2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.“明天连云港会下雨”，这个事件是( )
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件
3.抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是( )
A. (2,5)B. (−2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)
4.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP=7cm，则点P( )
A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 不能确定
5.在一个不透明的布袋中装有10个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 7个
6.据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 12.1(1+2x)=14.4B. 12.1(1+x)2=14.4
C. 14.4(1−x)2=12.1D. 12.1+12.1x+12.1(1+x)2=14.4
7.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )
A. 40°
B. 35°
C. 30°
D. 25°
8.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠ACD=51°，则∠BAC的度数为( )
A. 39°
B. 49°
C. 51°
D. 29°
9.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2−2b，例如：5※1=52−2×1=23.若x※x=−1，则x的值为( )
A. 1B. 0C. 0或1D. 1或−1
10.如表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：
那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似根的是( )
A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.掷一枚质地均匀的硬币，前8次都是正面朝上，则掷第9次正面朝上的概率是______ ．
12.将抛物线y=2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是______ ．
13.一元二次方程x2−6x+a=0，配方后为(x−3)2=1，则a= ______ ．
14.一座拱桥的轮廓是一段半径为250m的圆弧(如图所示)，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为______ m.
15.如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=75°，点D是BC边上一个动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB，AC于点E，F，若AB的长为4 3，弦EF长度的最小值为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解方程：x(x−3)=2．
17.(本小题6分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3)，C(1,3)．
(1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1；
(2)△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，请直接写出点A2，B2，C2的坐标．
18.(本小题6分)
已知关于x的方程x2−2x+2m−1=0．
(1)若方程有一个根为0，求此时m的值；
(2)若方程有实数根，求m的取值范围．
19.(本小题6分)
已知二次函数y=−x2+6x−5．
(1)求二次函数图象与x轴的交点坐标；
(2)当y≥0时，写出x的取值范围．
20.(本小题8分)
某学校在课后延时服务中开设了A(篮球)，B(足球)，C(音乐鉴赏)，D(书法)四门课程供学生选择，李明和张华两位学生随机选择其中一门课程学习．
(1)求张华选择书法的概率；
(2)求两人恰好同时选择球类运动的概率．
21.(本小题8分)
如图1是一款利用曲边三角形制造的扫地机.如图2是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC，AC，AB，三段弧所围成的图形就是曲边三角形.若这个曲边三角形的周长为30πcm，求它的面积(结果保留π)．
22.(本小题8分)
随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为28米)，用长为40米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边AB的长；
(2)可以围成的菜地面积最大是多少？
23.(本小题10分)
如图1，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB=BC，将△ABD绕点B旋转至△CBE．
(1)证明：点D，C，E三点共线；
(2)若∠E=45°，圆的半径为5，求弦BC的长；
(3)如图2，若∠E=30°，试探究弦DA，DB，DC之间的数量关系，并证明．
24.(本小题12分)
如图，直线BC与x轴交于点B，与y轴交于点C，其中OB=4，∠BCO=30°，抛物线y=ax2+3 3x+c经过B，C两点，并与x轴交于另一点A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时点F在线段BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，求t为何值时，△BEF的面积最大？并求出最大值；
(3)是否存在某个时间t，使得以EF为直径的圆与△OBC的边OB或BC相切？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：“明天连云港会下雨”是随机事件．
故选：B．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：因为抛物线y=2(x−2)2+5，
所以抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是(2,5)．
故选：A．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵平面内，已知⊙O的半径r是8cm，线段OP=7cm，
∴r>OP，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
根据⊙O的半径r是8cm，线段OP=7cm可得r>OP，进而可得出点P与⊙O的位置关系．
此题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：x10=0.3，
解得：x=3，
即布袋中黄球可能有3个，
故选：B．
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：12.1(1+x)2=14.4．
故选：B．
利用该展览中心5月份的参观人数=该展览中心3月份的参观人数×(1+参观人数的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∠AOB=15°，
∴∠AOA′=45°，∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠AOA′−∠A′OB′=45°−15°=30°．
故选：C．
根据旋转的性质、旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，以此即可求解．
本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质得出∠AOA′=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵CD是⊙O的切线，切点为C，
∴半径OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=51°，
∴∠ACO=90°−∠ACD=39°，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO=39°．
故选：A．
由切线的性质得到∠OCD=90°，求出∠ACO=90°−∠ACD=39°，由等腰三角形的性质待定∠BAC=∠ACO=39°．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，关键是由切线的性质得到∠OCD=90°．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得x2−2x=−1，
整理得：x2−2x+1=0，
则(x−1)2=0，
解得：x1=x2=1，
故选：A．
根据题意列得一元二次方程，解方程即可．
本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：观察表格得：方程ax2+bx+c=0的一个近似根为1.3，
故选：B．
观察表格可得−0.01更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
11.【答案】12
【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币，前8次都是正面朝上，则掷第9次正面朝上的概率是12，
故答案为：12．
根据概率的意义，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
12.【答案】y=2x2−3
【解析】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是y=2x2−3．
故答案为：y=2x2−3．
直接根据“上加下减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：∵(x−3)2=x2−6x+9=1，
即x2−6x+8=0，
∴a=8；
故答案为：8．
利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】50
【解析】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA=OD=250m，AC=BC=12AB=150m，
∴OC= OA2−AC2= 2502−1502=200(m)，
∴CD=OD−OC=250−200=50(m)，
即这些钢索中最长的一根为50m，
故答案为：50．
设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC=BC=12AB=150m，再由勾股定理求出OC=200m，然后求出CD的长即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
15.【答案】3 2
【解析】解：作AH⊥BC于H，连接OE、OF，如图，
∵∠BAC=45°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°−45°−75°=60°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EOF=2∠BAC=2×45°=90°，
∵OE=OF，
∴EF= 2OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
此时AD最小，AD的最小值为AH的长，
在Rt△ABH中，sin∠ABH=AHAB=sin60°，
∴AH= 32AB= 32×4 3=6，
∴OE的最小值为3，
∴EF的最小值为3× 2=3 2．
故答案为：3 2．
作AH⊥BC于H，连接OE、OF，如图，利用圆周角定理得∠EOF=90°，利用等腰直角三角形的性质得到EF= 2OE，所以当⊙O的半径最小时，EF的值最小，此时AD最小，AD的最小值为AH的长，然后在Rt△ABH中计算出AH的长就可得到EF的最小值．
此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】解：原方程转化为：x2−3x−2=0，
∵a=1，b=−3，c=−2，
∴Δ=9+8=17>0，
∴x1=3+ 172，x2=3− 172．
【解析】将方程转化为一般式利用公式法解答即可．
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是关键．
17.【答案】解：(1)如图，△AB1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．点A2，B2，C2的坐标分别为：(0,−1)、(−4,−3)、(−1,−3)．

【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)将x=0代入原方程得：2m−1=0，
解得m=12；
(2)∵方程有实数根，
∴Δ=4−4×1×(2m−1)≥0，
整理得8−8m≥0，
∴m≤1．
【解析】(1)将x=0代入原方程计算出m值即可；
(2)根据判别式进行计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)当y=0时，−x2+6x−5=0，
解得x1=5，x2=1
∴抛物线与x轴的交点坐标为(5,0)、(1,0)；
(2)∵二次函数y=−x2+6x−5图象开口向下，
∴当y≥0时，1≤x≤5．
【解析】(1)解方程x2+2x−3=0可得到抛物线与x轴的交点坐标；
(2)写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
20.【答案】解：(1)张华选择书法的概率=14；
(2)画树状图为：

共有16种等可能的结果，两人恰好同时选择球类运动的结果数为2，
所以两人恰好同时选择球类运动的概率=216=18．
【解析】(1)直接根据概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两人恰好同时选择球类运动的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.【答案】解：设等边三角形ABC的边长为r cm，
∴60πr180=30π3，解得r=30，即正三角形的边长为30cm，
∴这个曲边三角形的面积=30×15 3×12+(60π×302360−30×15 3×12)×3=(450π−450 3)cm2．
【解析】此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为10π，所以根据弧长公式可得r=30，即正三角形的边长为30，那么曲边三角形的面积就=三角形的面积+三个弓形的面积．
本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就=三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．
22.【答案】解：(1)设菜地的宽AB为x米，
则菜地的长AD为(40+2−3x)米．
根据题意得x(40+2−3x)=120，
解得x1=4，x2=10，
当x=4时，40+2−3x=30>28，(不合题意，舍去)；
当x=10时，40+2−3x=12<28，符合题意．
答：此时宽AB为10米；
(2)设菜地的面积为S平方米，则：
依题意得S=x(42−3x)=−3(x−7)2+147，
因为0<42−3x≤28，解得143≤x<14；
当x=7时，S取最大值，此时S=147．
即花圃的最大面积为147平方米．
【解析】(1)先由题意得到花圃的长AD为(40+2−3x)米，再列方程分情况讨论即可；
(2)设花圃的面积为S平方米，根据题意列出二次函数解析式，再根据二次函数的图象和性质作答即可．
本题考查了解一元二次方程和二次函数的图象和性质，解题时注意结果要符合题目要求．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵△ABD绕点B旋转得到△CBE，
∴∠DAB=∠ECB，
∴∠ECB+∠DCB=180°，
∴点D，C，E三点共线；
(2)解：设圆心为点O，连接OA，OB，

∵△ABD绕点B旋转得到△CBE，
∴∠E=∠ADB=45°，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴AB所对的圆周角为45°，
∴AB所对的圆心角为90°，
即∠AOB=90°，
∵圆的半径为5，
∴OA=OB=5，
∴AB= AO2+OB2= 52+52=5 2，
∵AB=BC，
∴BC=5 2；
(3)解：弦DA，DB，DC之间的数量关系为DA2+2DC2=3BD2．
证明如下：连接AC，作AD，DC的垂直平分线，并延长交于点O，过点B作BG⊥AC交AC于点G，

∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴点O是圆心，
∴△ABD绕点B旋转得到△CBE，∠E=30°，
∴BD=BE，∠ADB=∠EDB=30°，
又∵AB=BC，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°，
∵OH⊥AD，
∴∠DOH=∠AOH=30°，
∴∠DOA=60°，
∴∠DOA+∠AOC=120°，
∵点D，O，C三点共线，
∴DC是直径，
∴∠DBC=∠DAC=90°，
∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=30°，
∴BG=12AB，
在Rt△AGB中，AB2=BG2+AG2，
∴AG= 32AB，
∴AC= 3AB，
∴AC2=3AB2，
在Rt△ADC中，DC2=DA2+AC2，
∴AC2=DC2−DA2，
在Rt△BDC中，DB2+BC2=DC2，
∴BC2=DC2−DB2，
∵AB=BC，
∴AB2=DC2−DB2，
∴DC2−DA2=3(DC2−DB2)，
∴DA2+2DC2=3BD2．
【解析】(1)由圆内接四边形的性质得出∠DAB+∠DCB=180°，由旋转的性质得出∠DAB=∠ECB，证出∠ECB+∠DCB=180°，则可得出结论；
(2)连接OA，OB，证出∠AOB=90°，由勾股定理可得出答案；
(3)连接AC，作AD，DC的垂直平分线，并延长交于点O，过点B作BG⊥AC交AC于点G，证出∠BAC=∠BCA=30°，得出BG=12AB，由勾股定理可得出结论．
本题是圆的综合题，考查了旋转的性质，圆的基本性质，垂径定理，圆内接四边形的性质定理，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵OB=4，∠BCO=30°，
∴BC=2OB=8，
∴OC= BC2−OB2=4 3，
∴点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,4 3)，
把B(4,0)，C(0,4 3)，代入y=ax2+3 3x+c，解得a=− 3，c=4 3，
∴抛物线的解析式为y=− 3x2+3 3x+4 3；
(2)把y=0代入y=− 3x2+3 3x+4 3，解得x=4(点B的横坐标，舍去)，x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
∴AB=5，
∵点E在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，同时点F在线段BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动，
∴AE=t，BF=2t，
∵AB=5，BC=8，且当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，
∴0≤t≤4，
过点F作GF⊥x轴，垂足为G，

∵GF⊥x轴，
∴GF//OC，
∴∠BFG=∠BCO=30°，
∴BG=12BF=t，
∴GF= BF2−BG2= 3t，
S△BEF=12⋅BE⋅GF=12(AB−AE)⋅GF=12(5−t)⋅ 3t=− 32t2+5 32t，
当t=−5 322⋅(− 32)=52时，S△BEF取最大值为25 38；
(3)设运动t秒后，EF⊥OB，则EF//y轴，

∴∠BFE=∠BCO=30°，
∵AE=t，BF=2t，
∴BE=t，
∵AE+BE=AB，
∴t+t=5，
∴t=52，
即当t=52时，以EF为直径的圆与OB相切，
当EF⊥BC时，则∠BEF+∠FBE=90°，

∵∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BEF=∠BCO=30°，
又AE=t，BF=2t，
∴BE=4t，
∴5−t=4t，
∴t=1，
即当t=1时，以EF为直径的圆与BC相切，
综上所述，当=52或t=1时，以EF为直径的圆与△OBC的边OB或BC相切．
【解析】(1)根据含30°的直角三角形，求出点B和点C的坐标，代入y=ax2+3 3x+c即可求出解析式；
(2)根据题意利用t表示AE、BF的长，从而表示△BEF的面积，结合二次函数的增减性即可求出三角形面积的最大值；
(3)根据相切的定义，分EF⊥OB和EF⊥BC两种情况，求出所对应的t的值．
本题考查待定系数法求函数解析式，30°所对的直角边等于斜边的一半，求二次函数的最值，平行线的性质与判定，切线的性质等知识．x
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
−0.36
−0.01
0.36
0.75
1.16