【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题05　立体几何测试卷(一)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题05　立体几何测试卷(一)（教师版），共12页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．已知直线a、b、c交于一点，则经过这3条直线的平面有______个( )
A．0 B．1
C．3 D．可以有0个，也可以有1个
D 【解析】 三条线可共面，也可不共面．
2．对于任意的直线l与平面α，在平面内必有直线m，使m与l( )
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
C 【解析】 分直线l在平面α内与在平面α外考虑可得结果．
3．以下命题正确的有( )
①垂直于同一个平面的两个平面平行 ②垂直于同一条直线的两个平面平行
③垂直于同一个平面的两条直线平行 ④垂直于同一条直线的两条直线平行
①② B．②③ C．③④ D．①④
B 【解析】 ①两平面可能相交，④两条直线可能异面，故选B.
4．若一个圆柱的轴截面是一个边长为8cm的正方形，则圆柱的侧面积是( )
A．64πcm2 B．64cm2 C．128πcm2 D．128cm2
A 【解析】 圆柱的半径为4cm，高为8cm，侧面积为2×π×4×8＝64π.
5．边长为1正方体中，A1D与平面ABCD所成的角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
B 【解析】 即为∠A1DA，故选B.
6．如图，在正方体中，A1D与D1B所成的角的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
第6题图
D 【解析】 由三垂线定理可得结果．
7．四棱柱成为长方体的一个充分且必要条件是：它的( )
A．底面是矩形 B．侧面是正方形
C．侧面和底面都是矩形 D．侧面和底面都是正方形
C 【解析】 四棱柱中当底面和侧面是矩形时，此四棱柱即为长方体，故选C.
8．如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为( )
A．D，E，F B．F，D，E C．E，F，D D．E，D，F

第8题图
D 【解析】 与B、C相邻的分别是A和E，故A的对面是E，同理可得结果
9．已知高为3的正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，则三棱锥B1－ABC的体积为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3\r(3),4) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),4)
D 【解析】 V三棱锥＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×sin60°×3＝eq \f(\r(3),4).
10．在△ABC中，AD⊥BC，将该三角形沿AD折成直二面角后，则∠BDC的余弦值为( )
A．1 B．0 C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
B 【解析】 ∠BDC即为这个直二面角的平面角，故余弦值为0.
11．已知圆锥底面半径为4，侧面积为60，则母线长为( )
A.eq \f(15,2) B．15 C.eq \f(15,2π) D.eq \f(15,π)
D 【解析】 由S＝π×4×l＝60得l＝eq \f(15,π)，故选D.
12．在四棱锥P－ABCD中，已知PD⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
第12题图
B 【解析】 根据线面垂直推得面面垂直，得不出B选项，故选B.
13．已知正六棱柱底面的边长和柱高都等于a，那么最大对角截面的面积是( )
A．2a2 B.eq \r(3)a2 C.eq \f(2,3)a2 D.eq \f(3,2)a2
A 【解析】 最大对角截面的一边长为2a，另一边长为a，所以面积为2a2.
14．正方体的棱长为eq \f(2\r(3),3)，则它的外接球的表面积为( )
A.eq \f(8,3)π B．2π C．16π D.eq \f(4,3)π
C 【解析】 正方体对角线即为球的直径，长为2，所以，球的表面积为16π.
15．在下列命题中，真命题的个数是( )
①a∥α，b⊥α⇒a⊥b; ②a∥α，b∥α⇒a∥b；
③a⊥α，b⊥α⇒a∥b; ④a⊥b，b⊂α⇒a⊥α.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C 【解析】 ②中a，b可能相交或异面，④中a可能在平面α内或与平面α平行，所以①，③正确，故选C.
16．下列四个命题中，正确命题的个数有( )
①底面是正三角形的棱锥是正三棱锥
②直角三角形绕一边旋转一周得到的几何体是圆锥
③四个侧面都是全等的长方形的四棱柱是正四棱柱
④圆柱的全面积公式为S＝2πrl
A．0 B．1 C．2 D．3
B 【解析】 根据定义可排除①②，根据公式可排除④，③正确，故选B.
17．长方体共顶点的三个面的面积分别是2cm2，6cm2和9cm2，那么这个长方体的体积为( )
A．3eq \r(6)cm3 B．6eq \r(3)cm3 C．7cm3 D．8cm3
B 【解析】 设三边长分别为a，b，c，则由ab＝2，bc＝6，ac＝9三式相乘得(abc)2＝108，所以，abc＝6eq \r(3)，故选B.
18．若两个球的表面积之比是1∶16，那么这两个球的体积之比是( )
A．1∶32 B．1∶24 C．1∶64 D．1∶256
C 【解析】 Req \\al(2,1)∶Req \\al(2,2)＝1∶16，则R1∶R2＝1∶4，所以，Req \\al(3,1)∶Req \\al(3,2)＝1∶64.
19．正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为eq \r(6)∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
D 【解析】 如图，设底面边长为a，高为h，斜高为h′，由题意可得eq \f(\r(2),2)ah∶2ah′＝eq \r(6)∶8，所以，h∶h′＝eq \r(3)∶2，所以，二面角的大小为eq \f(π,3).
第19题图
20．已知四面体O－ABC的各棱长都是a，则点O到平面ABC的距离为( )
A.eq \f(\r(3),2)a B.eq \f(\r(2),2)a C.eq \f(\r(6),3)a D.eq \f(\r(6),2)a
C 【解析】 过O点作面ABC的高，交于P点，连接AP，OP.又∵△ABC为正三角形且OA＝OC＝OB＝a，∴AP＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(\r(3),3)a，在Rt△OAP中，OP＝eq \r(OA2－AP2)＝eq \f(\r(6),3)a.
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21．已知P是平面内的一点，A是平面外一点，m是平面内的一条直线，则直线PA与直线m的位置关系是__________．
相交或异面 【解析】 可能相交也可能异面，不可能平行．
正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB异面的直线有________条．
4 【解析】 除去相交的直线与平行的直线．
23．侧面展开图是边长为2，4的长方形，则此圆柱的体积为__________．
eq \f(4,π)或eq \f(8,π) 【解析】 设底面圆的半径为r，则有两种可能，(1)2πr＝2，则r＝eq \f(1,π)，此时V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))2×4＝eq \f(4,π)；(2)2πr＝4，则r＝eq \f(2,π)，此时V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,π)))2×2＝eq \f(8,π).
24．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__________．
菱形 【解析】 由三垂线定理，若要PC⊥BD，只有当AC⊥BD，此时，此平行四边形为菱形．
25．正四棱锥的侧面积为12eq \r(34)，底面边长为6，则棱锥的高为__________．
5 【解析】 如图，4×eq \f(1,2)×6×h′＝12eq \r(34)，所以，h′＝eq \r(34)，由勾股定理可得，h＝5.
第25题图
26．已知二面角α－l－β的度数是60°，平面α内一点A到l的距离为2eq \r(3)，则点A到平面β的距离是____________．
3 【解析】 根据题意可知，设A到平面β的距离为x，则sin60°＝eq \f(x,2\r(3))⇒x＝3.
27．母线长为2cm的圆锥，当轴截面面积最大时，圆锥的体积为__________．
eq \f(2\r(2)π,3) 【解析】 设轴截面顶角为θ，则S轴截面＝eq \f(1,2)×2×2×sinθ，要使轴截面面积最大，只有当sinθ＝1，即θ＝90°.此时，底面半径与高都为eq \r(2)，V＝eq \f(1,3)π×(eq \r(2))2×eq \r(2)＝eq \f(2\r(2)π,3).
三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(6分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为2，求：
第28题图
(1)对角线A1C的长；
(2)直线A1C与平面ABCD所成角的正切值．
【解】 (1)如图，连接AC，则AC＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，所以A1C＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)))2)＝2eq \r(3).
(2)直线AC是A1C在平面ABCD的射影，所以A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，又因为AA1⊥AC，所以tanα＝eq \f(AA1,AC)＝eq \f(\r(2),2).
第28题图
29．(7分)如图所示，已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若PA＝2，AB＝4，求：
第29题图
(1)AC与平面PAD所成的角；
(2)三棱锥D－PAC的体积．
【解】 (1)因为PA⊥平面ABCD，所以，PA⊥CD，因为CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，AD是AC在平面PAD内的射影，所以，∠CAD是AC与平面PAD所成的角，因为∠CAD＝45°，所以AC与平面PAD所成的角为45°.
(2)VD－PAC＝VP－ACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×4×2＝eq \f(16,3).
30．(8分)如图，将直角三角形绕直线l旋转一周，求围成的几何体的表面积．
第30题图
【解】 如图，AC＝6，BC＝8，则AB＝10.CD＝eq \f(6×8,10)＝eq \f(24,5).
S表＝π×eq \f(24,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋8))＝eq \f(336π,5).
第30题图
31．(8分)半径为10cm的球内有二个平行截面，其面积分别为36πcm2和64πcm2，求这两个平行截面之间的距离．
【解】 如图为截面图，如图1，若两个平行截面在球心的两侧，由πreq \\al(2,1)＝36π，得r1＝6(cm)，h1＝eq \r(102－62)＝8(cm)；由πreq \\al(2,2)＝64π，得r2＝8(cm)，h1＝eq \r(102－82)＝6(cm)，此时，两平行截面之间的距离为6＋8＝14(cm)；如图2，若两个平行截面在球心的同侧，则两平行截面之间的距离为8－6＝2(cm)．

图1 图2
32.(9分)圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个半径为5cm的小球都沉没于容器的水中．若取出这两个小球，求容器内的水面将下降多少？
【解】 小球体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×125＝eq \f(500,3)π(cm3)，设水面下降hcm，则πR2·h＝2×eq \f(500,3)π，R＝5，∴h＝eq \f(40,3)(cm)，水面下降eq \f(40,3)cm.
33．(9分)在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，内接一个高为eq \r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．
第33题图
【解】 如图，PA＝4，OA＝2，所以，PO＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，所以，PO1＝2eq \r(3)－eq \r(3)＝eq \r(3)，所以，O1B＝1，S表＝2π×1×eq \r(3)＋2π×12＝(2eq \r(3)＋2)π.
第33题图
34．(9分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底边长为10，高为9，过底面一边BC作与底面ABC成30°角的截面DBC.求：
第34题图
(1)AD的长；
(2)五面体DBC－A1B1C1的体积．
【解】 (1)如图，取BC中点E，则由题意可知，∠DEA即为截面DBC与底面所成角的平面角，所以，∠DEA＝30°，由正三角形ABC边长为10，可求得，AE＝5eq \r(3)，所以，AD＝5.
(2)VDBC－A1B1C1＝VABC－A1B1C1－VD－ABC＝eq \f(1,2)×10×10×eq \f(\r(3),2)×9－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×10×10×eq \f(\r(3),2)×5＝eq \f(550\r(3),3).
第34题图
35．(9分)如图，已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，把菱形ABCD沿对角线BD折为60°的二面角，连接AC，
第35题图
求：(1)折叠后AC的距离；
(2)二面角D－AC－B的平面角的余弦值．
【解】 如图，(1)取BD中点E，连接AE，CE，△ABD，△BCD均为等边三角形，所以AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC是二面角A－BD－C的一个平面角，即∠AEC＝60°，又因为AE＝CE，所以△AEC是正三角形，AC＝AE，在△ABD中，已知AD＝AB＝BD＝2，则AE＝eq \r(3)，所以AC＝eq \r(3).
第35题图
(2)取AC中点F，连接DF，BF，因为AD＝DC＝BC＝AB，所以DF⊥AC，BF⊥AC，DF＝BF，所以∠DFB为二面角D－AC－B的一个平面角，因为BD＝2，AF＝eq \f(AC,2)＝eq \f(\r(3),2)，所以DF＝BF＝eq \r(AD2－AF2)＝eq \r(4－\f(3,4))＝eq \f(\r(13),2)，所以在三角形BDF中，cs∠DFB＝eq \f(DF2＋BF2－BD2,2×DF×BF)＝eq \f(\f(13,4)＋\f(13,4)－4,2×\f(\r(13),2)×\f(\r(13),2))＝eq \f(5,13).
36．(9分)圆柱的轴截面ABCD为正方形，O，O1分别为上、下底面的圆心，E为上底面圆周上一点，已知∠DOE＝120°，圆柱侧面积等于4π.
求：(1)圆柱的体积；
(2)求异面直线BE与DO1所成角的余弦值．
第36题图
【解】 (1)设底面半径为r，则2πr×2r＝4π，所以，r＝1，V＝π×12×2＝2π.
(2)连接OB，CE，因为∠DOE＝120°，所以∠COE＝60°，所以，CE＝1，在Rt△BCE中，BC＝2，所以，BE＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，同理，OB＝eq \r(5).因为OB∥DO1，所以，∠OBE是异面直线BE与DO1所成角．在△BOE中，cs∠OBE＝eq \f(（\r(5)）2＋（\r(5)）2－12,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(9,10).
第36题图