高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第1课时学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第1课时学案，共9页。

要点一 向量法判断线线垂直
设直线l1的方向向量为v1＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v2＝(x2，y2，z2)，则l1⊥l2⇔v1·v2＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0❶.
批注❶ 若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直．
要点二 向量法判断线面垂直
设直线l的方向向量为v＝(x，y，z)，平面α的法向量是n＝(a，b，c)，则l⊥α⇔v∥n⇔v＝λn⇔(λ∈R)❷.
批注❷ 若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行．
要点三 向量法判断面面垂直
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.❸
批注❸ 若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )
2．若直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，则这两条直线( )
A．平行 B．垂直
C．异面垂直 D．垂直相交
3．直线l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，则有( )
A．l∥αB．l⊂α或l∥α
C．l与α斜交 D．l⊥α
4．已知平面α的一个法向量n＝(2，－2，5)，平面α⊥β，则平面β的一个法向量是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
向量法证明线线垂直
例1 如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1
的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.
求证：AB1⊥MN.
方法归纳
证明两直线垂直的一般步骤
巩固训练1 已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，求证：A1E⊥BD.
向量法证明线面垂直
例2 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
方法归纳
利用坐标法证明线面垂直的2种方法及步骤
巩固训练2 已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，E、F分别是棱C1C、BC的中点，求证：B1F⊥平面AEF.
向量法证明面面垂直
例3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
方法归纳
利用空间向量证明面面垂直的2种方法
巩固训练3 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
第1课时 向量与垂直
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)×
2．解析：因为m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，
所以m⊥n，所以l1⊥l2.
答案：B
3．解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，
∴a＝－n，则a∥n，所以l⊥α.
答案：D
4．解析：设平面β的一个法向量为m＝(x，y，z)，因为平面α⊥β，所以n·m＝0，即2x－2y＋5z＝0，取x＝1，y＝1时，z＝0，故平面β的一个法向量为m＝(1，1，0)．
答案：(1，1，0)(答案不唯一)
题型探究·课堂解透
例1 证明：
设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.
由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，N(0，)，B1(，0，1)．
∵M为BC中点，∴M(，0)．
∴＝＝(1，0，1)，
＝－＋0＋＝0.
，∴AB1⊥MN.
巩固训练1
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，A1(a，0，a)，A(a，0，0)，B(a，a，0)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
∵·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
例2
证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D ­xyz，如图，
设DC＝PD＝1，
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，)．
所以＝(1，1，－1)，＝(0，)，
＝(1，，－)，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝(x，y－，z－)．
因为⊥，所以x＋(y－)－(z－)＝0，
即x＋y －z＝0. ①
又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝(，－)．
方法一 因为·＝(1，1，－1)·(0，)＝0＋＝0，
所以⊥，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF＝E，EF，DE⊂平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二 设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
则有即
所以
取z2＝1，则n2＝(－1，－1，1)．所以＝－n2.
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
巩固训练2
解析：∵三棱柱ABC ­A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，
∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB＝AC＝AA1＝1，E、F分别是棱C1C、BC的中点，
∴A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E(0，1，)，F(，0)，
＝(－，－1)，＝(0，1，)，＝(，0)，
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
∵AE＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，
∴B1F⊥平面AEF.
例3 证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(0，a，)，
故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即取x1＝1，
∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．
∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
巩固训练3
证明：如图，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，
因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，
所以＝(0，0，)，＝(1，1，0)，＝＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，此时n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
此时n2＝(1，1，)．
所以n1·n2＝1－1＋0＝0，
所以n1⊥n2，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.