2023-2024学年湖北省黄石市大冶市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省黄石市大冶市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，8B．3，3，6C．3，4，5D．4，5，9
3．如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
4．在下列条件①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A＝∠B＝∠C；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图，AH⊥BC，AD是△ABC的中线，DC＝16，AH＝14，则△ABD的面积为（ ）
A．112B．102C．122D．224
6．如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（ ）
A．110°B．140°C．220°D．70°
8．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（ ）
A．62°B．58°C．52°D．46°
9．如图，点D是等边△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE，点C，E在BD同侧，下列结论：①∠ABD＝30°；②CE∥AB；③CB平分∠ACE；④CE＝AD，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5B．3C．D．
二、填空题。（3分x6＝18分）
11．点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 ．
13．一个凸多边形每一个内角都是135°，则这个多边形是 边形．
14．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝8，PD＝ ．
15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为Rt△ABC内一点，∠ADC＝90°，若△BCD的面积为8，则CD＝ ．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BCD＝140°，∠ACD＝40°，则∠ADB＝ ．
三、解答题。（共8小题，8分+8分+8分+8分+9分+9分+10分+12分）
17．如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB＝CE，AB＝ED，AC＝DF．求证：AB∥DE．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝60°，∠B＝40°，求∠EAD的度数；
（2）若∠C＝α，∠B＝β，求∠EAD的度数（用含α、β的式子来表示）．
19．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．求证
（1）Rt△BCE≌Rt△CBD；
（2）AF平分∠BAC．
20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠C的度数．
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，若AE⊥BF．
①求证：BE是∠CBA的角平分线；
②若BC＝2，AD＝1时，求AB的长．
22．如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，点D是AB与网格线的交点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）作AB边上高CE；
（2）画出点D关于AC的对称点F；
（3）画射线BP，平分∠ABC．
23．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足|a﹣2|+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF＝BC；
②直接写出点C到DE的距离．
参考答案
一、选择题。（3分x10＝30分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，8B．3，3，6C．3，4，5D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、2+5＝7＜8，不能构成三角形，此项不符题意；
B、3+3＝6，不能构成三角形，此项不符题意；
C、4+5＞5，能构成三角形，此项符合题意；
D、4+5＝9，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
3．如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．AD＝AED．BD＝CE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添加AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BD＝CE，可证明AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．在下列条件①∠A+∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A＝∠B＝∠C；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据三角形内角和定理和四个条件中∠A、∠B、∠C的关系，分别求出各条件下三角形中最大的角，然后根据三角形的分类进行判断．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∠A+∠B＝∠C，
∴∠C+∠C＝180°，解得∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，所以①正确；
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝72°，
∴△ABC为锐角三角形，所以②错误；
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C+∠C+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，所以③正确；
∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了直角三角形的定义．
5．如图，AH⊥BC，AD是△ABC的中线，DC＝16，AH＝14，则△ABD的面积为（ ）
A．112B．102C．122D．224
【分析】利用三角形面积公式和三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算求出即可．
解：∵AD，AH分别是△ABC的中线和高，DC＝16，AH＝14，
∴S△ABD＝S△ACD＝＝＝112．
故选：A．
【点评】本考查了三角形的面积，知道三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
6．如图，△ABC为等边三角形，延长CB到点D，使BD＝BC．延长BC到点E，使CE＝BC．连接AD，AE，则∠DAE的度数是（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA，结合已知条件可求得∠BAD＝∠CAE＝30°，进而可求解∠DAE的度数．
【解答】解∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝CA．
∵BD＝BC，
∴AB＝BD．
∴．
同理，∠CAE＝30°．
∴∠DAE＝120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，求解∠BAD，∠CAE的度数是解题的关键．
7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（ ）
A．110°B．140°C．220°D．70°
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠A＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）＝360°﹣2×110°＝140°．
解法二：连接AA′．
∵∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A，
∴∠1+∠2＝∠BAC+∠EA′D′＝2∠CAB＝140°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
8．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（ ）
A．62°B．58°C．52°D．46°
【分析】先由等腰△ABC中∠ABC＝116°求得∠A＝∠C＝32°，进而结合垂直平分线的性质求得∠A＝∠ABE＝32°，∠C＝∠CBQ＝32°，最后得到∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°．
解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°，
∴∠A＝∠C＝32°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．
9．如图，点D是等边△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE，点C，E在BD同侧，下列结论：①∠ABD＝30°；②CE∥AB；③CB平分∠ACE；④CE＝AD，其中错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，分别对各个结论进行推理判断即可．
解：∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BD＝BE，
∴∠ABD＝∠CBE，①不正确；
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠A＝∠BCE＝60°，AD＝CE，④正确；
∴∠BCE＝∠ABC，
∴CE∥AB，②正确；
∵∠CBE＝∠ACB＝60°，
∴CB平分∠ACE，③正确；
∴错误的有1个，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5B．3C．D．
【分析】由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，可得OC＝OD＝CD＝OP，即可得出结果．
解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝OP，
∵△PMN周长的最小值是3cm，
∴PM+PN+MN＝3cm，
∴DM+CN+MN＝3cm，
即CD＝3cm＝OP，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△COD等边三角形是解决问题的关键．
二、填空题。（3分x6＝18分）
11．点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
12．三角形两边长分别是2，4，第三边长为偶数，第三边长为 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长．
解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，4﹣2＜a＜4+2．
即2＜a＜6，
由周长为偶数，
则a为4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
13．一个凸多边形每一个内角都是135°，则这个多边形是 八 边形．
【分析】已知每一个内角都等于135°，就可以知道每个外角是45度，根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．
解：多边形的边数是：n＝360°÷（180°﹣135°）＝8．
故这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【点评】考查了多边形内角与外角，通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法．
14．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝8，PD＝ 4 ．
【分析】根据平行线的性质、三角形的外角性质得到∠BCP＝30°，根据直角三角形的性质求出PE，根据角平分线的性质定理求出PD．
解：作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠AOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
∴∠BCP＝∠CPO+∠BOP＝30°，
∴PE＝PC＝4，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为Rt△ABC内一点，∠ADC＝90°，若△BCD的面积为8，则CD＝ 4 ．
【分析】过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，由“AAS”可证△ACD≌△CBH，可得BH＝CD，由三角形面积公式可求解．
解：如图，过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
∵BH⊥CD，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠H＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠BCD+∠CBH，
∴∠ACD＝∠CBH，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH＝CD，
∵△BCD的面积为8，
∴×CD×BH＝8，
∴CD＝4，
故答案为4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BCD＝140°，∠ACD＝40°，则∠ADB＝ 50° ．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的判定，三角形外角的性质等．如图所示，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交BA、BC的延长线与E、F．过点D作DH⊥AC于H，先求出∠DCF＝40°，∠ACB等于100°，进而证明CD平分∠ACF，得到DH＝DF．同理得到DE＝DF，则DE＝DH，由此可得AD平分∠EAH，可利用三角形外角的性质证明∠ADB＝∠ACB＝50°．
【解答】解，如图所示，过点DDE⊥AB，DF⊥BC，分别交BA、BC延长线与E、F，过点D作DH⊥AC于H，
∵∠BCD＝140°，
∴∠DCF＝40°，∠ACB＝100°．
∴∠DCF＝∠ACD．
∴CD平分∠ACF．
∵DF⊥BC，DH⊥AC．
∴DH＝DF，同理可得DE＝DF，
∴DE＝DH．
∴AD平分∠EAH，
∴∠DAE＝∠CAE
∴∠ADB＝∠DAE﹣∠ABD＝∠CAE﹣∠ABC＝（∠ABC+∠ACB）﹣∠ABC＝∠ACB＝50°，
故答案为50°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的判定，三角形外角的性质等，熟练掌握这些结论是解题的关键．
三、解答题。（共8小题，8分+8分+8分+8分+9分+9分+10分+12分）
17．如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB＝CE，AB＝ED，AC＝DF．求证：AB∥DE．
【分析】从已知AC∥DF⇒∠ACF＝∠DFE，FB＝CE⇒BC＝EF，推出△ABC≌△DEF，即可得出AB＝DE．
【解答】证明：∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E，
∴AB∥DE．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝60°，∠B＝40°，求∠EAD的度数；
（2）若∠C＝α，∠B＝β，求∠EAD的度数（用含α、β的式子来表示）．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理计算出∠BAC＝80°，再根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，接着利用互余计算出∠BAD＝50°，然后计算∠BAD﹣∠BAE即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到∠BAD＝90°﹣β，∠BAE＝90°﹣﹣，最后根据角的和差关系，即可得到∠DAE与α、β满足的数量关系式．
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣40°＝10°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣﹣，
∵∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE，
∴∠EAD＝90°﹣β﹣90°++＝﹣．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：利用三角形内角和定理可求三角形中角的度数，①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．求证
（1）Rt△BCE≌Rt△CBD；
（2）AF平分∠BAC．
【分析】（1）根据高的定义求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，证得EF＝DF，利用角平分线逆定理即可得证．
【解答】证明：（1）∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCE和△CBD是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）；
（2）∵Rt△BCE≌Rt△CBD，
∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，
∴CF＝BF，
∴CE﹣CF＝BD﹣BF，
∴EF＝DF，
又∵EF⊥AB，DF⊥AC，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∴AF平分∠BAC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠C的度数．
【分析】（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC＝AE＝BE，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD，∠CAD的度数，进而可求解．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C＝90°﹣20°＝70°．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，若AE⊥BF．
①求证：BE是∠CBA的角平分线；
②若BC＝2，AD＝1时，求AB的长．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠EBC＝∠F，而∠BEC＝∠FED，CE＝DE，即可根据“AAS”证明△BCE≌△FDE；
（2）①由全等三角形的性质得BE＝FE，则AE垂直平分BF，所以AB＝AF，则∠EBA＝∠F，所以∠EBA＝∠EBC，则BE是∠CBA的角平分线；
②由全等三角形的性质得BC＝FD＝2，则AB＝AF＝AD+FD＝3．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠F，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）．
（2）①证明：∵△BCE≌△FDE，
∴BE＝FE，
∵AE⊥BF，
∴AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠EBA＝∠F，
∵∠EBC＝∠F，
∴∠EBA＝∠EBC，
∴BE是∠CBA的角平分线．
②解：∵△BCE≌△FDE，BC＝2，AD＝1，
∴BC＝FD＝2，
∴AB＝AF＝AD+FD＝1+2＝3，
∴AB的长是3．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，推导出∠EBC＝∠F，进而证明△BCE≌△FDE是解题的关键．
22．如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，点D是AB与网格线的交点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）作AB边上高CE；
（2）画出点D关于AC的对称点F；
（3）画射线BP，平分∠ABC．
【分析】（1）找格点G，连接CG交AB于点E，则线段CE即为所求；
（2）作点B关于AC的对称点B'，连接AB'交网格于点F，则点F即为所求；
（3）找格点H，使线段BH＝AB，连接AH，作线段AH的中点P，作射线BP，则射线BP即为所求．
解：（1）如图所示，线段CE即为所求；
（2）如图所示，点F即为所求；
（3）如图所示，射线BP即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
23．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．
故答案为：（1）＝；（2）＝
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足|a﹣2|+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF＝BC；
②直接写出点C到DE的距离．
【分析】（1）由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；
（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE＝CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE＝CF，则结论得证；
②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠CDE＝∠CDF，由角平分线的性质可得CK＝CH＝1．
【解答】（1）解：∵|a﹣2|+＝0，
∵a﹣2≥0，≥0，
∴a﹣2＝0，2b+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，
∴A（0，2），B（﹣1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，
∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，
①当∠BAC＝90°时，如图1，过点C作CG⊥OA于G，
∴∠AGC＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∵∠BAO+∠CAG＝90°，
∴∠BAO＝∠ACG，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
在△AOB和△CGA中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，
∴OG＝OA﹣AG＝1，
∴C（2，1）；
②当∠ABC＝90°时，如图2，过点C作CG⊥BD于G，
同①得，△AOB≌△BGC（AAS），
∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，
∴OG＝BG﹣OB＝1，
∴C（1，﹣1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）；
（3）①证明：如图3，由（2）知点C（1，﹣1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，
在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE＝CE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAO+∠BEA＝90°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CF＝BC；
②解：点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，
由①知BE＝CF，
∵BE＝BC，
∴CE＝CF，
∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠DCF，
∵DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠CDE＝∠CDF，
∴CK＝CH＝1．
∴点C到DE的距离为1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．