高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆学案

第三章　圆锥曲线的方程

3.1　椭　圆

3.1.1　椭圆及其标准方程

【学习目标】

【自主学习】

一．椭圆的定义

1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于         (大于|F1F2|)的点的轨迹．

2.焦点：两个定点F1，F2．

3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|．

4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝       (常数)且2a      |F1F2|．

思考1:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

思考2：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

二．椭圆的标准方程

思考3：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．(   )

(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　 　)

(3)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．(   )

(4)方程＋＝1 (a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．(   )

2.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4　　　　　　B．5        C．8        D．10

【经典例题】

题型一　求椭圆的标准方程

点拨：用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤

1.定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．

2.设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

3.找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．

例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；

(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．

【跟踪训练】1求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．

题型二　已知椭圆的标准方程求参数

点拨：根据椭圆方程求参数的取值范围

1.给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0．

2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．

例2 若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　 　)

A．(－9,25)     B．(－9,8)∪(8,25)      C．(8,25)       D．(8，＋∞)

【跟踪训练】2 若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是            ．

题型三　求椭圆轨迹方程

方法1:直接法

直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；

例3-1 点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程．

方法2：定义法

用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可。

例3-2 如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．

方法3：代入法(相关点法)

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．

例3-3已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP中点Q的轨迹方程．

题型四  椭圆中的焦点三角形问题

点拨：焦点三角形的常用公式

1.焦点三角形的周长L＝2a＋2c．

2.焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin θ,可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用余弦定理|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|－2|MF1||MF2|cos θ求出|MF1|·|MF2|．

3.此外，焦点三角形的面积S△F1MF2＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)

例4 如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．

【跟踪训练】3 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

【当堂达标】

1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)

A．5　　　   　B．6　　　　C．7　　　　  D．8

2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)

A．1           B．2        C．3         D．4

3.(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是(　　)

A.2             B．1        C．0.5        D．0.3

4.若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．

5.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．

6.一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．

【参考答案】

【自主学习】

一．常数   2a   ＞

二．＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)  c2＝a2－b2

思考1：点的轨迹是线段F1F2.

思考2：当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．

思考3：能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．

【小试牛刀】

1.(1)×   (2)×   (3)√   (4)×

2.D

【经典例题】

例1 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，

得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

【跟踪训练】1 解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.

设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　 ①.

又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1　 ②.

由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

例2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，

所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，

其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.

【跟踪训练】2 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．

利用中点坐标公式，得∴

∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.

将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.

故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.

例2  B 解析：依题意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．

【跟踪训练】2 －4＜a＜0或0＜a＜3 解析：方程化为＋＝1，

依题意应有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．

例3-1 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)．

由已知有·＝－，化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)．

例3-2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，

所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，

其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.

例3-3 解：设P(xP，yP)，Q(x，y)，

由中点坐标公式得所以

又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，

即x2＋＝1.

例4 解：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.

∴|F1F2|＝2c＝2.

在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，

即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.

∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.

∴|PF1|·|PF2|＝4.

∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝.

【跟踪训练】3  8 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，

所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.

【当堂达标】

1.D 解析：根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.

2. B 解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.

3.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

∴>2，故0<k<1.故选CD.

4. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1.

5.解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，

∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.

6.解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9．

设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，

∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6．

由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，

∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．

故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．