2023-2024学年重庆市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x+1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. π2D. 5π6
2.在等差数列{an}中，a4=8，a5=a2+a3，则a1=( )
A. −2B. 1C. 2D. 4
3.若方程x2m+2−y2m−3=1表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. (−2,0)B. (0,3)
C. (−2,3)D. (−∞,−2)∪(3,+∞)
4.正方体ABCD−A1B1C1D1中的有向线段，不能作为空间中的基底的是( )
A. {AB,AC,AD}B. {AB,AD,AA1}
C. {AB,AB1,AD1}D. {AB1,AC1,AD1}
5.古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列.那么1指节是( )
A. 77兔尘B. 77羊尘C. 177兔尘D. 177羊尘
6.已知直线l：x−my−1=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，若线段AB的中点为(x0,2)，则|AB|=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
7.正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均相等，E，F分别是棱A1B1，CC1上的两个动点，且B1E=CF，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为( )
A. 1B. 12C. 13D. 14
8.已知F1是椭圆x29+y28=1的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆(x−1)2+y2=1相切，切点为Q，则|PQ|−|PF1|的取值范围是( )
A. [ 3−4, 15−2]B. [ 5−4, 17−2]
C. [−1,13]D. [1,15]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设n∈N*，已知数列{an}为等比数列，则( )
A. {2an}一定为等比数列
B. {an2}一定为等比数列
C. 当n>2时，{an−an−2}一定为等比数列
D. 当n>2时，{2an−an−2}可能为等比数列
10.直线mx−y+1−m=0与圆x2+y2=4相交，则弦长可能为( )
A. 2B. 3C. 10D. 5
11.类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系O−xyz中的一个平面的方程，如果平面α的一个法向量n=(a,b,c)，已知平面α上顶点P0(x0,y0,z0)，对于平面α上任意点P(x,y,z)，根据PP0⊥n可得平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0.则在空间直角坐标系O−xyz中，下列说法正确的是( )
A. 若平面α过点(1,1,1)，且法向量为(1,1,1)，则平面α的方程为x+y+z−3=0
B. 若平面α的方程为6x−2y−2z−3=0，则a=(−3,1,1)是平面α的法向量
C. 方程3x−2y=0表示经过坐标原点且斜率为32的一条直线
D. 关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面
12.已知点M，N是双曲线C：x24−y29=1上不同的两点，则( )
A. 当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率k∈(−32,32)
B. 当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MW的斜率k∈(−32,32)
C. 线段MN的中点可能是(2,2)
D. 线段MN的中点可能是(1,2)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：x+y−1=0与l2：(2m−3)x−my+2=0，若l1//l2，则实数m的值为______ ．
14.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得|PF2|=|F1F2|=2|PF1|，则椭圆的离心率为______ ．
15.设n∈N*，数列{an}满足an+1=2an,n为奇数an+2,n为偶数，若a4=12，则a1= ______ ．
16.已知圆C：(x−a)2+(y−a)2=1，圆D：(x−1−2csθ)2+(y+3−2sinθ)2=1，若存在θ∈[0,2π)使得两圆有公共点，则实数a的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2n2−3n+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在数列{an}中，从第二项起，每隔三项取出一项(a2,a6,a10,…)组成新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
设点A1，A2是椭圆C：x2+y22=1的左、右顶点，动点P使得直线PA1与PA2的斜率之积为2，记点P的轨迹为Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)设过原点O的直线l与动点P的轨迹Γ交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若|AB|=2|EF|，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
在如图所示的四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足EB=2AE，FC=2PF．
(1)证明：EF/​/平面PAD；
(2)若平面PCD⊥底面ABCD，△ABD和△PCD为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．
20.(本小题12分)
已知数列{an}是等比数列，a2a4=a6，a3=27．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)bn=6an(an+1−3)(an+2−3)，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，都有Tn<λ，求实数λ的取值范围．
21.(本小题12分)
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的“阳马”P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2.记△PAD的重心为G．
(1)求点G到平面PBC的距离．
(2)求平面GBD与平面PBC夹角的大小．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x24−y2=1的渐近线为l1，l2，双曲线C′与双曲线C的渐近线相同，过双曲线C′的右顶点的直线与l1，l2，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8．
(1)求双曲线C′的方程；
(2)点P是双曲线C′上任意一点，过点P作PA//l1依次与双曲线C和l2交于A，B两点，再过点P作PE//l2依次与双曲线C和l1交于E，F两点，证明：|AE||BF|为定值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，直线 3x+1=0，即x=− 33，其斜率不存在，
则其倾斜角θ=90°，
故选：C．
根据题意，先分析直线的斜率，由此求出其倾斜角即可得答案．
本题考查直线的倾斜角，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：等差数列{an}中，a4=8，a5=a2+a3，
∴a1+3d=8a1+4d=a1+d+a1+2d，
解得a1=2，d=2．
故选：C．
利用等差数列通项公式列方程组，能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为方程x2m+2−y2m−3=1表示的曲线是双曲线，
所以(m+2)(m−3)>0，解得m>3或m<−2．
故选：D．
由双曲线方程的特点可得(m+2)(m−3)>0，解之可得．
本题考查双曲线的标准方程的特征，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，
对于A，∵AB，AC，AD在同一平面内，∴{AB,AC,AD}不能作为空间中的基底，故A正确；
对于B，∵AB,AD,AA1不是共面向量，∴{AB,AD,AA1}能作为空间中的基底，故B错误；
对于C，∵AB,AB1,AD1不是共面向量，∴{AB,AB1,AD1}能作为空间中的基底，故C错误；
对于D，∵AB1，AC1，AD1不是共面向量，∴{AB1,AC1,AD1}能作为空间中的基底，故D错误．
故选：A．
利用空间向量基本定理直接求解．
本题考查空间向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，
∴1指节=77兔尘．
故选：A．
由微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，利用等比数列的性质能求出1指节的大小．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x−my−1=0y2=4x，得y2−4my−4=0，
所以y1+y2=4m=4，所以m=1，
此时直线l的方程为：x−y−1=0，
又点M(x0,2)在直线1上，所以x0=3，
因为直线l经过抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，
所以|AB|=x1+x2+2=2x0+2=8．
故选：C．
联立抛物线与直线的方程，结合韦达定理，即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设AB=2，B1E=CF=t，t∈[0,2]，
以A为原点，AB,AA1方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
可得B(2,0,0),E(2−t,0,2),BE=(−t,0,2)，
A(0,0,0),F(1, 3,t),AF=(1, 3,t)，
故异面直线BE与AF夹角的余弦值为csθ=|BE⋅AF||BE|⋅|AF|=tt2+4=1t+4t≤14，
当t=2时取“=”．
∴异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为14．
故选：D．
设AB=2，B1E=CF=t，t∈[0,2]，以A为原点，AB,AA1方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与AF夹角余弦的最大值．
本题考查异面直线所成角、正三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：F1是椭圆x29+y28=1的左焦点，设F2为椭圆的右焦点，由题可得：圆(x−1)2+y2=1的圆心即为F2，
由题知a=3,c=1,|PQ|= PF22−1,|PF1|=6−|PF2|，
故|PQ|−|PF1|= |PF2|2−1−(6−|PF2|)，
因为a−c=2，a+c=1，当令x=|PF2|,x∈[2,4],|PQ|−|PF1|=x+ x2−1−6,当x∈[2,4]时，函数y=x,y= x2−1均递增，
故y=x+ x2−1−6递增，
所以|PQ|−|PF1|∈[ 3−4, 15−2]．
故选：A．
根据椭圆的定义和圆的切线长把所求问题转化，再结合函数的单调性即可求解结论．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力和转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：n∈N*，数列{an}为等比数列，设公比为q，
对于A，2an+12an=q，由等比数列的定义得{2an}一定为等比数列，故A正确；
对于B，an+12an2=q2，由等比数列的定义得{an2}一定为等比数列，故B正确；
对于C，设an=1，则当n>2时，an−an−2=0，不为等比数列，故C错误；
对于D，设an=1，则当n>2时，{2an−an−2}为公比为1的等比数列，故D正确．
故选：ABD．
设数列{an}公比为q，利用等比数列的定义判断AB；利用特例判断CD．
本题考查等比数列的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：直线mx−y+1−m=0恒过(1,1)点，
可知(1,1)是圆x2+y2=4内部的点，
圆x2+y2=4的圆心(0,0)，半径为2，
直线mx−y+1−m=0与圆x2+y2=4相交，则弦长的最大值为：4；
最小值为：2 4−( (1−0)2+(1−0)2)2=2 2．
则弦长可能为3； 10．
故选：BC．
求解直线系经过的定点，判断定点与圆的位置关系，然后求解弦长的可能值．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：若平面α过点(1,1,1)，且法向量为(1,1,1)，
则平面α的方程为1×(x−1)+1×(y−1)+1×(z−1)=0，即x+y+z−3=0，故A正确；
若平面α的方程为6x−2y−2z−3=0，即−3x+y+z+32=0，可得a=(−3,1,1)是平面α的法向量，故B正确；
方程3x−2y=0即3x−2y+0z=0，表示以(3,−2,0)为法向量的平面，故C错误；
关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面，故D正确．
故选：ABD．
由已知平面方程的定义逐一分析四个选项得答案．
本题考查类比推理，考查空间向量及其应用，是基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：对A，B选项，根据题意可得a=2，b=3，c= 13，且焦点在x轴上，
∴双曲线渐近线为y=±32x，
当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故k∈(−32,32)，
当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故k∈(−∞,−32)∪(32,+∞)，所以A选项对，B选项错；
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，中点P(x0,y0)，
则x124−y129=1x224−y229=1，两式相减可得x12−x224−y12−y229=0，
∴14−19k⋅kOP=0⇒k⋅kOP=94，
对于C选项，由kOP=1,⇒k=94,MN：y−2=94(x−2)，比对渐近线的斜率，可知直线MN与双曲线无交点，故C选项错；
对于D选项，由kOP=2,⇒k=98∈(−32,32)，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D选项正确．
故选：AD．
根据双曲线的几何性质，点差法，针对各个选项求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，点差法的应用，属中档题．
13.【答案】1
【解析】解：由两条直线平行，可得2m−31=−m1≠2−1，解得m=1．
故答案为：1．
写出两条直线平行的充要条件，进而求出m的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】23
【解析】解：F1，F2是椭圆的两个焦点，因为P在椭圆上，
可得|PF2|+|PF1|=2a，|F1F2|=2c，
又由|PF2|=|F1F2|=2|PF1|，可得|PF1|=c，|PF2|=2c，
故2a=c+2c=3c，
所以椭圆的离心率e=ca=23．
故答案为：23．
根据椭圆的定义以及已知条件求得2a=3c，进而求解结论．
本题主要考查椭圆的性质，考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：∵n∈N*，数列{an}满足an+1=2an,n为奇数an+2,n为偶数，
∴a4=12，可得a4=2a3=12，
∴a3=6，可得a3=2+a2=6，
∴a2=4，可得a2=2a1=4，
∴a1=2．
故答案为：2．
根据数列的递推关系式，一步步的往前推，即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】[−3,1]
【解析】解：由圆C：(x−a)2+(y−a)2=1，圆D：(x−1−2csθ)2+(y+3−2sinθ)2=1，
可知，C(a,a)，D(1+2csθ,−3+2sinθ)，
故点C在直线y=x上，点D在以M(1,−3)为圆心，2为半径的圆上，
故圆D上的点均在以M为圆心，3为半径的圆上及其内部，
由题，即为圆M：(x−1)2+(y+3)2=9与圆C有交点，
即3−1≤|MC|≤1+3⇒2≤ (a−1)2+(a+3)2≤4，
解得a∈[−3,1]．
故答案为：[−3,1]．
依题意，利用圆与圆的位置关系列式解答可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系及其判断，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，a1=S1=2−3+1=0，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(2n2−3n+1)−(2n2−7n+6)=4n−5，
又a1=0不满足上式，所以an=0,n=14n−5,n≥2；
(2)由题意可知bn=a4n−2，由于n∈N*，故
a4n−2=4(4n−2)−5=16n−13，b1=a2=3，
故Tn=(b1+bn)⋅n2=(3+16n−13)×n2=8n2−5n．
【解析】(1)根据题意，直接利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2进行求解即可得出{an}的通项公式；
(2)由题意可知bn=a4n−2，从而可得{bn}是等差数列，进一步利用等差数列的前n项和公式即可求出Tn．
本题考查数列的递推公式及等差数列的前n项和公式，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由已知得A2(1,0)，A1(−1,0)，
设动点P(x,y)，则动点P不与点A1，A2相同，即x≠±1，
∴直线PA1的斜率为yx+1，直线PA2的斜率yx−1，
由题意得yx−1×yx+1=2，化为y2=2(x2−1)，
∴x2−y22=1，
即动点P的轨迹Γ的方程为：x2−y22=1(x≠±1)．
(2)∵轨迹Γ是以原点O为中心的双曲线，
∴轨迹Γ、椭圆C、直线l都关于原点O中心对称，
由AB=2EF，则OA=2OE，
当点A，E在同一象限时，则点E为OA的中点，
设点E(x0,y0)，直线l的斜率为k=y0x0，
则A(2x0,2y0)，∴8x02−4y02=2，2x02+y02=2，
∴8x02−4y02=2x02+y02，即5y02=6x02，
∴k2=y02x02=65，
解得k=± 305，∴直线l的方程为y=± 305x．
【解析】(1)由题意得A1(−1,0)，A2(1,0)，设动点P(x,y)，则动点P不与点A1，A2相同，即x≠±1，利用斜率计算公式及直线PA1与PA2的斜率之积为2，即可得出结论．
(2)根据轨迹Γ是以原点O为中心的双曲线，可得轨迹Γ、椭圆C、直线l都关于原点O中心对称，由AB=2EF，可得OA=2OE，当点A，E在同一象限时，可得点E为OA的中点，设点E(x0,y0)，可得直线l的斜率，进而得出A点坐标，把点A坐标代入椭圆方程，可得k，进而得出直线l的方程．
本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程与性质、直线与椭圆及双曲线相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：(1)在△PCD中过点F作GF/​/CD并交PD于点G，连接AG，

则FGCD=PFPD，由FC=2PF，得FG=13CD，
由EB=2AE，得AE=13AB，
∵ABCD是平行四边形，
，，∴AEFG是平行四边形，
∴EF/​/AG，而AG在平面PAD中，∴EF/​/平面PAD．
解：(2)在平面PCD中过点F作FO⊥CD于点O，连接OE，

∵若平面PCD⊥底面ABCD，∴FO⊥底面ABCD，
即∠FEO为直线EF与底面ABCD所成角，设PF=a，
则AB=CD=PC=3a，在Rt△FOC中，OF=23×3 32a= 3a，
由题意知底面ABCD是菱形，AD=3a，AE=a，DO=2a，
∴可求得EO= 13a，在Rt△EFO中，tan∠FEO= 3a 13a= 3913，
∴直线EF与底面ABCD所成角的正切值 3913．
【解析】(1)根据线面平行的判定定理证明即可；
(2)过点F作FO⊥CD于点O，连接OE，即∠FEO为直线EF与底面ABCD所成角，求解即可．
本题考查线面平行的判定定理，考查线面角的求解，是中档题．
20.【答案】解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由a2a4=a6，a3=27，得a6=a32=272，
则q3=a6a3=27，解得q=3，a1=a3q2=3，
所以数列{an}的通项公式为an=3n；
(2)由bn=6⋅3n(3n+1−3)(3n+2−3)，
可得bn=13n+1−3−13n+2−3，
Tn=132−3−133−3+133−3−134−3+⋯+13n+1−3−13n+2−3
=132−3−13n+2−3=16−13n+2−3<16，
由Tn<λ恒成立，可知λ≥16，
可得实数λ的取值范围为[16,+∞)．
【解析】(1)由等比数列的性质和通项公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求；
(2)由数列的裂项相消求和与不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)以点A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系：

则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)，
所以重心G(23,0,23),PB=(0,2,−2),BC=(2,0,0),GB=(−23,2,−23)，
设平面PBC的法向量为m=(a,b,c)，PB⋅m=2b−2c=0BC⋅m=2a=0⇒a=0b=1c=1⇒m=(0,1,1)，
所以点G到平面PBC的距离为：|GB⋅m||m|=|(−23,2,−23)⋅(0,1,1)| 2=2 23．
(2)GD=(43,0,−23)，设平面GBD的法向量为n=(x,y,z)，GB⋅n=−23x+2y−23z=0GD⋅n=43x−23z=0⇒x=1y=1z=2⇒n=(1,1,2)，
设平面GBD与平面PBC的夹角为θ，
则csθ=|m⋅n|m||n||=(0,1,1)⋅(1,1,2) 2× 6= 32，所以θ=30°．
【解析】(1)建立空间坐标系求出平面PBC的法向量，即可得结果．
(2)分别求出平面GBD与平面PBC的法向量，可求出夹角．
本题主要考查点到平面的距离和二面角，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为双曲线C′与双曲线C的渐近线相同，
不妨双曲线C′：x24t−y2t=1(t>0)，其渐近线为y=±12x，右顶点为(2 t,0)，
设过右顶点的直线斜率为k，
此时k<−12或k>12，
直线方程为y=k(x−2 t)，
联立y=k(x−2 2t)y=±12x，
可得直线与l1，l2在第一、四象限的交点的纵坐标之差为8k2 t4k2−1，
所以围成三角形面积为12×2 t×8k2 t4k2−1=8t4−1k2>2t，
当斜率不存在时，直线的方程为x=2 t，
将x=2 t代入y=±12中，
解得交点坐标为(2 t,±t)，
此时围成三角形面积为12×2 t×2 t=2t，
则围成的三角形面积的最小值为2t=8，
解得t=4，
则双曲线C′的方程为x216−y24=1；
(2)证明：不妨设点P(x0,y0)，直线PA：y=−12x+n，
可得n=12x0+y0，
因为点P在C′上，
所以x024−y02=4，
直线PE：y=12x+m，
可得m=y0−12x0，
所以mn=y02−x024=−4，
联立y=−12x+nx24−y2=1，
解得A(n2+1n,n2−12n)，
联立y=−12x+ny=12x，
解得B(n,n2)，
联立y=12x+mx24−y2=1，
解得E(−m2−1m,m2−12m)，
联立y=12x+my=−12x，
解得F(−m,m2)，
所以AE= (n2+1n+m2+1m)2+(n2−12n−m2−12m)2=|mn+1mn| (m+n)2+(m−n)24，
而BF= (m+n)2+(m−n)24，
则AEBF=|mn+1mn|=34，
故AEBF为定值，定值为34．
【解析】(1)由题意，先设出双曲线C′的方程，结合题目所给信息以及三角形面积公式，列出等式进行求解即可；
(2)设出点P的坐标，分别求出A，B，E，F的坐标，代入|AE||BF|中再进行求证即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．