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2023-2024学年湖北省黄石市下陆区八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖北省黄石市下陆区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式x−1x−2有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2B. x≠1C. x=2D. x=1
3.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，咸宁市积极普及科学防控知识，如图是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂口鼻B. 防控疫情我们在一起
C. 有症状早就医D. 勤洗手勤通风
4.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，数0.000000102用科学记数法表示为( )
A. 1.02×10−7B. 1.02×10−8C. 10.2×10−8D. 102×10−9
5.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
A. a2−1B. a2+a
C. (a+2)2−2(a+2)+1D. a2+a−2
6.将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 15°
7.如图，△ABC中，ABA. B.
C. D.
8.若9x2+mxy+16y2是完全平方式，则m=( )
A. 12B. 24C. ±12D. ±24
9.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E三点共线，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N，下列结论中错误的有个．( )
①AM=BN；
②△ABF≌△DNF；
③∠FMC+∠FNC=180°；
④MN//AC．
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个n边形的内角和等于720°，则n=______．
12.分式32a3b2c与a−b6a2b4c的最简公分母是 ．
13.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若∠B=70°，∠AED=50°，则∠A的度数为______．
14.若关于x的方程1x−4+mx+4=m+3x2−16无解，则m的值为______．
15.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，则B点的坐标是______．
16.如图，四边形ABCD，AD=1，AB=2 3，BC=3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB=60°，则DC的最大值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.解方程：
(1)x2x−1=2−31−2x
(2)x+1x−1−4x2−1=1
18.先化简，再求值m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)，其中m= 2−2．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(x+1)(x−3)；
(2)因式分解：3x2+6xy+3y2．
20.(本小题6分)
如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF，求证：∠A=∠D．
21.(本小题8分)
简读以下材料并解决问题：
①若a−b≥0，则a≥b；若a−b≤0，则a≤b．
②∵x2+6x+10=(x+3)2+1∴x2+6x+10有最小值1
③∵2x2−8x−1=2(x−2)2−9∴2x2−8x−1有最小值−9
(1)已知P=2x2−4x−1，Q=x2−6x−6，比较P与Q的大小．
(2)设x、y为实数，求式子4x2−2xy+y2−12x+13的最小值．
22.(本小题8分)
如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图1中画出一个以BC为一边，面积为12的三角形；
(2)在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形；
(3)在图2中画出△ABC的角平分线BE(△ABC的三个顶点都在格点上).按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．
23.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D(0,2)，点F(1,0)，线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A(−1,5)，点B(−1,−1)，点C(6,−1)，连AD，BE，CF.若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为______；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为______．
24.(本小题10分)
青山绿水育佳茗，高山云雾出好茶.阳新县山水资源优越，地处北纬30°黄金产带，孕育了众多优质名茶，是全国十二个贡品名茶产区之一.某茶叶店计划从白浪尖春茶场购进甲、乙两种龙井茶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
(1)求a的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．
①求销售完这两种茶叶的最大利润；
②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元(m<50)，甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足(a−4)2+|a−b|=0．
(1)求点A、点B的坐标．
(2)P(0,t)为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM=PA．
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标(用含t的式子表示)．
②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，线段OM与AB的关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，就具有稳定性．
【解答】
解：A选项中分割成了6个三角形，所以具有稳定性，其他则不具备．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得，x−2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0，分式无意义，分母等于0．
3.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：0.000000102=1.02×10−7．
故选：A．
根据科学记数法的定义即可得．
本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式=(a+1)(a−1)，故此选项不符合题意；
B、原式=a(a+1)，故此选项不符合题意；
C、原式=(a+1)2，故此选项不符合题意；
D、原式=(a−1)(a+2)，故此选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由三角板的性质可得：∠2=30°，∠3=45°，
∴∠1=∠2+∠3=30°+45°=75°．
故选：C．
先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵PA+PB=BC，而PC+PB=BC，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
由PA+PB=BC和PC+PB=BC易得PA=PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8.【答案】D
【解析】解：∵9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，
∴mxy=±2⋅3x×4y=±24xy，
∴m=±24．
故选D．
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，这里首末两项是3x和4y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y的积的2倍．
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用．本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
9.【答案】B
【解析】解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
在△DMC和△ENC中，
∠MDC=∠NECDC=EC∠MCD=∠NCE=60°，
∴△DMC≌△ENC(ASA)，
∴DM=EN，CM=CN，
∴AD−DM=BE−EN，即AM=BN；
故①正确，
②∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴AB//CD，
∴∠BAF=∠CDF，
但没有边相等的条件，找不出全等的条件；
故②错误；
③∵∠AFB+∠ABC+∠CBF+∠BAF=180°，∠FBC=∠CAF，
∴∠AFB+∠ABC+∠CAF+∠BAF=180°，
即∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°
∴∠AFB=60°，
∴∠MFN=120°，
∵∠MCN=60°，
∴∠MFN+∠MCN=180°；
∴∠FMC+∠FNC=180°；
故③正确；
④∵CM=CN，∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∵∠DCE=60°，
∴MN//AC．
故④正确．
故选：B．
①根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；
②根据∠ABC=∠BCD=60°，求出AB//CD，找不出全等的条件；
③根据角的关系可以求得∠AFB=60°，可求得MFN=120°，根据∠BCD=60°可解题；
④根据CM=CN，∠MCN=60°，可求得∠CNM=60°，可判定MN//AC．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE′B=30°，则BE′=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，进而可求出AB的长．
【解答】
解：作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE′，
∴EP+FP=PE′+PF=E′F，此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B=30°，
∴BE′=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E′B=10，
∵CE=CE′，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=AB=7．
故选：A．
11.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，依此列方程可求解．
【解答】
解：依题意有：
(n−2)⋅180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
12.【答案】6a3b4c
【解析】【分析】
此题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是解题的关键．
根据确定最简公分母的方法：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，即可得出答案．
【解答】
解：分式32a3b2c与a−b6a2b4c的最简公分母是6a3b4c，
故答案为：6a3b4c.
13.【答案】60°
【解析】解：∵DE//BC，∠AED=50°，
∴∠AED=∠C=50°，
∵∠B=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=60°，
故答案为：60°．
由两直线平行同位角相等，可得∠AED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理即可作答．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的知识，掌握三角形内角和定理、两直线平行同位角相等，是解答本题的关键．
14.【答案】−1或5或−13
【解析】解：去分母得：x+4+m(x−4)=m+3，
可得：(m+1)x=5m−1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=−1，
当m+1≠0时，
则x=5m−1m+1=±4，
解得：m=5或−13，
综上所述：m=−1或5或−13，
故答案为：−1或5或−13．
直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
15.【答案】(1,4)
【解析】解：如图，过A和B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，
∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，
∴CD=OD−OC=4，OE=CE−OC=3−2=1，
∴BE=4，
∴则B点的坐标是(1,4)，
故答案为：(1,4)．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线证明全等三角形．
过A和B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
16.【答案】4+ 3
【解析】【详解】
解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，
由翻折可知：∠AED=∠MED，∠BEC=∠NEC，AD=MD=1，BC=NC=3，
∵E是AB中点，AB=2 3，
∴AE=ME=BE=NE= 3，
∵∠DEA+∠CEB=60°，
∴∠AEM+∠BEN=120°，
∴∠MEN=60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴MN= 3，
∴CD≤DM+MN+CN，
当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为1+3+ 3=4+ 3，
故答案为：4+ 3．
将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，证明△EMN是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得CD≤DM+MN+CN，即可求出最大值．
本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明△EMN是等边三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)去分母得到：x=4x−2+3，
解得：x=−13，
经检验x=−13是分式方程的解；
(2)去分母得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：原式=(m−2)2m−1÷(3m−1−m2−1m−1)
=(m−2)2m−1÷4−m2m−1
=(m−2)2m−1⋅m−1−(m+2)(m−2)
=−m−2m+2，
当m= 2−2时，
原式=− 2−2−2 2−2+2
=− 2−4 2
=−1+2 2．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：(1)原式=x2−3x+x−3=x2−2x−3；
(2)原式=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2．
【解析】(1)根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项可得；
(2)先提取3，再利用完全平方公式分解可得．
本题主要考查多项式乘多项式与因式分解，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及因式分解的步骤．
20.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠A=∠D．
【解析】先证明BC=EF，再证明△ABC≌△DEF(SAS)，即可作答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵P=2x2−4x−1，Q=x2−6x−6，
∴P−Q=(2x2−4x−1)−(x2−6x−6)=x2+2x+5=(x+1)2+4>0，
∴P>Q；
(2)∵4x2−2xy+y2−12x+13
=x2−2xy+y2+3x2−12x+12+1
=(x−y)2+3(x−2)2+1，
∴式子4x2−2xy+y2−12x+13的最小值是1．
【解析】(1)利用作差法比较大小．
(2)利用配方法进行解答．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式加减．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22.【答案】解：如图：
(1)△BCD即为所求；
(2)△ABF即为所求；
(3)线段BE即为所求．
【解析】(1)先根据面积求出高，再作图；
(2)根据网格线的特征作图；
(3)根据全等三角形的性质作图．
本题考作图的应用和设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
23.【答案】(0,1) (3.5,0)
【解析】解：将AD向下平移2个单位，得线段A′E，作点B关于y轴的对称点B′，连接EB′，A′B′，A′B′与y轴交于点E′，
则A′E=AD，BE=B′E，
∵点E在原点，点D(0,2)，
∴DE=2，
∴AD+DE+BE=A′E+2+B′E≥2+A′B′，
即AD+DE+BE的值最小时，点E位于点E′位置，
设A′B′的解析式为y=kx+b，
∵点A(−1,5)，点B(−1,−1)，
∴A′B′的图象过点A′(−1,3)，B′(1,−1)，
∴3=−k+b−1=k+b，
解得k=−2b=1，
∴A′B′的解析式为y=−2x+1，
当x=0时，y=1，
∴E′(0,1)，
∴当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为(0,1)，
故答案为：(0,1)；
将AD向下平移2个单位得到A′′E，将CF向左平移1个单位得到C′′E，连接A′′C′′交x轴于点E′′，
则A′′E=AD，C′′E=CF，
∵点E在原点，点D(0,2)，点F(1,0)，
∴DE=2，EF=1，
∴AD+DE+EF+CF=A′′E+2+1+C′′E≥3+A′′C′′，
即当AD+DE+EF+CF的值最小时，点E位于E′′处，
设A′′C′′的解析式为y=mx+n，
∵点A(−1,5)，点C(6,−1)，
∴A′′C′′图象过点A′′(−1,3)，C′′(5,−1)，
∴3=−m+n−1=5m+n，
解得m=−23n=73，
∴A′′C′′的解析式为y=−23x+73，
当y=0时，0=−23x+73，
解得x=3.5，
∴E′′(3.5,0)，
∴当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为(3.5,0)，
故答案为：(3.5,0)．
将AD向下平移2个单位，得线段A′E，作点B关于y轴的对称点B′，连接EB′，A′B′，A′B′与y轴交于点E′，可以推出当AD+DE+BE的值最小时，E点位于E′处，再求出A′B′的解析式即可求出E′的坐标；将AD向下平移2个单位得到A′′E，将CF向左平移1个单位得到C′′E，连接A′′C′′交x轴于点E′′，可以推出当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点位于E′′处，再求出A′′C′′的解析式即可求出E′′的坐标．
本题考查最短路线问题，解答时涉及轴对称，平移，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意得：4000a=6000a+50，
解得：a=100，
经检验，a=100是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
(2)①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：y=(200−100)x+(300−150)(300−x)=−50x+45000，其中80≤x≤120，
∵−50<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=80时，y的最大值=−50×80+45000=41000，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：y=100x+(150−m)(300−x)=(m−50)x+45000−300m，
∵m<50，
∴m−50<0，
∴y随x的增大而减小，
∵80≤x≤120，
∴当x=120时，y的最小值=(m−50)×120+45000−300m≥31800，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
【解析】(1)由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：(1)∵a，b满足(a−4)2+|a−b|=0，(a−4)2≥0，|a−b|≥0，
∴(a−4)2=0，|a−b|=0，
解得a=4b=4，
∴A(4,0)，B(0,4)；
(2)①∵PM⊥AP，
∴∠MPA=∠AOP=90°，
∴∠MPB+∠APO=∠OAP+∠APO=90°，
∴∠MPB=∠OAP，
又∵BR//MP，
∴∠MPB=∠RBO，
∴∠PAO=∠RBO，
而A(4,0)，B(0,4)
∴OA=OB，
在△OBR和△OAP中，
∠RBO=∠OAPOB=OA∠ROB=∠POA，
∴△RBO≌△PAO(ASA)，
∴RO=PO；
∵P(0,t)且点P在y轴正半轴上，
∴R(−t,0)；
②如图3，过点M作MN⊥y轴于N，
∵PM⊥PA，
∴∠MPA=90°，
∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠MPN=∠PAO，
∵PM=PA，∠PNM=∠POA=90°，
∴△PMN≌△APO(AAS)，
∴MN=PO，PN=OA，
又∵OA=OB，
∴OB=PN，
∴BN=OP=MN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠NBM=45°，
∴M点在过B点且与y轴正半轴成45°夹角的直线上运动；
如图4，设直线BM与x轴交于点D，当OM⊥BD时，OM最小，
∵∠MBN=∠OBA=∠BAO=45°，
∴△BDA是等腰直角三角形，
∴△BOD是等腰直角三角形，且BD=BA，
又∵OM⊥BD，
∴△BMO、△DMO均是等腰直角三角形，
∴OM=BM=MD=12BD，∠MOD=∠BAO，
∴OM=12AB且OM//AB；
【解析】(1)直接根据平方的非负性和绝对值的非负性求出a、b的值即可；
(2)①先根据平行线的性质求出∠PAO=∠RBO，再根据全等三角形的判定和性质求出RO=PO，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；
②过点M作MN⊥y轴于N，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到BN=OP=MN，求出∠NBM=45°，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可．
此题考查的是绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算．茶叶品种
进价(元/斤)
售价(元/斤)
甲
a
200
乙
a+50
300
1.下列图形中，具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
2.要使分式x−1x−2有意义，则x的取值应满足( )
A. x≠2B. x≠1C. x=2D. x=1
3.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，咸宁市积极普及科学防控知识，如图是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. 打喷嚏捂口鼻B. 防控疫情我们在一起
C. 有症状早就医D. 勤洗手勤通风
4.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，数0.000000102用科学记数法表示为( )
A. 1.02×10−7B. 1.02×10−8C. 10.2×10−8D. 102×10−9
5.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( )
A. a2−1B. a2+a
C. (a+2)2−2(a+2)+1D. a2+a−2
6.将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 15°
7.如图，△ABC中，AB
C. D.
8.若9x2+mxy+16y2是完全平方式，则m=( )
A. 12B. 24C. ±12D. ±24
9.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E三点共线，AD与BE、BC分别交于点F、M，BE与CD交于点N，下列结论中错误的有个．( )
①AM=BN；
②△ABF≌△DNF；
③∠FMC+∠FNC=180°；
④MN//AC．
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB的长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个n边形的内角和等于720°，则n=______．
12.分式32a3b2c与a−b6a2b4c的最简公分母是 ．
13.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若∠B=70°，∠AED=50°，则∠A的度数为______．
14.若关于x的方程1x−4+mx+4=m+3x2−16无解，则m的值为______．
15.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，则B点的坐标是______．
16.如图，四边形ABCD，AD=1，AB=2 3，BC=3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB=60°，则DC的最大值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.解方程：
(1)x2x−1=2−31−2x
(2)x+1x−1−4x2−1=1
18.先化简，再求值m2−4m+4m−1÷(3m−1−m−1)，其中m= 2−2．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(x+1)(x−3)；
(2)因式分解：3x2+6xy+3y2．
20.(本小题6分)
如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF，求证：∠A=∠D．
21.(本小题8分)
简读以下材料并解决问题：
①若a−b≥0，则a≥b；若a−b≤0，则a≤b．
②∵x2+6x+10=(x+3)2+1∴x2+6x+10有最小值1
③∵2x2−8x−1=2(x−2)2−9∴2x2−8x−1有最小值−9
(1)已知P=2x2−4x−1，Q=x2−6x−6，比较P与Q的大小．
(2)设x、y为实数，求式子4x2−2xy+y2−12x+13的最小值．
22.(本小题8分)
如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图1中画出一个以BC为一边，面积为12的三角形；
(2)在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形；
(3)在图2中画出△ABC的角平分线BE(△ABC的三个顶点都在格点上).按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．
23.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D(0,2)，点F(1,0)，线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A(−1,5)，点B(−1,−1)，点C(6,−1)，连AD，BE，CF.若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为______；若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为______．
24.(本小题10分)
青山绿水育佳茗，高山云雾出好茶.阳新县山水资源优越，地处北纬30°黄金产带，孕育了众多优质名茶，是全国十二个贡品名茶产区之一.某茶叶店计划从白浪尖春茶场购进甲、乙两种龙井茶进行销售，两种茶叶的进价和售价如下：
已知用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．
(1)求a的值；
(2)茶叶店计划购进甲、乙两种茶叶共300斤，其中甲种茶叶不少于80斤且不超过120斤．
①求销售完这两种茶叶的最大利润；
②“五一”期间，茶叶店让利销售，将乙种茶叶的售价每斤降低m元(m<50)，甲种茶叶的售价不变，为保证销售完这两种茶叶的利润的最小值不低于31800元，求m的最大值．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(a,0)，B(0,b)，且a，b满足(a−4)2+|a−b|=0．
(1)求点A、点B的坐标．
(2)P(0,t)为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM=PA．
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标(用含t的式子表示)．
②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，线段OM与AB的关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的稳定性．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，就具有稳定性．
【解答】
解：A选项中分割成了6个三角形，所以具有稳定性，其他则不具备．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得，x−2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0，分式无意义，分母等于0．
3.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称，进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：0.000000102=1.02×10−7．
故选：A．
根据科学记数法的定义即可得．
本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义(将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法)是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式=(a+1)(a−1)，故此选项不符合题意；
B、原式=a(a+1)，故此选项不符合题意；
C、原式=(a+1)2，故此选项不符合题意；
D、原式=(a−1)(a+2)，故此选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由三角板的性质可得：∠2=30°，∠3=45°，
∴∠1=∠2+∠3=30°+45°=75°．
故选：C．
先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵PA+PB=BC，而PC+PB=BC，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
由PA+PB=BC和PC+PB=BC易得PA=PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8.【答案】D
【解析】解：∵9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，
∴mxy=±2⋅3x×4y=±24xy，
∴m=±24．
故选D．
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，这里首末两项是3x和4y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y的积的2倍．
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用．本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的2倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
9.【答案】B
【解析】解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
在△DMC和△ENC中，
∠MDC=∠NECDC=EC∠MCD=∠NCE=60°，
∴△DMC≌△ENC(ASA)，
∴DM=EN，CM=CN，
∴AD−DM=BE−EN，即AM=BN；
故①正确，
②∵∠ABC=∠BCD=60°，
∴AB//CD，
∴∠BAF=∠CDF，
但没有边相等的条件，找不出全等的条件；
故②错误；
③∵∠AFB+∠ABC+∠CBF+∠BAF=180°，∠FBC=∠CAF，
∴∠AFB+∠ABC+∠CAF+∠BAF=180°，
即∠AFB+∠ABC+∠BAC=180°
∴∠AFB=60°，
∴∠MFN=120°，
∵∠MCN=60°，
∴∠MFN+∠MCN=180°；
∴∠FMC+∠FNC=180°；
故③正确；
④∵CM=CN，∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=60°，
∵∠DCE=60°，
∴MN//AC．
故④正确．
故选：B．
①根据等边三角形性质得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，求出∠BCE=∠ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；
②根据∠ABC=∠BCD=60°，求出AB//CD，找不出全等的条件；
③根据角的关系可以求得∠AFB=60°，可求得MFN=120°，根据∠BCD=60°可解题；
④根据CM=CN，∠MCN=60°，可求得∠CNM=60°，可判定MN//AC．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE′B=30°，则BE′=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，进而可求出AB的长．
【解答】
解：作E点关于CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE′，
∴EP+FP=PE′+PF=E′F，此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B=30°，
∴BE′=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E′B=10，
∵CE=CE′，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=AB=7．
故选：A．
11.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，依此列方程可求解．
【解答】
解：依题意有：
(n−2)⋅180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
12.【答案】6a3b4c
【解析】【分析】
此题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是解题的关键．
根据确定最简公分母的方法：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，即可得出答案．
【解答】
解：分式32a3b2c与a−b6a2b4c的最简公分母是6a3b4c，
故答案为：6a3b4c.
13.【答案】60°
【解析】解：∵DE//BC，∠AED=50°，
∴∠AED=∠C=50°，
∵∠B=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=60°，
故答案为：60°．
由两直线平行同位角相等，可得∠AED=∠C=50°，再根据三角形内角和定理即可作答．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的知识，掌握三角形内角和定理、两直线平行同位角相等，是解答本题的关键．
14.【答案】−1或5或−13
【解析】解：去分母得：x+4+m(x−4)=m+3，
可得：(m+1)x=5m−1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=−1，
当m+1≠0时，
则x=5m−1m+1=±4，
解得：m=5或−13，
综上所述：m=−1或5或−13，
故答案为：−1或5或−13．
直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
15.【答案】(1,4)
【解析】解：如图，过A和B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC,
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(−2,0)，点A的坐标为(−6,3)，
∴OC=2，AD=CE=3，OD=6，
∴CD=OD−OC=4，OE=CE−OC=3−2=1，
∴BE=4，
∴则B点的坐标是(1,4)，
故答案为：(1,4)．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线证明全等三角形．
过A和B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
16.【答案】4+ 3
【解析】【详解】
解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，
由翻折可知：∠AED=∠MED，∠BEC=∠NEC，AD=MD=1，BC=NC=3，
∵E是AB中点，AB=2 3，
∴AE=ME=BE=NE= 3，
∵∠DEA+∠CEB=60°，
∴∠AEM+∠BEN=120°，
∴∠MEN=60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴MN= 3，
∴CD≤DM+MN+CN，
当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为1+3+ 3=4+ 3，
故答案为：4+ 3．
将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，证明△EMN是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得CD≤DM+MN+CN，即可求出最大值．
本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明△EMN是等边三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)去分母得到：x=4x−2+3，
解得：x=−13，
经检验x=−13是分式方程的解；
(2)去分母得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：原式=(m−2)2m−1÷(3m−1−m2−1m−1)
=(m−2)2m−1÷4−m2m−1
=(m−2)2m−1⋅m−1−(m+2)(m−2)
=−m−2m+2，
当m= 2−2时，
原式=− 2−2−2 2−2+2
=− 2−4 2
=−1+2 2．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：(1)原式=x2−3x+x−3=x2−2x−3；
(2)原式=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2．
【解析】(1)根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项可得；
(2)先提取3，再利用完全平方公式分解可得．
本题主要考查多项式乘多项式与因式分解，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及因式分解的步骤．
20.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠A=∠D．
【解析】先证明BC=EF，再证明△ABC≌△DEF(SAS)，即可作答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵P=2x2−4x−1，Q=x2−6x−6，
∴P−Q=(2x2−4x−1)−(x2−6x−6)=x2+2x+5=(x+1)2+4>0，
∴P>Q；
(2)∵4x2−2xy+y2−12x+13
=x2−2xy+y2+3x2−12x+12+1
=(x−y)2+3(x−2)2+1，
∴式子4x2−2xy+y2−12x+13的最小值是1．
【解析】(1)利用作差法比较大小．
(2)利用配方法进行解答．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式加减．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
22.【答案】解：如图：
(1)△BCD即为所求；
(2)△ABF即为所求；
(3)线段BE即为所求．
【解析】(1)先根据面积求出高，再作图；
(2)根据网格线的特征作图；
(3)根据全等三角形的性质作图．
本题考作图的应用和设计，掌握网格线的特征是解题的关键．
23.【答案】(0,1) (3.5,0)
【解析】解：将AD向下平移2个单位，得线段A′E，作点B关于y轴的对称点B′，连接EB′，A′B′，A′B′与y轴交于点E′，
则A′E=AD，BE=B′E，
∵点E在原点，点D(0,2)，
∴DE=2，
∴AD+DE+BE=A′E+2+B′E≥2+A′B′，
即AD+DE+BE的值最小时，点E位于点E′位置，
设A′B′的解析式为y=kx+b，
∵点A(−1,5)，点B(−1,−1)，
∴A′B′的图象过点A′(−1,3)，B′(1,−1)，
∴3=−k+b−1=k+b，
解得k=−2b=1，
∴A′B′的解析式为y=−2x+1，
当x=0时，y=1，
∴E′(0,1)，
∴当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为(0,1)，
故答案为：(0,1)；
将AD向下平移2个单位得到A′′E，将CF向左平移1个单位得到C′′E，连接A′′C′′交x轴于点E′′，
则A′′E=AD，C′′E=CF，
∵点E在原点，点D(0,2)，点F(1,0)，
∴DE=2，EF=1，
∴AD+DE+EF+CF=A′′E+2+1+C′′E≥3+A′′C′′，
即当AD+DE+EF+CF的值最小时，点E位于E′′处，
设A′′C′′的解析式为y=mx+n，
∵点A(−1,5)，点C(6,−1)，
∴A′′C′′图象过点A′′(−1,3)，C′′(5,−1)，
∴3=−m+n−1=5m+n，
解得m=−23n=73，
∴A′′C′′的解析式为y=−23x+73，
当y=0时，0=−23x+73，
解得x=3.5，
∴E′′(3.5,0)，
∴当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为(3.5,0)，
故答案为：(3.5,0)．
将AD向下平移2个单位，得线段A′E，作点B关于y轴的对称点B′，连接EB′，A′B′，A′B′与y轴交于点E′，可以推出当AD+DE+BE的值最小时，E点位于E′处，再求出A′B′的解析式即可求出E′的坐标；将AD向下平移2个单位得到A′′E，将CF向左平移1个单位得到C′′E，连接A′′C′′交x轴于点E′′，可以推出当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点位于E′′处，再求出A′′C′′的解析式即可求出E′′的坐标．
本题考查最短路线问题，解答时涉及轴对称，平移，三角形两边之和大于第三边，能用一条线段表示两线段和的最小值是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意得：4000a=6000a+50，
解得：a=100，
经检验，a=100是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
(2)①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：y=(200−100)x+(300−150)(300−x)=−50x+45000，其中80≤x≤120，
∵−50<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=80时，y的最大值=−50×80+45000=41000，
答：销售完这两种茶叶的最大利润为41000元；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，
由题意得：y=100x+(150−m)(300−x)=(m−50)x+45000−300m，
∵m<50，
∴m−50<0，
∴y随x的增大而减小，
∵80≤x≤120，
∴当x=120时，y的最小值=(m−50)×120+45000−300m≥31800，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
【解析】(1)由题意：用4000元购进甲种茶叶的数量与用6000元购进乙种茶叶的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)①设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种茶叶x斤，销售完这两种茶叶的总利润为y元，由题意得出y与x的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：(1)∵a，b满足(a−4)2+|a−b|=0，(a−4)2≥0，|a−b|≥0，
∴(a−4)2=0，|a−b|=0，
解得a=4b=4，
∴A(4,0)，B(0,4)；
(2)①∵PM⊥AP，
∴∠MPA=∠AOP=90°，
∴∠MPB+∠APO=∠OAP+∠APO=90°，
∴∠MPB=∠OAP，
又∵BR//MP，
∴∠MPB=∠RBO，
∴∠PAO=∠RBO，
而A(4,0)，B(0,4)
∴OA=OB，
在△OBR和△OAP中，
∠RBO=∠OAPOB=OA∠ROB=∠POA，
∴△RBO≌△PAO(ASA)，
∴RO=PO；
∵P(0,t)且点P在y轴正半轴上，
∴R(−t,0)；
②如图3，过点M作MN⊥y轴于N，
∵PM⊥PA，
∴∠MPA=90°，
∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠MPN=∠PAO，
∵PM=PA，∠PNM=∠POA=90°，
∴△PMN≌△APO(AAS)，
∴MN=PO，PN=OA，
又∵OA=OB，
∴OB=PN，
∴BN=OP=MN，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠NBM=45°，
∴M点在过B点且与y轴正半轴成45°夹角的直线上运动；
如图4，设直线BM与x轴交于点D，当OM⊥BD时，OM最小，
∵∠MBN=∠OBA=∠BAO=45°，
∴△BDA是等腰直角三角形，
∴△BOD是等腰直角三角形，且BD=BA，
又∵OM⊥BD，
∴△BMO、△DMO均是等腰直角三角形，
∴OM=BM=MD=12BD，∠MOD=∠BAO，
∴OM=12AB且OM//AB；
【解析】(1)直接根据平方的非负性和绝对值的非负性求出a、b的值即可；
(2)①先根据平行线的性质求出∠PAO=∠RBO，再根据全等三角形的判定和性质求出RO=PO，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；
②过点M作MN⊥y轴于N，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到BN=OP=MN，求出∠NBM=45°，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可．
此题考查的是绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算．茶叶品种
进价(元/斤)
售价(元/斤)
甲
a
200
乙
a+50
300
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