人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆学案，共22页。

3.1.1 椭圆及其标准方程
我们对“椭圆形状”并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、天体中一些行星和卫星运行的轨道、篮球在阳光下的投影(如图所示)等．那么，具有怎样特点的曲线是椭圆呢？
知识点1 椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
知识点2 椭圆的标准方程
能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
提示：能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．( )
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．( )
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．( )
(4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．( )
提示：(1)√
(2)× 因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)× 因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
(4)√
2．(1)若椭圆方程为x225＋y2169＝1，则其焦点在______轴上，焦点坐标为________．
(2)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是________．
(1)y (0，－12)和(0，12) (2)x236＋y232＝1
[(1)因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0，12)．
(2)因为焦距等于4，所以c＝2，
因为经过点P(6，0)，所以a＝6，
所以b2＝a2－c2＝36－4＝32.
因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x236＋y232＝1．]
类型1 求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)；
(3)经过点P13，13，Q0，-12.
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
因此，所求椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝3-02+2--22＋3-02+2-22＝5＋3＝8，因此a＝4.
又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
因此，所求椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
(3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时，
可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
依题意，有132a2+132b2=1，0+-122b2=1，
解得a2=15 ，b2=14 .
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
依题意，有132a2+132b2=1，-122a2+0=1，
解得a2=14 ，b2=15 .
所以所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.
法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则19m+19n=1，14n=1， 解得m=5，n=4.
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.
试总结用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
提示：(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[跟进训练]
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－2)，-1，142；
(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同的焦点．
[解] (1)设椭圆的方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
将两点(2，－2)，-1，142代入，
得4m+2n=1，m+144n=1，解得m=18，n=14，
所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(3，－5)在椭圆上，所以-52a2＋32b2＝1，即5a2＋3b2＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.
类型2 对椭圆标准方程的理解
【例2】 (1)(2022·江苏省扬州市期中)若方程x27-k＋y2k-5＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为( )
A．(5，7) B．(5，6)
C．(6，7) D．(5，6)∪(6，7)
(2)(2022·黄冈期末)若方程x28-t＋y2t-3＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为________．
(1)D (2)112，8 [(1)由题意可知7-k>0， k-5>0， 7-k≠k-5，
解得5所以实数k的取值范围是(5，6)∪(6，7)．
(2)∵已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8-t>0， t-3>0， t-3>8-t，解得112∴t的取值范围是112，8．]
由椭圆标准方程判定焦点位置的依据
判断椭圆焦点在哪个轴上的依据是判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[跟进训练]
2．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，则k的值为________．
－1或－17 [原方程可化为x21k2＋y2-8k＝1.
依题意可得-8k＞0， -8k＞1k2， -8k-1k2=7，
则k＜0， k＜-18， k=-1或k=-17.所以k的值为－1或－17．]
类型3 椭圆的定义及其应用
求椭圆焦点三角形的内角或边长
【例3】 (1)椭圆x225＋y29＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长；
(2)椭圆x216＋y29＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．
[解] (1)因为A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
(2)由x216＋y29＝1，知a＝4，b＝3，c＝7，
所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝27，
所以cs ∠F1PF2＝PF12+PF22-F1F222PF1PF2＝12，
所以∠F1PF2＝60°.
关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．
求椭圆焦点三角形的面积
【例4】 已知椭圆x24＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[解] 由x24＋y23＝1，可知a＝2，b＝3，
所以c＝a2-b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝PF12+F1F22－2|PF1||F1F2|cs ∠PF1F2，
即|PF2|2＝PF12+4+2|PF1|. ①
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. ②
由①②联立可得|PF1|＝65.
所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.
[母题探究]
1．本例中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积．
[解] 由椭圆方程x24＋y23＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.
∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.
从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝32，
因此S△PF1F2＝12|F1F2||PF1|＝32.
故所求△PF1F2的面积为32.
2．本例中方程改为“x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为3，求b的值．
[解] 由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为3，可得12|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝34|PF1|·|PF2|＝3，∴|PF1||PF2|＝4.根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a.再利用余弦定理可得4c2＝PF12＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4，
∴b2＝1，即b＝1.
椭圆的焦点三角形的面积公式速解：若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝b2tan θ2.解答选择题、填空题可直接应用．
与焦半径有关的最值问题
【例5】 已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
C [由椭圆C：x29＋y24＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤MF1+MF222＝32＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．
[跟进训练]
3．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ.
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解] (1)如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a.
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cs 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b21+cs2θ.
∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝12·2b21+cs2θ·sin 2θ＝sin2θ1+cs2θ·b2＝b2tan θ.
(2)∵2θ为△PF1F2的内角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈0，π2.
令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈0，π2可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值．
1．(多选)下列命题是真命题的是( )
A．已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆
B．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段
C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
BD [A．2＜2，故点P的轨迹不存在；B．因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C．到定点F1(－3，0)，F2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D．点M(5，3)到定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为410＞8，所以点P的轨迹为椭圆．]
2．“mn<0”是“方程mx2－ny2＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若m＝1，n＝－1，则方程x2＋y2＝1表示圆．反之，若方程表示椭圆，则mn<0.故为必要不充分条件．]
3．(2022·郑州模拟)与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝45的椭圆方程是( )
A．x225＋y220＝1 B．x220＋y225＝1
C．x220＋y245＝1 D．x280＋y285＝1
B [由9x2＋4y2＝36可得x24＋y29＝1，所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又2b＝45，所以b2＝20，a2＝25，所以所求椭圆方程为x220＋y225＝1．]
4．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48 [由题意知PF1+PF2=14， PF12+PF22=100，
由|PF1|＋|PF2|＝14得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝196，∴2|PF1||PF2|＝96，
∴|PF1||PF2|＝48．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
提示：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
2．当方程x2m＋y2n＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
提示：表示椭圆时，m>0，n>0，m≠n，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0.
课时分层作业(二十四) 椭圆及其标准方程
一、选择题
1．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [椭圆方程可化为x2＋y24k＝1，
由题意知4k>1， 4k-1=1，解得k＝2．]
2．椭圆x225＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
D [设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8．]
3．已知曲线C：x2k-5＋y23-k＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [将曲线C的方程化为x25-k＋y2k-3＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3>5－k>0，即44．已知椭圆的方程为x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．241 D．441
D [因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上．又由已知得c＝4，所以a2－25＝42，所以a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长l＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝441．]
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．x236＋y216＝1 B．x240＋y215＝1
C．x249＋y224＝1 D．x245＋y220＝1
C [由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，
由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，
∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，
∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，
得|PF′|＝FF'2-PF2＝102-62＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，
从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，
∴椭圆C的方程为x249＋y224＝1．]
二、填空题
6．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则该椭圆的标准方程是________．
x24＋y23＝1 [由题意知椭圆的焦点在x轴上，且2c＝2，即c＝1，又△MF2N的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x24＋y23＝1．]
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点为A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆x225＋y216＝1上，则sinA+sinC2sinB＝________．
56 [由椭圆方程得a＝5，b＝4，∴c＝3.
∵△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，
顶点B在椭圆x225＋y216＝1上，
∴|BC|＋|AB|＝2a＝10，
∴由正弦定理得sinA+sinC2sinB＝BC+BA2AC＝2a4c＝56．]
8．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为______．
8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
三、解答题
9．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋3，|PF2|＝2－3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点P的坐标．
[解] (1)由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs 120°，
∴4c2＝15，∴c＝152，b2＝a2－c2＝4－154＝14，
故椭圆C的方程为x24＋4y2＝1.
(2)设点P(m，n)，由题意可知m＞0，
∵S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 120°＝12×(2＋3)×(2－3)×32＝12×2c×|n|，∴n＝±510.
将点P的坐标代入椭圆的方程可得m24＋15＝1，解得m＝455，
故点P的坐标为455，-510或455，510.
10．(多选)(2022·山东济宁期中)已知F1，F2是椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是( )
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为x22＋2y23＝1或x26＋2y29＝1
BCD [由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤MF1+MF222＝4，
当且仅当|MF1|＝|MF2|时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，由M(0，3)，
得tan ∠F1MF22＝33，
所以∠F1MF22＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，
所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以|x2-x12|＝2，即x12＝x2＋2或x12＝x2－2.
又由题意知x124＋y23＝1，
所以x2+24＋y23＝1或x2-24＋y23＝1，
化简得x22＋2y23＝1或x26＋2y29＝1，D正确．故选BCD．]
11．(多选)(2022·山东临沂期中)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是( )
A．a＝2b，满足∠F1PF2＝90°的点有两个
B．a<2b，满足∠F1PF2＝90°的点有四个
C．△PF1F2面积的最大值为a22
D．△PF1F2的周长小于4a
ACD [设椭圆C与y轴的两交点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2，
选项A中，a＝2b时，b＝c，∠F1B1O＝12∠F1B1F2＝45°，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，A正确；
选项B中，a<2b时，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，所以不存在点P满足∠F1PF2＝90°，B错误；
选项C中，S△PF1F2≤12·2c·b＝bc≤b2+c22＝a22，当且仅当b＝c时等号成立，C正确；
选项D中，C△PF1F2＝2c＋2a<4a，D正确．故选ACD．]
12．设F1，F2为椭圆y29＋x24＝1的两个焦点，P为椭圆上任一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则PF1PF2的值为________．
72或2 [因为椭圆方程为y29＋x24＝1，所以a2＝9，b2＝4，c2＝5.
所以|F1F2|＝25，|PF1|＋|PF2|＝6.
因为|PF1|>|PF2|，所以∠PF1F2不可能为直角．
若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，
解得|PF1|＝143.
所以|PF2|＝43，所以PF1PF2＝72.
若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，
解得|PF1|＝4或|PF1|＝2(舍去)．
所以|PF2|＝2，所以PF1PF2＝2.
综上可知，PF1PF2的值为72或2．]
13．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为23π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8.则C的标准方程为________．
x24＋y23＝1 [∵△ABF2的周长为8，
∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝8，∴(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝8，由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴2a＋2a＝8⇒a＝2，由题意，得abπ＝23π，解得b＝3.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴C的标准方程为x24＋y23＝1．]
14．已知椭圆M与椭圆N：x216＋y212＝1有相同的焦点，且椭圆M过点-1，255.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
[解] (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，
则a2-b2=4，1a2+45b2=1，化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－165(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为x25＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为12×4×|y0|＝1，
解得y0＝±12.
又x025+y02＝1，
所以x02＝154，x0＝±152，
所以点P有4个，它们的坐标分别为
152，12，-152，12，152，-12，-152，-12.
15．设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF1＝λCF1，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
[解] (1)因为椭圆的方程为x24＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝3，即|F1F2|＝23，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝422＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－3，0)，由BF1＝λCF1得x0＝31-λλ，y0＝－1λ.
又x024+y02＝1，所以31-λλ24＋-1λ2＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，
所以λ＝－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长l≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.学习任务
1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
_x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)
y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c，0)与(c，0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2