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新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何章末复习课学案湘教版选择性必修第二册
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这是一份新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何章末复习课学案湘教版选择性必修第二册,共7页。
章末复习课知识网络·形成体系考点聚焦·分类突破 考点一 空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.2.通过对空间向量的概念及运算的考查,提升学生的数学运算素养.例1 (1)如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则=( )A.-a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a+b-c(2)正四面体ABCD的棱长为2,点E,F分别为棱BC,AD的中点,则·的值为( )A.4 B.-4C.-2 D.2考点二 利用空间向量证明线面位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量,利用向量的共线和垂直进行证明.2.通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例2 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求证:(1)AF∥平面BDE;(2)CF⊥平面BDE.考点三 利用空间向量求空间角1.空间角的计算公式(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为v1,v2,则l1,l2的夹角θ满足cos θ=|cos 〈v1,v2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为v,n,则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ=|cos 〈v,n〉|.(3)设n1,n2分别是两个平面α,β的法向量,则两平面α,β夹角θ满足cos θ=|cos 〈n1,n2〉|.2.通过对利用向量计算空间角的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例3 如图,在四棱锥PABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AD∥BC,CD⊥PB,PD=AD=AB=BC=2.(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°,点E在线段AP上,且=3,求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值.考点四 利用空间向量计算距离1.空间距离的计算公式(1)直线l外一点P到直线l的距离:PQ==(其中A是l上的定点,是在l上的投影向量,=a,u是l的单位方向向量).(2)平面α外一点P到平面α的距离:PQ===(其中A是平面α内的定点,n是平面 α的法向量).2.通过对利用空间向量计算距离的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例4 长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,求:(1)M到直线PQ的距离;(2)M到平面AB1P的距离.章末复习课考点聚焦·分类突破例1 解析:(1)===-=-,∵=a,=b,=c,∴=-a+b+c.(2)∵==,∴·=()·=+·=×22cos 60°-22+×22×cos 60°=-2.答案:(1)A (2)C例2 证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG,因为EG⊄平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C xyz,则C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(,,1).所以=(,1),=(0,-,1),=(-,0,1).所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0.所以CF⊥BE,CF⊥DE.又BE=E,所以CF⊥平面BDE.例3 解析:(1)证明:取BC中点F,连接DF.∵AD∥BF,且AD=BF,∴四边形ABFD为平行四边形.则DF=AB=BC,于是CD⊥BD.又∵CD⊥PB,PB=B,∴CD⊥平面PBD.又∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD.又∵平面PCD⊥平面ABCD且交线为CD,∴PD⊥平面ABCD.(2)∵PD⊥平面ABCD,∴∠PCD即为直线PC与平面ABCD所成的角,∴∠PCD=30°.又∵PD=2,∴CD=AF=2,BD=2.以DB,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D xyz,则D(0,0,0),B(2,0,0),A(1,-,0),P(0,0,2).=(1,-,-2),=(2,0,0),=(0,0,2).∵=3,∴==(0,0,2)+(1,-,-2)=(,-).设平面BDE的法向量n=(x,y,z),由得取n=(0,4,).由(1)可知,DC⊥平面PBD,所以平面PBD的法向量=(0,2,0),∴cos 〈,n〉===.∴平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为.例4 解析:如图,建立空间直角坐标系B xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)∵=(-2,-3,2),=(-4,-2,-2),∴在上的射影的模为==,∴M到直线PQ的距离为==;(2)设平面AB1P的法向量n=(x,y,z),则,n⊥,=(-4,0,4),=(-4,4,0),,令x=1,解得y=1,z=1,∴n=(1,1,1),又=(2,-3,-4),∴M到平面AB1P的距离d===.
章末复习课知识网络·形成体系考点聚焦·分类突破 考点一 空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.2.通过对空间向量的概念及运算的考查,提升学生的数学运算素养.例1 (1)如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,则=( )A.-a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a+b-c(2)正四面体ABCD的棱长为2,点E,F分别为棱BC,AD的中点,则·的值为( )A.4 B.-4C.-2 D.2考点二 利用空间向量证明线面位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量,利用向量的共线和垂直进行证明.2.通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例2 如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求证:(1)AF∥平面BDE;(2)CF⊥平面BDE.考点三 利用空间向量求空间角1.空间角的计算公式(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为v1,v2,则l1,l2的夹角θ满足cos θ=|cos 〈v1,v2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为v,n,则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ=|cos 〈v,n〉|.(3)设n1,n2分别是两个平面α,β的法向量,则两平面α,β夹角θ满足cos θ=|cos 〈n1,n2〉|.2.通过对利用向量计算空间角的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例3 如图,在四棱锥PABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AD∥BC,CD⊥PB,PD=AD=AB=BC=2.(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°,点E在线段AP上,且=3,求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值.考点四 利用空间向量计算距离1.空间距离的计算公式(1)直线l外一点P到直线l的距离:PQ==(其中A是l上的定点,是在l上的投影向量,=a,u是l的单位方向向量).(2)平面α外一点P到平面α的距离:PQ===(其中A是平面α内的定点,n是平面 α的法向量).2.通过对利用空间向量计算距离的考查,提升学生的逻辑推理和数学运算素养.例4 长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,求:(1)M到直线PQ的距离;(2)M到平面AB1P的距离.章末复习课考点聚焦·分类突破例1 解析:(1)===-=-,∵=a,=b,=c,∴=-a+b+c.(2)∵==,∴·=()·=+·=×22cos 60°-22+×22×cos 60°=-2.答案:(1)A (2)C例2 证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG,因为EG⊄平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C xyz,则C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(,,1).所以=(,1),=(0,-,1),=(-,0,1).所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0.所以CF⊥BE,CF⊥DE.又BE=E,所以CF⊥平面BDE.例3 解析:(1)证明:取BC中点F,连接DF.∵AD∥BF,且AD=BF,∴四边形ABFD为平行四边形.则DF=AB=BC,于是CD⊥BD.又∵CD⊥PB,PB=B,∴CD⊥平面PBD.又∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD.又∵平面PCD⊥平面ABCD且交线为CD,∴PD⊥平面ABCD.(2)∵PD⊥平面ABCD,∴∠PCD即为直线PC与平面ABCD所成的角,∴∠PCD=30°.又∵PD=2,∴CD=AF=2,BD=2.以DB,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D xyz,则D(0,0,0),B(2,0,0),A(1,-,0),P(0,0,2).=(1,-,-2),=(2,0,0),=(0,0,2).∵=3,∴==(0,0,2)+(1,-,-2)=(,-).设平面BDE的法向量n=(x,y,z),由得取n=(0,4,).由(1)可知,DC⊥平面PBD,所以平面PBD的法向量=(0,2,0),∴cos 〈,n〉===.∴平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为.例4 解析:如图,建立空间直角坐标系B xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).(1)∵=(-2,-3,2),=(-4,-2,-2),∴在上的射影的模为==,∴M到直线PQ的距离为==;(2)设平面AB1P的法向量n=(x,y,z),则,n⊥,=(-4,0,4),=(-4,4,0),,令x=1,解得y=1,z=1,∴n=(1,1,1),又=(2,-3,-4),∴M到平面AB1P的距离d===.
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