广东省揭阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份广东省揭阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学科试题
一、选择题
1．下列关系式中y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示的“中”字，俯视图是（ ）

A． B． C． D．
3．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4B．2，10，15，5C．2，4，8，16D．2，12，12，4
4．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=5B．（x+4）2=5C．（x﹣4）2=27D．（x+4）2=27
5．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行且相等B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等D．对角线互相垂直
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
7．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ）
A．图象在第二、四象限B．点在反比例函数的图象上
C．随的增大而增大D．当时，
8．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（ ）
A．B．或C．D．或
9．如图，是的中线，点在上且满足，连接，与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．4D．
10．如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．①②③
二、填空题
11．太阳光下形成的投影是 投影．(填“平行”或“中心”)
12．若（a、b均不为0），那么 .
13．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干题红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则摸到红色幸运星颗数约为 颗．
14．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为3，则的值为 ．
15．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 ．
三、解答题（一）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．如图，在中，点分别在边上，，． 求证：．

18．如图是分别从正面、左面、上面观察一个几何体得到的图形，请解答以下问题：
(1)这个几何体的名称为 ；
(2)若从正面看到的是长方形，其长为；从上面看到的是等边三角形，其边长为，求这个几何体的侧面积．
四、解答题（二）
19．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求全班学生总人数；
(2)在扇形统计图中，a＝ ，b＝ ，C类的圆心角为 ；
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率．
20．某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度为10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为.
(1)当矩形动物场面积为时，求边的长；
(2)能否围成面积为矩形动物场？说明理由．
21．已知如图，四边形中，，E为对角线的中点，点F在边上，交于点G，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如果，求证：．
五、解答题（三）
22．直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与双曲线交于点，连接
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)在直线上存在一个点M（不与A重合），使得，求点M的坐标；
(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由
23．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等；
【问题解决】
（3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．

参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的识别，一般地，形如的函数叫做反比例函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意；
B、，即是反比例函数，符合题意；
C、不是反比例函数，不符合题意；
D、，当时不是反比例函数，不符合题意；
故选B．
2．D
【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：

故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．C
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、1×4≠2×3，故四条线段不成比例；
B、2×15≠5×10，故四条线段不成比例；
C、2×16=4×8，故四条线段成比例；
D、2×12≠4×12，故四条线段不成比例．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
4．C
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：x2﹣8x=11，
x2﹣8x+16=27，
所以（x﹣4）2=27，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．A
【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的性质．根据菱形、矩形、正方形的性质，逐项判断即可．
【详解】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意．
B、矩形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意．
C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意．
D、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．A
【分析】根据即可判断．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
7．C
【分析】根据反比例函数的性质依次进行判断即可得到答案．
【详解】解：A. 反比例函数，，则图象在第二、四象限，故A正确，不符合题意；
B.当时，，则点在反比例函数的图象上，故B正确，不符合题意；
C. 反比例函数，，则在每一象限内，随的增大而增大，故C错误，符合题意；
D.当时，则，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8．D
【分析】根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解．
【详解】解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，
∴点B的对应点的坐标为：或．
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9．C
【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，利用已知条件熟练运用相关性质是正确解题的关键．
过点E作交于G，得出、，利用性质即可得出．
【详解】解：过点E作交于G，
是的中线，
,,
,,,
，
,
,
,
设，
,,
,,
,
故答案为：C
10．C
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键．
11．平行
【分析】太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．
【详解】解：太阳光线下形成的投影是平行投影．
故答案为：平行
【点睛】此题考查了投影，熟练掌握平行投影和中心投影的意义是解题的关键．
12．##
【分析】此题主要考查比例的基本性质的逆运用，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可得出答案．
【详解】解：因为，则．
故答案为：．
13．35
【分析】设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．
【详解】设袋中红色幸运星有颗，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数值的几何意义，由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
反比例函数的图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
15．2
【分析】利用矩形的性质先求得，，再证明，即可得解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，矩形的性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
17．见解析
【分析】由，得到，再由即可得到．
【详解】解：，，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键．
18．(1)三棱柱
(2)这个几何体的侧面积为．
【分析】本题主要考查立体图形展开图的识别，立体图形侧面积的计算方法．
（1）根据立体图形的展开图的特点分析即可求解；
（2）根据立体图形侧面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：这个几何体从正面看和从左边看都是长方形，从上面看是三角形，
所以这个几何体是三棱柱．
故答案为：三棱柱；
（2）解：三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长，宽是三棱柱的高，
所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
．
答：这个几何体的侧面积为．
19．(1)40人
(2)15，60，54°
(3)
【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比；
（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：全班学生总人数为：10÷25%=40（人）；
（2）解：∵B类百分比为×100%=60%，
∴b=60；
∵C类人数为：40-（10+24）=6（人），
∴C类百分比为×100%=15%，
∴a=15；
∴C类的圆心角为360°×15%=54°，
故答案为：15，60，54°；
（3）解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，
∴P(全是B类学生)＝．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(1)
(2)不能围成，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据矩形面积公式列出方程是解题关键．
（1）根据题意得，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解；
（2）根据题意得， 解方程，得到方程没有实数根，即可得到不能围成面积为矩形动物场．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，，
当米时，（米），符合题意；
当米时，（米），
∵墙长度为10米，
∴米不符合题意；
∴边的长为6米；
（2）解：不能围成面积为矩形动物场，理由如下：
根据题意得，
整理，得，
∵，
∴方程没有实数根，
∴不能围成面积为矩形动物场．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCF，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明，利用相似三角形的性质解答．
【详解】（1）证明：∵，E为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)；；
(2)；
(3)存在；
【分析】本题考查了利用待定系数法确定一次函数与反比例函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理解题意，综合运用知识点是解题的关键．
（1）把点C坐标代入，求出b的值，得出直线的解析式；把点代入得到n的值，求出A点的坐标，再把将A点代入中，求出m的值，从而得出双曲线的解析式．
（2）根据题意得到，根据A点坐标，得出，当时，解得的值，即可解答．
（3）过点A作轴，垂足为点N，根据，，求出的值，根据，求出的值，再根据，得出，从而得出或，最后根据或，再代入求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴把点代入得：，
∴直线的解析式是：；
∵直线也过A点，
∴把A点代入得到：，
∴，
把将A点代入得：，
∴双曲线的解析式是：；
（2）若，则，
∵，
∴，
当时，，解得，
∴．
（3）存在；
过点A作轴，垂足为点N，
则，，则，
∵，
∴，，
∴，
①若，则，
即，
解得
②若，
则，
即，
解得，
∵点，
∴点D的坐标是或．
23．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）证明，则，由得到，则，即可证明结论；
（3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案．
【详解】解：（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）在等腰中，，
．
在等腰中，，
．
，
．
．
．
，
．
．
．
（3）如图③，连接，
四边形是正方形，
．
点是正方形的对称中心，
．
．
．
，
．
．
，
．
设，则，
在中，，即，
解得．
，
．
正方形的边长为．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
A
B
B
C
A
/
BA
BA
CA
B
AB
/
BB
CB
B
AB
BB
/
CB
C
AC
BC
BC
/