2023-2024学年广东省揭阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关系式中y是x的反比例函数的是( )
A. y=2xB. xy=1C. y=1x2D. y=kx
2.如图所示的“中”字，俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，成比例的是( )
A. 1，2，3，4B. 2，10，15，5C. 2，12，12，4D. 2，4，8，16
4.用配方法解一元二次方程x2−8x−11=0时，下列变形正确的是( )
A. (x−4)2=5B. (x+4)2=5C. (x−4)2=27D. (x+4)2=27
5.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等
C. 四条边相等，四个角相等D. 两组对边分别平行且相等
6.一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
7.下列关于反比例函数y=−3x的描述中，不正确的是( )
A. 图象在第二、四象限B. 点(−1,3)在反比例函数的图象上
C. y随x的增大而增大D. 当x>1时，0>y>−3
8.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是( )
A. (−3,−2)B. (−12,−8)
C. (−3,−2)或(3,2)D. (−12,−8)或(12,8)
9.如图，BE是△ABC的中线，点D在BC上且满足CD=2BD，连接AD，与BE交于点F，则S△ABCS△AEF的值为( )
A. 103
B. 113
C. 4
D. 92
10.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB= 5.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 2；③EB⊥ED；④S正方形ABCD=4+ 6.其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①④C. ①③④D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.太阳光线下形成的投影是______ 投影.(平行或中心)
12.若5a=3b(a、b均不为0)，那么b：a= ______ ．
13.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干题红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为______ 颗.
14.如图，点P是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值为 ．
15.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若CO= 3，CE=1，则BE的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−4x+2=0；
(2)2x2+5=7x．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=2AD，AC=2AE.求证：△ADE∽△ABC．
18.(本小题8分)
如图是分别从正面、左面、上面观察一个几何体得到的图形，请解答以下问题：
(1)这个几何体的名称为______；
(2)若从正面看到的是长方形，其长为10cm；从上面看到的是等边三角形，其边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
19.(本小题9分)
学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，C：差.请根据图中信息，解答下列问题：

(1)求全班学生总人数；
(2)在扇形统计图中，a= ，b= ，C类的圆心角为 ；
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率．
20.(本小题9分)
某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙(墙AB长度为10米)，另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为x m．
(1)当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长；
(2)能否围成面积为52m2矩形动物场？说明理由．
21.(本小题9分)
已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，E为对角线BD的中点，点F在边AD上，CF交BD于点G，CF/​/AE，CF=12BD．
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)如果∠DCG=∠DEC，求证：AE2=AD⋅DC．
22.(本小题12分)
直线y=x+b与x轴交于点C(4,0)，与y轴交于点B，并与双曲线y=mx(x<0)交于点A(−1,n)，连接OA．
(1)求直线与双曲线的解析式．
(2)在直线AC上存在一个点M(不与A重合)，使得S△OCM=S△AOC，求点M的坐标．
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题12分)
某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
(1)如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP= 7，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ.则CQ的长为______ ；
【问题提出】
(2)如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ.试说明∠ABC与∠ACQ相等；
【问题解决】
(3)如图(3)，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为12，CQ=4 2，求正方形ADBC的边长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、y=2x，是y与x成正比例，故不符合题反比例函数的定义；
B、xy=1，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意．
C、y=1x2，不符合反比例函数的定义，故此选项不符合题意；
D、y=kx(k≠0)是反比例函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握反比例函数的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部靠中间处有两条纵向的实线，靠两侧分别有两条纵向的虚线．
故选：D．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；
B、∵2×15≠10×5，∴四条线段不成比例；
C、∵2×12≠12×4，∴四条线段不成比例；
D、∵2×16=4×8，∴四条线段成比例；
故选：D．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4.【答案】C
【解析】【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
【解答】解：移项，得x2−8x=11，
配方，得x2−8x+16=27，
所以(x−4)2=27．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意；
C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意；
故选：D．
根据菱形、矩形、正方形的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了菱形、矩形、正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵Δ=12−4×2×(−1)=1+8=9>0，
∴一元二次方程2x2+x−1=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
求出判别式Δ=b2−4ac，判断符号即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.反比例函数y=−3x，k=−3<0，则图象在第二、四象限，故A正确，不符合题意；
B.当x=−1时，y=−3−1=3，则点(−1,3)在反比例函数的图象上，故B正确，不符合题意；
C.反比例函数y=−3x，k=−3<0，则在每一象限内，y随x的增大而增大，故C错误，符合题意；
D.当x>1时，则0>y>−3，故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的性质依次进行判断即可得到答案．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点B的坐标为(−6,−4)，
∴点B的对应点B′的坐标为(−6×12,−4×12)或(6×12,4×12)，即(−3,−2)或(3,2)，
故选：C．
根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9.【答案】C
【解析】解：过点E作EG/​/BC交AD于G，
∵BE是△ABC的中线，
∴AEAC=GECD=AGAD=12，∠EGF=∠BDF，∠GEF=∠DBF，
∴CD=2GE，AD=2AG，△AGE∽△ADC，
∵CD=2BD，
∴BD=GE，
∴△BDF≌△EGF(ASA)，
∴DF=GF，
∴AG=2GF，
设S△GEF=m，
∴S△AGE=2m，S△ACD=8m，
∴S△ABD=4m，S△AEF=3m，
∴S△ABC=12m，
∴S△ABCS△AEF=12m3m=4．
故答案为：C．
过点E作EG/​/BC交AD于G，得出△BDF≌△EGF、△AGE∽△ADC，利用性质即可得出．
本题主要考查相似三角形的性质和判定，利用已知条件熟练运用相关性质是正确解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，AE=AP∠EAB=∠PADAB=AD，
∴△APD≌△AEB(SAS)；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE= 2，
在△BEP中，PB= 5，PE= 2，由勾股定理得：BE= 3，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°−45°−90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF= 62，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD=12PD×BE=32，
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 62，
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+ 6所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故选：C．
①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF= 62，故②是错误的；
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；
④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD=12PD×BE=32，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 62，由此即可判定．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
11.【答案】平行
【解析】解：太阳光线下形成的投影是平行投影．
太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
本题考查平行投影的定义．常见的平行光线有太阳光、月光等．
12.【答案】5：3
【解析】解：因为5a=3b，则b：a=5：3．
故答案为：5：3．
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案．
此题主要考查比例的基本性质的逆运用，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
13.【答案】35
【解析】解：设袋中红色幸运星有x颗，
根据题意，得：x20+x+15=0.5，
解得：x=35，
经检验：x=35是原分式方程的解，
故答案为：35．
设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．
本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键．
14.【答案】−6
【解析】解：根据题意可知：S△PMO=12|k|=3，即k=±6．
又∵反比例函数的图象位于第二象限，
∴k<0，
∴k=−6．
故答案为：−6．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．
本题主要考查了反比例函数y=kx(k≠0)中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD= 3，
∴AC=2 3，∠EBO=∠ACB，
∵OE⊥BD，
∴∠BOE=∠CBA=90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴OBBC=BEAC即 3BE+1=BE2 3，
解得BE=2或BE=−3(舍去)，
故答案为：2．
利用矩形的性质先求得AC=2 3，∠EBO=∠ACB，再证明△BOE∽△CBA，即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定及性质，矩形的性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16.【答案】解⋅：(1)x2−4x+2=0，
x2−4x=−2，
x2−4x+4=−2+4，
(x−2)2=2，
x−2=± 2，
x1=2+ 2,x2=2− 2；
(2)2x2+5=7x，
2x2−7x+5=0，
a=2，b=−7，c=5，
Δ=b2−4ac
=(−7)2−4×2×5
=49−40
=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=−(−7)± 92×2=7±34，
x1=52,x2=1．
【解析】(1)先把常数项2移到等号右边，两边同时加4，利用配方法进行解答即可；
(2)先把方程化成一般形式，再求出判别式，判断方程解的情况，最后用求根公式，求出答案即可．
本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法和公式法解一元二次方程．
17.【答案】解：∵AB=2AD，AC=2AE，
∴ACAE=ABAD=2，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】由AB=2AD，AC=2AE得到ACAE=ABAD=2，再由∠DAE=∠BAC即可得到△ADE∽△ABC．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
18.【答案】三棱柱
【解析】解：(1)这个几何体是三棱柱．
故答案为：三棱柱；
(2)三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长，宽是三棱柱的高，
所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S=3×4×10=120(cm2).
答：这个几何体的侧面积为120cm2．
(1)根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；
(2)侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
19.【答案】15 60 54°
【解析】解：(1)全班学生总人数为：10÷25%=40(人)；
(2)∵B类百分比为2440×100%=60%，
∴b=60，
∵C类人数为：40−(10+24)=6(人)，
∴C类百分比为640×100%=15%，
∴a=15，
∴C类的圆心角为360°×15%=54°，
故答案为：15，60，54°；
(3)列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，
∴P(全是B类学生)=212=16．
(1)由A类人数及其所占百分比可得总人数；
(2)总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比；
(3)列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)根据题意，得−2 x 2+20 x=48，
解得x ​1=4，x 2=6，
当CD=6米时，AB=20−2×6=8(米)，符合题意；
当CD=4米时，AB=20−2×4=12(米)，
∵墙AB长度为10米，
∴ CD=4米不符合题意；
∴ CD边的长为6米；
(2)不能围成面积为52 m ​2矩形动物场，理由如下：
−2 x 2+20 x=52，
x 2−10 x+26=0，
∵Δ=100−4×1×26=−4<0，
∴方程没有实数根，
∴不能围成面积为52 m ​2矩形动物场．
【解析】(1)根据矩形动物场面积为48m2，列一元二次方程，求解即可；
(2)根据矩形动物场面积为52m2列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵∠BAD=90°，E为BD的中点，
∴AE=DE=12BD，
∵CF=12BD，
∴AE=CF=DE，
∵CF/​/AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD=90°，E为BD的中点，
∴CE=12BD，
∴AE=CE，
∴四边形AECF为菱形；
(2)∵四边形AECF为菱形，
∴AD//CE，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠DCG=∠DEC，
∴∠ADE=∠DCG，
∵AE/​/CF，
∴∠EAD=∠CFD，
∴△ADE∽△FCD，
∴ADCF=DECD，
∴CF⋅DE=AD⋅CD，
∵AE=CF=DE，
∴AE2=AD⋅DC．
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线可得AE=DE=12BD，CE=12BD，再结合已知CF=12BD，从而可得AE=CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE=CE，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得AE=CF=DE，AD/​/CE，从而可得∠ADE=∠DEC，进而可得∠ADE=∠DCG，再利用平行线的性质可得∠EAD=∠CFD，然后证明△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵直线y=x+b与x轴交于点C(4,0)，
∴把点C(4,0)代入y=x+b得：b=−4，
∴直线的解析式是：y=x−4；
∵直线也过A点，
∴把A点代入y=x−4得到：n=−5
∴A(−1,−5)，
把将A点代入y=mx(x<0)得：m=5，
∴双曲线的解析式是：y=5x；
(2)若S△OCM=S△AOC，
则|yM|=|yA|，
∵A(−1,−5)，
∴yM=|−5|=5，
当y=5时，5=x−4，
解得：x=9，
∴M(9,5)；
(3)存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，
则AN=1，BN=1，
则AB= 12+12= 2，
∵OB=OC=4，
∴BC= 42+42=4 2，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴OBBC=BACD或OBDC=BABC，
∴44 2= 2CD或4DC= 24 2，
∴CD=2或CD=16，
∵点C(4,0)，
∴点D的坐标是(20,0)或(6,0)．
【解析】(1)把点C的坐标代入y=x+b，求出b的值，得出直线的解析式；把点A(−1,n)代入y=x−4得到n的值，求出A点的坐标，再把将A点代入y=mx(x<0)中，求出m的值，从而得出双曲线的解析式；
(2)依据S△OCM=S△AOC，得到yM|=|yA|，进而得到yM=5，据此进一步解答即可；
(3)先过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，根据AN=1，BN=1，求出AB的值，根据OB=OC=4，求出BC的值，再根据∠OBC=∠OCB=45°，得出∠OBA=∠BCD，从而得出△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，最后根据OBBC=BACD或OBDC=BABC，再代入求出CD的长，即可得出答案．
此题属于反比例函数综合题，主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质，利用待定系数法求函数解析式，解答本题的关键是根据题意作出辅助线，求出线段的长度．
23.【答案】 7
【解析】解：(1)∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△BAP≌△CAQ(SAS)，
∴CQ=BP= 7；
故答案为： 7．
(2)在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)．
在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ=12(180°−∠APQ)．
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ．
∴△BAC∽△PAQ．
∴BAAC=PAAQ．
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ．
∴△BAP∽△CAQ．
∴∠ABC=∠ACQ．
(3)如图③，连接AB，
∵四边形ADBC是正方形，
∴ABAC= 2,∠BAC=45°．
∵点Q是正方形APEF的对称中心，
∴APAQ= 2,∠PAQ=45°．
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ．
∴∠BAP=∠CAQ．
∵ABAC=APAQ= 2，
∴△ABP∽△ACQ．
∴ACAB=CQBP=1 2= 22．
∵CQ=4 2，
∴BP= 2CQ=8．
设PC=x，则BC=AC=8+x，
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，即122=(8+x)2+x2，
解得x1=−4+2 14,x2=−4−2 14．
∵x>0，
∴x=−4+2 14．
∴正方形ADBC的边长为8+x=8−4+2 14=4+2 14．
(1)证明△BAP≌△CAQ(SAS)，即可得到结论；
(2)证明△BAC∽△PAQ，则BAAC=PAAQ，由∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ得到∠BAP=∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，即可证明结论；
(3)连接AB，证明△ABP∽△ACQ，得到ACAB=CQBP=1 2= 22，求出BP= 2CQ=8，设PC=x，则BC=AC=BP+PC=8+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，则122=(8+x)2+x2，求出x=−4+2 14，即可得到答案．
此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．A
B
B
C
A
/
BA
BA
CA
B
AB
/
BB
CB
B
AB
BB
/
CB
C
AC
BC
BC
/