【备战2024年中职高考】中职数学 二轮复习 专题训练 专题32 直线、平面垂直-练习

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直线、平面垂直
直线、平面垂直
平面、平面垂直
自检自测
1. 直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直
①定义：若直线l与平面α内的 都垂直，则直线l与平面α垂直．
②判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.
③性质定理： 的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在 所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为 ，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为 .
②线面角θ的范围：θ∈ .
2.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作 ，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角θ的范围：θ∈ ．
(2)平面与平面垂直
①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
②判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.
重要结论
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
常见题型
1. 直线、平面垂直
2. 平面、平面垂直
实战突破
一．选择题：本大题共 18小题，每小题4 分，满分 72 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( )
A．q：m⊥α，n∥β，α⊥β B．q：m⊂α，n⊥β，α∥β
C．q：m⊥α，n⊥β，α∥β D．q：m⊂α，n∥β，α⊥β
2. 已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l⊥α，m⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l⊥m，②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中所有正确的命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．①②③④
3. 已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是( )
A．m⊥n，n⊂α B．m∥β，α⊥β
C．n⊥α，n⊥β，m⊥β D．α∩β＝n，α⊥β，m⊥n
4. 已知两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是( )
A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
5. 直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能 ( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
6. 直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是 ( )
A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内 D．不能确定
7. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是 ( )
A．eq \r(5) B．2eq \r(5)
C．3eq \r(5) D．4eq \r(5)
8. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 ( )
A．(0°，90°) B．[0°，90°]
C．(0°，90°] D．[0°，180°]
9. 在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．6
10. 已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 ( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
11. 平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是 ( )
A．平行 B．异面
C．垂直 D．不相交
12. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则( )
A．m∥β B．m⊂β
C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直
13. 如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有( )对
A．1 B．2
C．3 D．4
14. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A. B.
C. D.
15. 给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．
其中正确的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
16. 已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中表述正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
17. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面. ( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
18. 若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直
二.填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分 28 分.
19. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于__ __.
20. 等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__ __.
21. 已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2eq \r(6)，则侧面与底面所成的二面角的大小为__ __.
22. 设直线∥平面，直线平面，则、的关系是__ __.
23. 将等腰直角三角形沿斜边上的高折成直二面角后，边与的夹角为 .
24. 已知二面角的度数为，点是二面角内的一点，过作于，于，则 （填度数）
25. 设直线平面，直线，则直线与直线所成的角是 ．
专题32 直线、平面垂直（参考答案）
自检自测
1. 直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直
①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.
③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为eq \f(π,2).
②线面角θ的范围：θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
2.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
(2)平面与平面垂直
①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.
重要结论
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
实战突破
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
答案
B
A
C
A
A
D
D
B
B
C
C
C
C
题号
14
15
16
17
18
答案
B
C
B
C
C
题号
19
20
21
22
答案
eq \r(2)
45°
60°
题号
23
24
25
（或）