2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市重点中学高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江市海林市重点中学高一（上）期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs420°=( )
A. 12B. 32C. −12D. − 32
2.命题“∃x∈Z，(x+1)2≤0”的否定是( )
A. ∀x∉Z，(x+1)2≥0B. ∀x∉Z，(x+1)2<0
C. ∀x∈Z，(x+1)2≥0D. ∀x∈Z，(x+1)2>0
3.已知集合U={1,2,3,4,5,6}，A={2,4,5}，B={1,3,6}，则A∩(∁UB)=( )
A. {6}B. {2,4,5}C. {2,4,6}D. {2,4,5,6}
4.cs(−300°)⋅sin17π6=( )
A. 14B. −14C. − 34D. 34
5.“α是钝角”是“α是第二象限角”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.sinα=35，α∈(π2,π)，则cs(π4−α)=( )
A. − 210B. − 25C. −7 210D. 7 210
7.函数fx=ax+2−1(a>0且a≠1)的图象恒过定点
( )
A. (−2,0)B. (−1,0)C. (0,−1)D. (−1,−2)
8.下列各角中与437°角的终边相同的是( )
A. 67°B. 77°C. 107°D. 137°
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>b，c<0，则下列不等式成立的是( )
A. ac2>bc2B. a+cb+cD. ac>bc
10.下列各式中，值为12的是( )
A. sin5π6B. sin245°C. 2−12D. 32tan210°
11.已知角θ是第二象限角，则角θ2所在的象限可能为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
12.对于函数f(x)=2sin(x+π3)下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)的最大值是2
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π6对称D. 函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：12lg25+lg2−lg29×lg32= ______ ．
14.若正数a，b满足：1a+1b=1，则a+4b的最小值为 ．
15.己知函数fx=−x+4,x<0x2,x≥0，若f(m)=4，则m=_____．
16.函数f(x)= 1−lg2x的定义域为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)已知csα=−35，且α∈0,π，求sinα，tanα．
(2)已知tanα=2，求sinα⋅csα的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(12x+π4)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
19.(本小题12分)
解下列不等式：
(1)x2−2x+3>0．
(2)x(3−x)≤x(x+2)−1．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs(π2+x)cs(3π2+x)sin(π−x)cs(2π−x)．
(1)求f(7π4)值；
(2)若f(x)=−2，求sinx(sinx+csx)1+sin2x的值．
21.(本小题12分)
已知sinα=−35，α∈(−π2,0)，求cs(π4−α)的值．
22.(本小题12分)
已知α为第三象限角，且f(α)=sin(π2−α)cs(−α)tan(π+α)cs(π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=2 55，求csα的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：cs420°=cs(360°+60°)=cs60°=12．
故选：A．
直接利用诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．
2.【答案】D
【解析】解：“∃x∈Z，(x+1)2≤0”的否定是：∀x∈Z，(x+1)2>0．
故选：D．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵U={1,2,3,4,5,6}，B={1,3,6}，
∴∁UB={2,4,5}，
∵A={2,4,5}，
∴A∩(∁UB)={2,4,5}．
故选：B．
通过集合的交并补混合运算直接得出答案．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：cs(−300°)⋅sin17π6
=cs(−360°+60°)⋅sin(2π+5π6)
=cs60°⋅sin5π6
=csπ3⋅sin(π−π6)
=csπ3⋅sinπ6
=12×12=14，
故选：A．
利用诱导公式化简求值即可．
本题考查三角函数求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，属于基础题．
由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，即可得出结果．
【解答】
解：若α是钝角，则α是第二象限角；
反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α=−210°．
∴“α是钝角”是“α是第二象限角”的充分非必要条件．
故本题选A．
6.【答案】A
【解析】解：sinα=35，α∈(π2,π)，
则csα=− 1−925=−45，
则cs(π4−α)=csπ4csα+sinπ4sinα
= 22×(−45+35)
=− 210．
故选A．
运用同角的平方关系，求得csα，再由两角差的余弦公式，即可得到所求值．
本题考查同角的平方关系，两角差的余弦公式及运用，考查运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：令x+2=0可得x=−2，此时f(−2)=0，即函数图象恒过定点(−2,0)．
故选：A．
结合指数函数的特殊点，可令x+2=0，代入可求．
本题主要考查了指数函数的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：与437°角的终边相同的角为θ=437°+360°⋅k，k∈Z，
当k=−1时，θ=437°−360°=77°，B正确；
将A，C，D代入θ=437°+360°⋅k，k∈Z，得出k均不是整数，
即其他三个选项均不合要求．
故选：B．
写出与437°角的终边相同的角为θ=437°+360°⋅k，k∈Z，即可得出正确答案．
本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：∵c<0，∴c2>0，
又∵a>b，
∴ac2>bc2，
故选项A符合题意；
∵a>b，
∴a+c>b+c，
故选项B不符合题意；
∵a>b，c<0，
∴a>b>b+c，
即a>b+c，
故选项C符合题意；
∵c<0，∴1c<0，
又∵a>b，
∴a⋅1c即ac故选项D不符合题意；
故选：AC．
由c<0知c2>0，从而利用不等式的性质判断选项A；
直接利用不等式的性质判断选项B即可；
直接利用不等式的性质判断选项C即可；
c<0知1c<0，从而利用不等式的性质判断选项D．
本题考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，sin5π6=sin(π−π6)=sinπ6=12；
对于B选项，sin245°=( 22)2=12；
对于C选项，2−12=1 2= 22；
对于D选项， 32tan210°= 32tan(180°+30°)= 32tan30°= 32× 33=12．
故选：ABD．
利用诱导公式、指数幂的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值，可得出合适的选项．
本题主要考查了三角函数化简求值，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：角θ是第二象限角，则2kπ+π2<θ<2kπ+π,k∈Z，
所以kπ+π4<θ2所以k为奇数时，θ2是第三象限角，k为偶数时，θ2是第一象限角，
故选：AC．
用不等式表出第二象限角θ的范围，再求得θ2的范围后判断．
本题主要考查了象限角的定义，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：对于函数f(x)=2sin(x+π3)，它的最小正周期为2π，故A错误；
函数f(x)的最大值是2，故B正确；
令x=7π6，求得f(x)=−2，为最小值，可得它的图象关于直线x=π6对称，故C正确；
令x=π6，求得f(x)=2，为最大值，可得它的图象关于直线x=π6对称，故D错误，
故选：BC．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：原式=lg5+lg2−2lg23×lg32=1−2=−1．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：正数a，b满足：1a+1b=1，
则a+4b=(a+4b)(1a+1b)=5+4ba+ab≥5+2 4ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab且1a+1b=1，即b=32，a=3时取等号，
故答案为：9
15.【答案】2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=−x+4,x<0x2,x≥0，若f(m)=4，
则有−m+4=4m<0或m2=4m≥0，
解可得：m=2；
故答案为：2．
根据题意，由函数的解析式可得−m+4=4m<0或m2=4m≥0，解可得m的值，即可得答案．
本题考查分段函数的求值，注意分段函数的解析式，属于基础题．
16.【答案】(0,2]
【解析】解：要使原函数有意义，则1−lg2x≥0，即lg2x≤1，
解得0∴函数f(x)= 1−lg2x的定义域为(0,2]．
故答案为：(0,2]．
由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵csα=−35，且α∈(0,π)，
∴sinα=45，tanα=sinαcsα=−43；
(2)∵tanα=2，
∴sinα⋅csα=sinα⋅csαsin2α+cs2α=tanα1+tan2α=21+4=25．
【解析】(1)根据csα=−35及α∈(0,π)即可求出sinα的值，进而根据切化弦公式可求出tanα的值；
(2)根据tanα=2可得出sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α，然后分子和分母同时除以cs2α即可得出答案．
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin(12x+π4)，故它的最小正周期为2π12=4π．
令x2+π4=kπ+π2，k∈Z，求得x=2kπ+π2，k∈Z，
可得函数的图象的对称轴方程为x=2kπ+π2，k∈Z．
(2)令2kπ−π2≤x2+π4≤2kπ+π2，k∈Z，求得4kπ−3π2≤x≤4kπ+π2，k∈Z，
可得函数的增区间为[4kπ−3π2,4kπ+π2]，k∈Z．
【解析】(1)由题意，利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论．
(2)由题意，根据正弦函数的增区间，得出结论．
本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的增区间，属于中档题．
19.【答案】解：(1)不等式x2−2x+3>0可化为(x−1)2+2>0，所以不等式的解集为R．
(2)不等式可化为2x2−x−1≥0，即(2x+1)(x−1)≥0，解得x≥1或x≤−12，
所以不等式的解集为(−∞,−12]∪[1,+∞)．
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)利用因式分解可求答案．
本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
20.【答案】解：(1)f(x)=−sinx⋅sinxsinx⋅csx=−tanx，
所以f(7π4)=−tan7π4=−tan(−π4)=tanπ4=1．
(2)f(x)=−tanx=−2，
所以tanx=2，
sinx(sinx+csx)1+sin2x=sin2x+sinxcsx2sin2x+cs2x=tan2x+tanx2tan2x+1=23．
【解析】(1)用诱导公式和同角三角函数基本关系化简f(x)，将7π4代入计算；
(2)由条件得tanx的值，将代数式化简成由tanx表示，代入计算即可．
本题主要考查了同角基本关系，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：由题意得，csα= 1−sin2α= 1−(−35)2=45．
所以cs(π4−α)=csπ4csα+sinπ4sinα
= 22×45+ 22×(−35)= 210．
【解析】由已知结合同角平方关系先求出csα，然后结合两角差的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)f(α)=csα⋅csα⋅tanα−csα=−sinα．
(2)∵f(α)=−sinα=2 55，
∴sinα=−2 55，
又α为第三象限角，
∴csα=− 1−sin2α=− 1−(−2 55)2=− 55．
【解析】(1)根据诱导公式化简即可；
(2)利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．