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第十二讲 二次函数的综合应用-九年级上学期数学讲义（苏科版）
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这是一份第十二讲 二次函数的综合应用-九年级上学期数学讲义（苏科版），共25页。
二次函数与三角形的综合运用：
1.求面积及最值 2.与三角形的综合运用 3.与四边形的综合运用
解二次函数综合题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意；探究解题思路；正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点.结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
解二次函数综合题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想.数形结合思想.分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系.图形的几何特征与数.式的数量.结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
二.典型例题
例1.如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
例2.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；
（2）当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴或，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
例3.在平面直角坐标系xy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=-12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B.C）部分有两个交点，求b的取值范围．
解：（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．
（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），
∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．
（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，
当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，
当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B.C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．
例4.如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
解：（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，
∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为（3，2），
∴二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）与y2=ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，
∵点A.B关于直线x=3对称，
∴二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B．
②∵二次函数y2=ax2+bx+c的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y1=±1，即x2﹣6x+8=±1，
解得：x1=3﹣，x2=3+，x3=3，
∴点R的坐标为（3﹣，1）.（3+，1）或（3，﹣1）．
故答案为：（3﹣，1）.（3+，1）或（3，﹣1）．
例5.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(12,52)和B(4,m)，点P是线段AB上异于A,B的动点，过点作PC⊥x轴，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值?若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由;
(3)当ΔPAC为直角三角形时，求点的坐标.
(1)图像过点，
.
(2)①作如图辅助线， 代入，
解得或(舍去)..
,
是矩形.
②存在，连接.当时，，的值最小是2.
例6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO.PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：(1)由题意得.
在抛物线上，解得，
抛物线表达式.
(2)设动点
，
，
当时，取得最大值，此时.
综上，存在符合条件的点，使线段的长有最大值.
(3)显然，
当时，如图①，设直线的解析式为.
代入，解得，
由，得或(舍去).
当时，坐标为.
当时，如图②，由知点的纵坐标，
由，得(舍去)，，
当时，此时，坐标为.
综上知，满足条件的点有两个，坐标分别为或.
例7.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C.B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C.M.N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
解析：（1）将B.C两点的坐标代入得
解得：，所以二次函数的表达式为：
存在点P，使四边形为菱形．
设P点坐标为（x，），交CO于E
若四边形是菱形，则有PC＝PO．连结，
则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．∴=
解得=，=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为，则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．
三.课堂训练
1.如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )
A．y=32x2 B．y=3x2 C．y=23x2 D．y=33x2
2.已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m-1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为 ．
3.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 ．
解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，
∴x=1+或x=2，∴C（1+，3）或（2，﹣3）
4.直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于A（x1，y1）.B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 ．
解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）.B（x2，y2）两点，
∴kx+b=，化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，∴=，
解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．
5.如图，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴y=x2﹣x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，
∴点D（1，﹣）.点C（0，﹣4），
则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；
6.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与轴的一个交点为(－2,0),与y轴的交点为C，对称轴是直线x=3，对称轴与x轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)经过B,C的直线平移后与抛物线交于点M，与轴的交点为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标.
解：(1)抛物线与轴的一个交点为，对称轴是，
解得，
抛物线的函数表达式为.
(2)①当时，如图①
点和点关于对称，点的坐标为(6,4)
②当时，如图②
点的纵坐标是－4，在抛物线上，
，或，
点的坐标为或
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E.B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M.N的坐标．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，
y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，
（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，
∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；
设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，
∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，
∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，
当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26，∵MN=AE∴MN2=AE2，
∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
四.举一反三
1.已知抛物线y=ax2-3x+ca≠0经过点（﹣2，4），则4a+c-1= -3 ．
2.a,b,c是实数，点A（a+1.b）.B（a+2，c）在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b.c的大小关系是b < c（用“＞”或“＜”号填空）
3.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 1 ．
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A.B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 （﹣2，0） ．
5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=-x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 15 ．
6.二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>-3（3）7a-3b+2c>0；（4）若点A（﹣3，y1）.点B（﹣12，y2）.点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y1＜y1；（5）若方程ax+1x-5=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7.已知抛物线y=ax2+b的图象如图所示，则a-b+c+2a+b=（D ）
A. a+b B. a﹣2b C. a﹣b D. 3a
8.二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ C ）
A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜8
9.如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ C ）
A B C D
10.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-1400x-802+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（ B ）
A．1694016米B．174米C．16740米D．154米
11.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+k-1x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+k-1x-kk>0与x轴交于点C.D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．
解：（1）当k＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣1，直线的解析式为y＝x+1，
联立直线与抛物线，得：
，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
当x＝﹣1时，y﹣x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）；
（2）设P（x，x2﹣1）如下图，
过点P作PF∥y轴，交直线AB于F，
则F（x，x+1），
PF＝yF﹣yP＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2，
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF），
S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+
∵当x＝时，yP＝（）2﹣1＝﹣，
∴△ABP面积的最大值为，
此时点P的坐标（，﹣）；
（3）如下图：
令二次函数y＝0，
x2+（k﹣1）x﹣k＝0，
即：（x+k）（x﹣1）＝0，
x＝﹣k，或x＝1，
C（﹣k，0），D（1，0），
直线y＝kx+1过（0，1），
将抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k关于x轴对称，
得：y＝﹣x2﹣（k﹣1）x+k
联立直线y＝kx+1，得：
x2+（2k﹣1）x+1﹣k＝0
△＝（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）＝0
得：k＝或k＝﹣（舍弃），
∵k＞0，
∴0＜k＜，
∵直线y＝kx+1经过点C（﹣k，0）时，k＝1，
∴由图象可知，0＜k＜或k＞1时，直线y＝kx+1与这个图形只有两个公共点．
12.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=-43x-22+k过点A．
（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=-43x-22+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．
解：（1）∵经过点A（3，4），
∴，
解得：；
（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD＝3，OD＝4，．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OC＝5，BD＝AB﹣AD＝2，
∴B（﹣2，4）．
令y＝0，得，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE＝4，
当m＝OC＝5时，平移后的抛物线为，
令x＝﹣2得，，
∴点B在平移后的抛物线上；
当m＝CE＝9时，平移后的抛物线为，
令x＝﹣2得，，
∴点B不在平移后的抛物线上．
综上，当m＝5时，点B在平移后的抛物线上；当m＝9时，点B不在平移后的抛物线上．
13.如图①，在平面直角坐标系xy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）.B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P.Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP.DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明
.解：（1）将A（﹣1，0）.B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（﹣，）.Q（，﹣）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）＝﹣x2+3x+，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQE＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x+＝﹣2（x﹣）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
二次函数与三角形的综合运用：
1.求面积及最值 2.与三角形的综合运用 3.与四边形的综合运用
解二次函数综合题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意；探究解题思路；正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点.结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
解二次函数综合题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想.数形结合思想.分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系.图形的几何特征与数.式的数量.结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
二.典型例题
例1.如图，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
例2.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yp，求yp的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；
（2）当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴或，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
例3.在平面直角坐标系xy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若直线y=-12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B.C）部分有两个交点，求b的取值范围．
解：（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．
（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），
∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．
（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，
当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，
当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，
当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，
∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B.C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．
例4.如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
（1）写出点D的坐标 ．
（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；
②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
解：（1）∵y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，
∴顶点D的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
（2）①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为（3，2），
∴二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）与y2=ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，
∵点A.B关于直线x=3对称，
∴二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B．
②∵二次函数y2=ax2+bx+c的顶点坐标P（3，2），且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y1=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8中y1=±1，即x2﹣6x+8=±1，
解得：x1=3﹣，x2=3+，x3=3，
∴点R的坐标为（3﹣，1）.（3+，1）或（3，﹣1）．
故答案为：（3﹣，1）.（3+，1）或（3，﹣1）．
例5.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(12,52)和B(4,m)，点P是线段AB上异于A,B的动点，过点作PC⊥x轴，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值?若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由;
(3)当ΔPAC为直角三角形时，求点的坐标.
(1)图像过点，
.
(2)①作如图辅助线， 代入，
解得或(舍去)..
,
是矩形.
②存在，连接.当时，，的值最小是2.
例6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO.PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解：(1)由题意得.
在抛物线上，解得，
抛物线表达式.
(2)设动点
，
，
当时，取得最大值，此时.
综上，存在符合条件的点，使线段的长有最大值.
(3)显然，
当时，如图①，设直线的解析式为.
代入，解得，
由，得或(舍去).
当时，坐标为.
当时，如图②，由知点的纵坐标，
由，得(舍去)，，
当时，此时，坐标为.
综上知，满足条件的点有两个，坐标分别为或.
例7.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C.B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C.M.N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
解析：（1）将B.C两点的坐标代入得
解得：，所以二次函数的表达式为：
存在点P，使四边形为菱形．
设P点坐标为（x，），交CO于E
若四边形是菱形，则有PC＝PO．连结，
则PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．∴=
解得=，=（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），
易得，直线BC的解析式为，则Q点的坐标为（x，x－3）.
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．
三.课堂训练
1.如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )
A．y=32x2 B．y=3x2 C．y=23x2 D．y=33x2
2.已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m-1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为 ．
3.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为 ．
解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，
又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，
令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2
∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，
∴x=1+或x=2，∴C（1+，3）或（2，﹣3）
4.直线y=kx+b与抛物线y=14x2交于A（x1，y1）.B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 ．
解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）.B（x2，y2）两点，
∴kx+b=，化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，∴=，
解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．
5.如图，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积；
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，解得：，
∴y=x2﹣x﹣4；
（2）过点D作DM⊥y轴于点M，
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，
∴点D（1，﹣）.点C（0，﹣4），
则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4=4；
6.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与轴的一个交点为(－2,0),与y轴的交点为C，对称轴是直线x=3，对称轴与x轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)经过B,C的直线平移后与抛物线交于点M，与轴的交点为，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标.
解：(1)抛物线与轴的一个交点为，对称轴是，
解得，
抛物线的函数表达式为.
(2)①当时，如图①
点和点关于对称，点的坐标为(6,4)
②当时，如图②
点的纵坐标是－4，在抛物线上，
，或，
点的坐标为或
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E.B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M.N的坐标．
解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，
y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，
（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，
∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；
设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，
∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，
∴当x=﹣=时，∴S四边形APCD最大=，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，
当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+0E2=26，∵MN=AE∴MN2=AE2，
∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），
四.举一反三
1.已知抛物线y=ax2-3x+ca≠0经过点（﹣2，4），则4a+c-1= -3 ．
2.a,b,c是实数，点A（a+1.b）.B（a+2，c）在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b.c的大小关系是b < c（用“＞”或“＜”号填空）
3.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 1 ．
4.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A.B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 （﹣2，0） ．
5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=-x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 15 ．
6.二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>-3（3）7a-3b+2c>0；（4）若点A（﹣3，y1）.点B（﹣12，y2）.点C（7，y3）在该函数图象上，则y1＜y1＜y1；（5）若方程ax+1x-5=-3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7.已知抛物线y=ax2+b的图象如图所示，则a-b+c+2a+b=（D ）
A. a+b B. a﹣2b C. a﹣b D. 3a
8.二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ C ）
A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜8
9.如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（ C ）
A B C D
10.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-1400x-802+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（ B ）
A．1694016米B．174米C．16740米D．154米
11.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+k-1x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+k-1x-kk>0与x轴交于点C.D两点（点C在点D的左侧），抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折得到与原抛物线剩余的部分组成如图所示的图形，若直线y=kx+1与这个图形只有两个公共点，请求出此时k的取值范围．
解：（1）当k＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣1，直线的解析式为y＝x+1，
联立直线与抛物线，得：
，
解得x1＝﹣1，x2＝2，
当x＝﹣1时，y﹣x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）；
（2）设P（x，x2﹣1）如下图，
过点P作PF∥y轴，交直线AB于F，
则F（x，x+1），
PF＝yF﹣yP＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2，
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF），
S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+
∵当x＝时，yP＝（）2﹣1＝﹣，
∴△ABP面积的最大值为，
此时点P的坐标（，﹣）；
（3）如下图：
令二次函数y＝0，
x2+（k﹣1）x﹣k＝0，
即：（x+k）（x﹣1）＝0，
x＝﹣k，或x＝1，
C（﹣k，0），D（1，0），
直线y＝kx+1过（0，1），
将抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k关于x轴对称，
得：y＝﹣x2﹣（k﹣1）x+k
联立直线y＝kx+1，得：
x2+（2k﹣1）x+1﹣k＝0
△＝（2k﹣1）2﹣4（1﹣k）＝0
得：k＝或k＝﹣（舍弃），
∵k＞0，
∴0＜k＜，
∵直线y＝kx+1经过点C（﹣k，0）时，k＝1，
∴由图象可知，0＜k＜或k＞1时，直线y＝kx+1与这个图形只有两个公共点．
12.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=-43x-22+k过点A．
（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=-43x-22+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．
解：（1）∵经过点A（3，4），
∴，
解得：；
（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD＝3，OD＝4，．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OC＝5，BD＝AB﹣AD＝2，
∴B（﹣2，4）．
令y＝0，得，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE＝4，
当m＝OC＝5时，平移后的抛物线为，
令x＝﹣2得，，
∴点B在平移后的抛物线上；
当m＝CE＝9时，平移后的抛物线为，
令x＝﹣2得，，
∴点B不在平移后的抛物线上．
综上，当m＝5时，点B在平移后的抛物线上；当m＝9时，点B不在平移后的抛物线上．
13.如图①，在平面直角坐标系xy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）.B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P.Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP.DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为-12，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明
.解：（1）将A（﹣1，0）.B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（﹣，）.Q（，﹣）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）＝﹣x2+3x+，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQE＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x+＝﹣2（x﹣）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
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