、OR.首先证明A、B、E、O四点共圆，推出∠BAE=∠BOE=90°−60°=30°，可得BE=12AE，再证明△OAD≌△BAC，可得OD=BC=CE+BE=CE+12AE；
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、四点共圆、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

2023-2024学年湖北省黄石市八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

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