2022-2023学年湖北省黄石市阳新县光谷实验学校八年级（上）期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年湖北省黄石市阳新县光谷实验学校八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是．(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  小明用尺规在上作图，并留下如图所示的痕迹，若，，则与的面积之比为(    )

A. ：      B. ：       C. ：      D. ：

5.  因式分解：的结果是(    )

A.          B.
C.               D.

6.  如图，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足的数量关系是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  当分式与经过计算后的结果是时，则它们进行的运算是(    )

A. 分式的加法 B. 分式的减法 C. 分式的乘法 D. 分式的除法

8.  若是完全平方式，与的乘积中不含的次项则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  如图，直线经过一个正多边形的顶点，若，则此正多边形为(    )

A. 正七边形    B. 正八边形   C. 正九边形    D. 正十边形

10.  如图，为线段上一动点不与点，重合，在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接以下五个结论：；；；； 其中正确的结论的个数是(    )

A. 个      B. 个      C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）

11.  点关于轴的对称点的坐标是______．

12.  分式的值为，则的值是          ．

13.  一个正多边形的每个外角都是，则这个正多边形的对角线有______ 条．

14.  等腰三角形的一个角是，则它的顶角是______．

15.  如图，是的角平分线，，垂足为，，，则______．
16.  在中，，中线，则边的取值范围是______ ．

17.  已知，则______．

18.  如图所示，图是边长为的等边三角形纸板，周长记为，沿图的底边剪去一块边长为的等边三角形，得到图，周长记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的，得图，图的周长记为，若，则______．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  （本小题8.0分）先化简，再求值：，其中满足方程．

20.  本小题分           
因式分解：；
化简：．

21.  本小题分
如图，点，在上，，，求证：≌．
 

22.  本小题分
如图，网格中的每一个正方形的边长为，为格点三角形，直线为格点直线点、、、、在小正方形的顶点上．
 

仅用直尺在图中作出关于直线的对称图形．

如图，仅用直尺将网格中的格点三角形的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．

如图，仅用直尺作三角形的边上的高，简单说明你的理由．

23.  本小题分
为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运趟可完成，需支付运费元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的倍，且乙车每趟运费比甲车少元．
求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
若单独租用一台车，租用哪台车合算？

24.  本小题分
已知，在中，，，，，垂足分别为点，．
如图，求证：；      
如图，点为的中点，连接，请判断的形状？并说明理由．
 

25.  本小题分
等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上．

如图，求证：；
如图，若，，求点的坐标；
如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【解答】
解：、，不能组成三角形，故此选项错误；
B、，不能组成三角形，故此选项错误；
C、，不能组成三角形，故此选项错误；
D、，能组成三角形，故此选项正确；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握计算法则是得出正确答案的前提．利用合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【解答】
解：，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹可知，平分，
过点分别作于点，于点，

，
，，
，
，，
，
故选：．
由作图痕迹可知，平分，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可．
此题考查了三角形的面积，熟记角平分线的作法及性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式
，
故选：．
先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：令为，为，，
，
，
，即，
．
故选：．
令为，为，，根据即可得到与满足的数量关系．
本题考查了角的计算，余角和补角，掌握角的和差倍分关系是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
进行的是分式的加法运算，
故选：．
根据计算的结果的形式，可以得出可能进行的分式的加减运算，再尝试计算可得出结论．
考查分式的运算，掌握运算法则并正确的运算是正确选择的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，不含的一次项，
，，
解得：或，，
当，时，；
当，时，，
则或，
故选：．
利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故此正多边形为正八边形．
故选：．
根据多边形内角与外角的关系，以及平角的定义可求多边形的一个外角，再用除以正多边形的一个外角可得正多边形的边数．
本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟记多边形的内角与外角的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，
，，
≌
，故本选项正确；
≌
，
又，，
≌，
，又，
为等边三角形，
，
，故本选项正确；
，
，
，
，，
≌，
，，故本选项正确；
已知、为正三角形，
故，
又因为，，
故D不等于，故本选项错误；
、为正三角形，
，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
故本选项正确．
综上所述，正确的结论是．
故选C．
根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．根据等边三角形的性质可证，由三角形内角和外角定理可证，所以
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标不变，纵坐标互为相反数得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
根据分式的值为零的条件得到且，易得．
【解答】
解：分式的值为，
且，
．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
因为是正多边形，所以每个外角都相等，根据多边形的外角和是，很容易确定边数．正多边形的边数确定了，那么根据一个多边形有条对角线，很容易算出有多少条．
本题主要考查的是多边形的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何边形的对角线条数为条．
【解答】
解：每个外角都是，
多边形边数为，
，
这个正多边形的对角线是条，
故应填：．  

14.【答案】或 

【解析】解：是底角，则顶角为：；
为顶角；
综上所述，顶角的度数为或．
故答案为：或．
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
，
即
是的角平分线，
，
，
联立可得解得：
故答案为：
设，，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出与的值．
本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于与的方程组，本题属于中等题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：延长到使，连接，
是的中点，
．
在和中
，
≌，
．
，
．
由三角形的三边关系为：
，
即．
故答案为：．
如图，延长到使，连接，通过证明≌就可以得出，在中，由三角形的三边关系就可以得出结论．
本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的三边关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：






．
故答案为．
根据已知，可得可以利用这个等式对预求的代数式进行降次、化简．
本题考查代数式的化简和求值．熟练运用乘法公式是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，

，
则，
故答案为：．
根据等边三角形的性质三边相等求出等边三角形的周长，，，，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
 

19.【答案】解：原式
，
，
，
原式． 

【解析】先把分式化简后，再整体代入法代入求出分式的值
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

20.【答案】解：，
，
；

，
，
． 

【解析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
利用完全平方公式与平方差公式展开，然后合并同类项即可得解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，题利用了完全平方公式与平方差公式．
 

21.【答案】证明：，
，
，
在与中，
≌． 

【解析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是求证，本题属于基础题型．
根据全等三角形的判定即可求证：≌．
 

22.【答案】解：如图中，即为所求．


解：如图，取格点，计算可知平方单位

本题方法多，列举部分方法如下：

解：如图，选择格点、，证明≌于是，．
选择格点，证明≌，于是，．
为线段的垂直平分线，设与相交于点，则为所要求的的边上的高．
 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
如图，取格点，计算可知平方单位本题方法多只要满足条件即可．
如图，选择格点、，证明≌于是，选择格点，证明≌，于是，推出为线段的垂直平分线，设与相交于点，则为所要求的的边上的高．
本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，
根据题意得出：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：趟，
答：甲车单独运完此堆垃圾需趟，乙车单独运完此堆垃圾需趟．
设甲车每一趟的运费是元，由题意得：
，
解得：，
则乙车每一趟的费用是：元，
单独租用甲车的总费用是：元，
单独租用乙车的总费用是：元，
，
故单独租用一台车时，租用乙车合算． 

【解析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
假设甲车单独运完此堆垃圾需运趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据工作总量工作时间工作效率，建立方程求解即可；
分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需的费用，再根据关键语句“两车各运趟可完成，需支付运费元”可得方程，再解出方程，再分别计算出单独租用甲或乙所需费用进行比较即可．
 

24.【答案】解：证明：，，
，
．
，
，
．
在和中，
≌，
，，
；
是等腰直角三角形．
理由：如图，连接．

，，点是中点，
，，，
．
，
，且，
．
在和中，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
根据条件可以得出，进而得出≌，就可以得出，；
如图，连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证≌，可得，，再证，可证是等腰直角三角形．
 

25.【答案】解：证明：，，
，
；
如图，过点作轴于点，
则，

在和中，
≌，
，，
．
又点在第三象限，
；
的长度不会发生改变．
理由：如图，过点作，交轴于点，
则，

等腰、等腰，
，
，
．
又，
．
在和中，
≌，
，．
，
．
点，，
，，
，
．
，
．
在和中，
≌，
．
又，
，
即的长度始终是． 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
根据同角的余角相等得出结论即可；
先过点作轴于点，再判定≌，求得，，进而得出，即可得到点的坐标；
过点作，交轴于点，证≌，得出，，然后根据点，，求得，再证≌，得出，即可求得定值．