第十二讲  圆综合

弦、弧之间的关系

1．下列说法：(1)直径是弦，但弦不一定是直径；(2)在同一圆中，优弧长度大于劣弧长度；(3)在圆中，一条弦对应两条弧，但一条弧却只对应一条弦；(4)弧包括两类：优弧、劣弧．其中正确的有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

2．如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是(　　)

A．AB>2CD   B．AB＝2CD

C．AB<2CD   D．以上都不正确

3．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相等，求证：＝.

(第3题)

圆周角、圆心角之间的关系

4．如图所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.

(第4题)

弧、圆周角之间的关系

5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．

(第5题)

弦、圆心角之间的关系

6．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．

(第6题)

弦、弧、圆心角之间的关系

7．(探究题)等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示，判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．

(第7题)

 阶段强化专训二：垂径定理的四种应用技

名师点金：垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出另外一个．

巧用垂径定理求点的坐标

1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．

(第1题)

巧用垂径定理解决最值问题(转化思想)

2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．

(第2题)

巧用垂径定理证明

3．如图，M为⊙O内任意一点，AB为过M点且与OM垂直的一条弦．

求证：AB是⊙O内过M点的所有弦中最短的一条．

(第3题)

巧用垂径定理解决实际问题(转化思想)

4．某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？

[来

阶段强化专训三：与圆有关的位置关系的判断方法

名师点金：圆有关的位置关系包括点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，判断它们的关系主要有定义法、比较法、交点个数法、距离比较法等．

点与圆的位置关系

方法1　定义法

1．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD的长为半径的圆，那么下列判断正确的是(　　)

A．点B，C均在圆P外

B．点B在圆P外，点C在圆P内

C．点B在圆P内，点C在圆P外

D．点B，C均在圆P内

2．点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为(　　)

A．－1<a<3

B．a<3

C．a>－1

D．a>3或a<－1

方法2　比较法

3．⊙O的半径r＝5 cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？

直线与圆的位置关系

方法1　交点个数法

4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)

A．相切　　 B．相交　　 C．相离　　 D．无法确定

方法2　距离比较法

5．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4 cm，以点C为圆心，4 cm为半径画⊙C，试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．

(第5题)

6．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的取值范围．

(第6题)

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 阶段强化专训四：切线的证明技巧

名师点金：关切线的证明分两种情况：一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．

连半径，证垂直，得切线

1．(2015·武威)已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.

(1)如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________________________或________________________．

(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

(第1题)

2．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若AB＝2，求BC的长．

(第2题)

作垂直，证半径，得切线

3．(一题多解)如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．

(第3题)

4．(2018·黔西南州)如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.

(1)求证：直线PB与⊙O相切．

(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．

(第4题)

[来源:学科网]

阶段强化专训五：切线判定和性质的四种应用类型

名师点金：的切线判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．

应用于求线段的长

1．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.

(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．

(第1题)

应用于求角的度数

2．(中考·珠海)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A.

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)求∠B的度数．

(第2题)

应用于求圆的半径

3．如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E.

(1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；

(2)若CE＝2，求⊙O的半径r.

(第3题)

应用于探究数量和位置关系

4．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.

(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；

(2)求证：PC是⊙O的切线．

(第4题)

阶段强化专训六：巧求与圆有关的面积问题

名师点金：解与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．根据图形特点，灵活运用这些方法解题，往往会起到事半功倍的效果．

利用“作差法”求面积

1．如图，在⊙O中，半径OA＝6 cm，C是OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．

(第1题)

利用“等积变形法”求面积

2．如图所示，E是半径为2 cm的⊙O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝CD，求阴影部分的面积．

(第2题)

利用“平移法”求面积

3．如图所示，两个半圆中，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？

(第3题)

利用“割补法”求面积

4．如图所示，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连接AC，BD.

(1)求证：AC＝BD；

(2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求图中阴影部分的面积．

(第4题)

课堂作业：

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）

A．60° B．70° C．120° D．140°

2．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4

3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）

A．90° B．60° C．45° D．30°

4．如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（　　）

A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm

5．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（　　）

A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE

6．如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（　　）

A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4

7．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　）

A． B． C． D．

8．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（　　）

A．πa B．2πa C． D．3a

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）

9．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是　　度．

10．如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为　　cm．

11．已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为　　cm．

12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为　　．

三、解答题（共3小题，满分0分）

13．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．

（1）求∠C的大小；

（2）求阴影部分的面积．

14．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：

（1）四边形FADC是菱形；

（2）FC是⊙O的切线．

15．如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；

（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

课后作业：

一、填空题

1、已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（  ）

A．40°    B．80°     C．160°    D．120°

2．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（  ）

A．1cm  B．2cm  C．cm   D．cm

3．已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，，那么点P与⊙O的位置关系是（   ）

A．点P在⊙O内  B．点P在⊙O上  C．点P在⊙O外  D．无法确定

4．如图，为的四等分点，动点从圆心出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为（s）．，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（   ）

5. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（    ）

  A．与轴相离、与轴相切      B．与轴、轴都相离

  C．与轴相切、与轴相离     D．与轴、轴都相切

6 如图,若⊙的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且⊙O的半径为2,则CD的长为              (               )

1.        B.   C.2   D. 4

7．如图，△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR,则∠DOR的度是

A.60     B.65      C.72     D. 75

8.如图，、、、、相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（   ）

A．　　　B．　　　C．　　　D．

二 选择题

9.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为            .

10． 如图，在ΔABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径长

为         cm.

11.善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径弦于），设，，他用含的式子表示图中的弦的长度，通过比较运动的弦和与之垂直的直径的大小关系，发现了一个关于正数的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式           ．

12.如图,∠AOB=300,OM=6,那么以M为圆心,4为半径的圆与直OA的位置关系是_________________.

13.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=∠OAC,OA=8㎝,则AC的长等于_______㎝。

　　　　　　     （13题图）

14. 阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

小亮的作法如下：

老师说：“小亮的作法正确．”

请你回答：小亮的作图依据是_________________________．

三、解答题

15、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．

16、《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）

阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．

再次阅读后，发现AB=______寸，CD=____寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．

17．如图在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。

（1）P是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；

（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。

18、如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E．

（1）求证：DE 是⊙O的切线；

（2）若△ABC的边长为4，求EF 的长度．