2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为( )
A. 2 3B. 4C. 2 33D. 43
2.已知点P(x,y)满足 (x−1)2+y2=|x+1|，则点P的轨迹为( )
A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆
3.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，则异面直线AC，A1D的夹角余弦值为( )
A. 1010B. 45C. 23D. 66
4.已知圆C1：(x−a)2+(y−1)2=1与圆C2：(x−1)2+(y−3)2=4有且仅有2条公切线，则实数a的取值范围是( )
A. (1− 5,1+ 5)B. (1+ 5,1+ 21)
C. (−2,0)D. (1− 21,1+ 5)
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9>0，S100)的焦点是F，过焦点F的直线l与C相交于不同的两点A，B，O是坐标原点，下列说法正确的是( )
A. 以|AF|为直径的圆与y轴相切
B. 若M(1,2)是线段AB的中点，且kAB=1，则p=2
C. ∠AOB=π2
D. 若|AF||BF|=2，则直线l的斜率为− 2
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是棱AB的中点，N为正方体表面ADD1A1内的一个动点，且满足MN/​/平面A1BD，下列说法正确的是( )
A. 动点N的轨迹是一段圆弧
B. 三棱锥N−CDD1体积的最大值为43
C. MN⊥AC1
D. 直线MN与AM夹角正切的最小值为 22
12.已知数列{an}满足：∀n∈N*，an+1=an2+2an+b，其中b∈R，数列{an}的前n项和是Sn，下列说法正确的是( )
A. 当b∈(1,+∞)时，数列{an}是递增数列
B. 当b=−6时，若数列{an}是递增数列，则a1∈(−∞,−3)∪(2,+∞)
C. 当b=54,a1=2时，Sn≥n2+3n2
D. 当b=−2，a1=3时，1a1+2+1a2+2+…+1an+2≤310
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：x+ky+k=0，l2：x+y+2=0，且l1//l2，则l1与l2之间的距离为______ ．
14.已知函数f(x)=(x−98)(x−99)，则f′(99)= ______ ．
15.已知{an}为等比数列，且a3=3，a7=12，则a5= ______ ．
16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为π3且过点F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，设△PF1F2内切圆O1的半径为r1，△QF1F2的内切圆O2的半径为r2，则圆心O1，O2的横坐标为______ (填a或b)，若|r12−r22|≥3a2，则双曲线离心率的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}为等差数列，{an}的前n项和为Sn，a6=11，S3=9．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：12S1+23S2+…+n(n+1)Sn0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上一点，且||PF|1−|PF2||=4．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线lMN：y=kx+1与双曲线C交于M，N两点，且S△MON=2 6，其中O为坐标原点，求k的值．
21.(本小题12分)
已知{an}的前n项和为Sn，且满足∀n∈N*，Sn=2an−2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：b1=1，且∀n∈N*，bn+1+bn=2n，求数列{an⋅bn}的前n项和．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 104，上顶点B(0, 3)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)O为坐标原点，M(− 3,0),N( 3,0)，点A是椭圆C上的动点，过A作直线AM，AO，AN分别交椭圆C于另外P，R，Q三点，求S△AOMS△APR+S△AONS△AQR的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：已知正三棱柱所有棱长均为2，
则该正三棱柱的体积为V=Sh=12×2×2×sinπ3×2=2 3．
故选：A．
结合棱柱的体积公式求解．
本题考查了棱柱的体积公式，属基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为 (x−1)2+y2=|x+1|，
所以点P(x,y)到点(1,0)和到直线x=−1的距离相等，
由抛物线的定义可知：P的轨迹为抛物线．
故选：C．
由题意结合抛物线的定义即可得到答案．
本题考查抛物线的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为A1D/​/B1C，
所以异面直线AC，A1D的夹角等于AC，B1C的夹角，
所以由余弦定理可得，cs〈AC,B1C〉=AC2+B1C2−AB122AC⋅B1C=5+5−22× 5× 5=45，
即异面直线AC，A1D的夹角余弦值为45．
故选：B．
由正方体的结构特征可知A1D/​/B1C，所以异面直线AC，A1D的夹角等于AC，B1C的夹角，再利用余弦定理求解即可．
本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由圆C1：(x−a)2+(y−1)2=1与圆C2：(x−1)2+(y−3)2=4有且仅有2条公切线可知两圆的位置关系为相交，
所以|r1−r2|0a12+3a1−4>0，
解得a1>2或a11，解得e≥1+3 24．
故答案为：a；1+3 24．
根据双曲线的几何性质，圆的切线长性质，数形结合，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，圆的几何性质，属中档题．
17.【答案】(1)解：设数列{an}的公差为d，
则a6=a1+5d=11S3=3a1+3×22d=9，
解得a1=1d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1(n∈N*)．
(2)a6=a1+5d=11S3=3a1+3×22d=9证明：由(1)可得Sn=n(2n−1+1)2=n2，
所以n(n+1)Sn=1n(n+1)=1n−1n+1，
所以12S1+23S2+⋯+n(n+1)Sn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+10，
所以k2